寡头垄断动力系统的相空间结构

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英文标题：
《The phase space structure of the oligopoly dynamical system by means of
  Darboux integrability》
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作者：
Adam Krawiec, Tomasz Stachowiak, Marek Szydlowski
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We investigate the dynamical complexity of Cournot oligopoly dynamics of three firms by using the qualitative methods of dynamical systems to study the phase structure of this model. The phase space is organized with one-dimensional and two-dimensional invariant submanifolds (for the monopoly and duopoly) and unique stable node (global attractor) in the positive quadrant of the phase space (Cournot equilibrium). We also study the integrability of the system. We demonstrate the effectiveness of the method of the Darboux polynomials in searching for first integrals of the oligopoly. The general method as well as examples of adopting this method are presented. We study Darboux non-integrability of the oligopoly for linear demand functions and find first integrals of this system for special classes of the system, in particular, rational integrals can be found for a quite general set of model parameters. We show how first integral can be useful in lowering the dimension of the system using the example of $n$ almost identical firms. This first integral also gives information about the structure of the phase space and the behaviour of trajectories in the neighbourhood of a Nash equilibrium
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中文摘要：
我们利用动力学系统的定性方法研究了三家公司古诺寡头垄断动力学的动力学复杂性，并对该模型的相结构进行了研究。相空间由一维和二维不变子流形（对于垄断和双寡头）以及相空间正象限（古诺平衡）中的唯一稳定节点（全局吸引子）组成。我们还研究了系统的可积性。我们证明了达布多项式方法在搜索寡头垄断的第一积分时的有效性。给出了采用该方法的一般方法和实例。我们研究了线性需求函数寡头垄断的Darboux不可积性，找到了该系统对于特殊类系统的第一次积分，特别是对于一组非常一般的模型参数，可以找到有理积分。我们以n$几乎相同的公司为例，说明了第一积分在降低系统维数方面的作用。第一个积分还提供了有关相空间结构和纳什均衡附近轨迹行为的信息
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Dynamical Systems        动力系统
分类描述：Dynamics of differential equations and flows, mechanics, classical few-body problems, iterations, complex dynamics, delayed differential equations
微分方程和流动的动力学，力学，经典的少体问题，迭代，复杂动力学，延迟微分方程
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Exactly Solvable and Integrable Systems        精确可解可积系统
分类描述：Exactly solvable systems, integrable PDEs, integrable ODEs, Painleve analysis, integrable discrete maps, solvable lattice models, integrable quantum systems
精确可解系统，可积偏微分方程，可积偏微分方程，Painleve分析，可积离散映射，可解格模型，可积量子系统
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PDF下载：
--> The_phase_space_structure_of_the_oligopoly_dynamical_system_by_means_of_Darboux_.pdf (1.08 MB)

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关键词：动力系统 空间结构 寡头垄断 相空间 Differential

利用Darboux可积性分析寡头动态系统的相空间结构Adam Krawieca，e，Tomasz Stachowiakb，c，Marek Szyd lowskid，eaInstitute of Economics，Finance and Management，Jagiellonian University，Lojasiewicza 4,30-348 Krakow，PolandbCenter for theory Physics，PolandbCenter for theory Physics，Academy of Sciences，Aleja Lotnik\'ow 32/46，Warszawa，京都大学信息学研究生院应用数学与物理系，606-8501京都，日本天文观测台，佐治亚大学，Orla 171，30-244 Krak\'ow，波兰马克Kac复杂系统研究中心，佐治亚大学，Krak\'ow，PolandAbstractdimensional和二维不变子流形（对于寡头垄断和多项式搜索寡头垄断的第一个积分。给出了采用该方法的一般方法和示例。我们研究了该系统特殊类的Darbouxintegrals，特别是几乎相同公司的示例。该第一个积分还提供了有关相空间结构和行为的信息纳什均衡的第八个边界的轨迹的r。1、介绍寡头垄断。这是一种市场结构，其中大部分市场份额由aCournot[]持有，包括生产同质产品的公司和电子邮件地址：adam。krawiec@uj.edu.pl（Adam Krawiec），tomasz@amp.i.kyoto-u、 ac.jp（Tomasz Stachowiak），马瑞克。szydlowski@uj.edu.pl（MarekSzyd lowski）提交给ElsevierarXiv的预印本：1708.02193v1【q-fin.EC】2017年8月7日该价格考虑到竞争对手的任何价格变化都会影响其利益。这些公司存在利益最大化的均衡（这是阿纳什均衡）。

两家和三家公司的特殊情况分别称为双寡头和三寡头。从经济学的角度来看，研究寡头垄断动态是非常重要的，因为我们想知道一种控制市场动态的机制。平衡点附近存在行为对于使用动力系统方法理解连续时间尺度至关重要。这些研究集中于渐近稳定性。早期结果的总结可以解释离散寡头垄断系统的动力学[4]。普通微分方程的自治n维系统。这种研究的动机是寻找轨迹的动态复杂性，因为我们对轨迹的了解描述了企业可能的（长期）行为及其达到的平衡。第二个问题是不同模型的第一个积分的存在性问题。达布多项式。给定足够的这些量，我们也可以得到任何动力学模型相空间结构的时间信息。纵向完全在相平面上确定。在这种情况下，可以很容易地研究周期轨道、极限环等不变子流形等。本文的主要目的是在寡头垄断动力学的背景下揭示这种结构。为此，我们构造了代表该问题的三维相端口，并详细讨论了拓扑系统的可积性。在讨论可积性问题时，我们注意到了达布可积性。可积性分析为我们提供了关于第一个积分水平集的信息。[]研究了复杂寡头垄断动力学问题，以确定复杂混沌行为的离散存在性。虽然在存在小扰动的情况下，不可能公式化相空间结构。

当它们存在时。积分意味着解仅限于此类函数的水平集。如果一个维度系统允许一个与时间无关的第一个积分（例如，如果我们能够有效地解决其中一个变量的守恒定律，那么第一个积分可以用来将系统的维度降低到二维。2.寡头垄断模型2.1.一般模型产生总供给q（t）=q（t）+q（t）+q（t）+q（t）的齐次乘积。商品的价格和需求由线性逆需求函数P（Q（t））=a给出- bQ（t）（1）Ab货物。我们假设企业的成本函数具有二次形式CI（qi）=c+diqi（t）+eiqi（t），i=1，2，3，（2）CI条件di+2eiqi<a，i=1，2，3。第i个企业的利润为∏i（q（t），q（t），q（t））=qi（t）（a-bQ（t））-（c+diqi（t）+eiqi（t）），i=1，2，3，（3），其边际收益为∏i（q，q，q）qi=a- bQ（t）- bqi（t）- di公司- 2 IQI（t），i=1，2，3。（4） 我们假设所有公司对市场的了解都不完善。因此，对边际利润的估计∏i/qi[，]。这意味着，随着形式DQI（t）dt=αiqi（t），公司增加∏i（q（t），q（t），q（t））qi，i=1，2，3，（5）αi微分方程组˙q（t）=αq（t）[a- bQ（t）- bq（t）- d- 2eq（t）]，˙q（t）=αq（t）[a- bQ（t）- bq（t）- d- 2eq（t）]，（6）˙q（t）=αq（t）[a- bQ（t）- bq（t）- d- 2eq（t）]，或˙q（t）=αq（t）[a- 2bq（吨）- bq（t）- bq（t）]，˙q（t）=αq（t）[a- bq（t）- 2bq（吨）- bq（t）]，（7）˙q（t）=αq（t）[a- bq（t）- bq（t）- 2bq（t）]，式中=a- d、 a=a- d、 a=a- d、 b=b+e，b=b+e，b=b+e。（8）变量sqi，i=1，，3必须是非负的，才具有经济意义。下面我们更明确地列出了一些感兴趣的简单子案例。2.2.

具有线性成本函数的同一企业所有三个企业的成本函数均为线性且相同c（qi）=c+dqi，c>0，d>0（9）。此外，我们假设所有三个α的调整速度α相同，其形式为˙q（t）=q（t）[a- 2bq（吨）- bq（t）- bq（t）]，˙q（t）=q（t）[α- bq（t）- 2bq（吨）- bq（t）]，（10）˙q（t）=q（t）[α- bq（t）- bq（t）- 2bq（t）]，其中“a=a- d>0、a>0、d>0和b>0.2.3。与二次成本函数相同现在成本函数为二次ICC（qi）=c+dqi+eqi，c>0，d>0，e>0。（11） 此外，我们假设所有三个α的形式为˙q（t）=q（t）['a时，调整速度α相同- 2’bq（t）- bq（t）- bq（t）]，˙q（t）=q（t）[α- bq（t）- 2’bq（t）- bq（t）]，（12）˙q（t）=q（t）[α- bq（t）- bq（t）- 2“bq（t）]，其中“a=a- d>0且'b=b+e>0.2.4。具有二次成本函数的不同企业现在成本函数是二次的，并且每个企业的成本函数不同ci（qi）=ci+dqi+eiqi，ci>0，Di>0，ei>0（13）。此外，我们假设所有三个α的调整速度α都是相同的，其形式为˙q（t）=q（t）[a- 2bq（吨）- bq（t）- bq（t）]，˙q（t）=q（t）[a- bq（t）- 2bq（吨）- bq（t）]，（14）˙q（t）=q（t）[a- bq（t）- bq（t）- 2bq（t）]，其中i=a- di>0，bi=b+ei>0，a>0，di>0，b>0，ei>0.3。模型动态分析3.1。一般模型在本节中，我们介绍动力系统的一般分析（7）˙q（t）=αq（t）[a- 2bq（吨）- bq（t）- bq（t）]=h（q，q，q），˙q（t）=αq（t）[a- bq（t）- 2bq（吨）- bq（t）]=h（q，q，q），（15）˙q（t）=αq（t）[a- bq（t）- bq（t）- 2bq（t）]=h（q，q，q），其中=a- d、 a=a- d、 a=a- d、 b=b+e，b=b+e，b=b+e.（16）hiq*i=1，2，3，对于（q*, q*, q*).

这里，我们得到了多个解：E=（0，0，0）（17）E=a2b，0，0（18） E类=0，a2b，0（19） E类=0、0、a2b（20） E类=2ab- ba4bb- b、 2ab- ba4bb- b、 0个（21）E=0,2ab- ba4bb- b、 2ab- ba4bb- b（22）E=2ab- ba4bb- b、 0,2ab- ba4bb- b（23）E=4abb+(-a+a+a）b- 2（ab+ab）B8BB+2b- 2（b+b+b）b，4abb+（a- a+a）b- 2（ab+ab）B8BB+2b- 2（b+b+b）b，4abb+（a+a- a） b类- 2（ab+ab）B8BB+2b- 2（b+b+b）b（24）所有这些都是相空间中的点，代表系统的稳态。市场上没有任何供应，关键点是微不足道的。分别为“2”或“3”号企业。关键点E、EANDE分别对应于“1”和“2”、企业“1”和“3”或企业“2”和“3”的双寡头市场。最后一个关键点是三公司寡头垄断。Epro fit.设置相对于流量的不变性。该点通常位于二维子流形上的双寡头E、Elie不变量之外，并且可以成为临界点。从（17）可以看出，在古诺均衡中，总供给是*= q*+ q*+ q*（25）以及isP的价格*= 一- b（q*+ q*+ q*). （26）让我们尝试对古诺平衡（E）所代表的临界点进行局部稳定性分析。根据Hartman Grobman定理[]，该非退化临界点附近的动力学通过系统的线性部分近似。q处的线性化*isddt公司q- q*q- q*q- q*= Mq- q*q- q*q- q*（27）其中M是在q处计算的雅可比矩阵*M级=h类qq=q*h类qq=q*h类qq=q*h类qq=q*h类qq=q*h类qq=q*h类qq=q*h类qq=q*h类qq=q*(28)=-2αbq*+ αg-αbq*-αbq*-αbq*-2αbq*+ αg-αbq*-αbq*-αbq*-2αbq*+ αg（29）其中g=g（q*, q*, q*) = 一- 2bq*- bq公司*- bq公司*g=g（q*, q*, q*) = 一- bq公司*- 2bq*- bq公司*g=g（q*, q*, q*) = 一- bq公司*- bq公司*- 2bq*.3.2.

线性化矩阵的一般模型特征值的局部稳定性分析，这些特征值是特征方程det[M]的解- λI]=λ- tr Mλ+（（tr M）- tr M）λ+（tr M）+2 tr M- 3 tr M tr M=Mλ+Mλ+Mλ+M=0。（30）让我们考虑临界点。从经济学的角度来看，这一点是三家公司寡头垄断的均衡。在此临界点计算的雅可比矩阵isM=-2αbq*-αbq*-αbq*-αbq*-2αbq*-αbq*-αbq*-αbq*-2αbq*（31）特征方程isdet[M- λI]=mλ+mλ+mλ+m=λ+2（αbq*+ αbq*+ αbq*)λ+[ααq*q*（4bb- b） +αq*q*（4bb- b） +αq*q*（4bb- b） ]λ+2ααq*q*q*（b+4 BBB）- bb型- bb型- bb）=0（32）ai>aa>aabi>bi，，参数ci，i=0，1，2，3为正。点E给出了参数约束的附加不等式o（点E）情况I q*i> 0 i=1、2、3。o相空间正象限内没有临界点；临界点Eis位于二维不变manifoldcase IIa q上*i> 0，q*j> 0，q*k=0，i 6=j 6=k 6=io临界点Eis位于一维不变manifoldcase IIb q上*i> 0，q*j=q*k=0，i 6=j 6=k 6=i。对于情况i，系统（7）的相位图在图1中显示，条件SQ*> 0即4abb+(-a+a+a）b- 2（ab+ab）b>0，q*> 0即4abb+（a- a+a）b- 2（ab+ab）b>0，q*> 0即4abb+（a+a- a） b类- 2（ab+ab）b>0。（33）整个正象限。这一点代表了古诺均衡，即三家公司在市场中共存，利润最大化。这是正象限中的唯一点，它是一个全局吸引子。对于情况IIa，系统（7）的相位图，条件SQ*> 0即4abb+(-a+a+a）b- 2（ab+ab）b>0，q*> 0即4abb+（a- a+a）b- 2（ab+ab）b>0，q*= 0即4abb+（a+a- a） b类- 2（ab+ab）b=0。（34）01231230123Q1Q2Q3AEFHGDCBB-aaab公司-ababb>abba- aab公司-ababb>和4abb+（a+a- a） b类-2（ab+ab）b>0。

右面板：这些临界点的特征向量。如图2所示。在这种情况下，相空间的正象限中没有临界点。构成正象限的一组初始条件远远大于其他企业的边际成本，例如，随着时间的推移，企业将产量降至零。由于成本高于竞争对手而退出市场。案例IIb是案例IIa的一个变体，其中两家公司的边际成本较高，剩下一家公司，即垄断者。为了更深入地理解相图，这些特征向量的附加映射跨越与稳定流形和不稳定流形相切的平面。为了说明劳斯-赫维茨标准的明确含义，让我们考虑一个更简单的情况，即相同公司的线性成本函数和市场速度调整等于1，即α=α=α=1，b=b=b=b（35），临界点Ehas为坐标q*= q*= q*= q*=\'a（36），其中\'a=a- d=d=d=d=d。现在特征方程的形式为λ+(R)aλ+(R)aλ+(R)a=cλ+cλ+cλ+cλ+c=0。（37）0123123012q3q1q2AEFGDCBabb-aaab公司-ababb>abba- aab公司-阿巴巴- ab公司-ABAB关键点。系统（10）。定理1。对于系统（10），平衡点Eis是一个稳定节点。三阶多项式（37）的判别式为 =q+p=0（38），其中p=-\'a，q=\'a。p和q都不同于零，因此存在isa）一个重数的实特征值oneb）和一个重数为2的实特征值。让我们检查临界点稳定性的Routh-Hurvitz准则。所有（mm>mm）也适用于任何参数“a”。因此，临界点（36）是一个稳定的节点。3.3. 不变子流形{（q，q，q）：qi>，i=1，，}。

现在，让我们考虑二维平面{q，q，q}{q，q，q}{q，q，q}动力系统。对于第一个不变子流形，系统的形式为˙q（t）=0，˙q（t）=αq（t）[a- bq（t）- 2bq（吨）- bq（t）]，（39）˙q（t）=αq（t）[a- bq（t）- bq（t）- 2bq（t）]，对于第二不变子流形，系统的形式为˙q（t）=q（t）[a- 2bq（吨）- bq（t）- bq（t）]，˙q（t）=0，（40）˙q（t）=αq（t）[a- bq（t）- bq（t）- 2bq（t）]，对于第三不变子流形，系统的形式为˙q（t）=q（t）[a- 2bq（吨）- bq（t）- bq（t）]，˙q（t）=αq（t）[a- bq（t）- 2bq（吨）- bq（t）]，（41）˙q（t）=0，其中ai=a- diand bi=b+ei。无论参数值如何，这些都存在，但我们将能够在一些一般假设下找到其他线性子流形——我们将此讨论推迟到关于达布多项式的部分。让我们选择以下参数值α=1、a=10、a=20、a=30、b=0.5、ei=0。（42）给出不变子流形上的动力学。让我们考虑不变子流形（39）上的第一个系统，并对其进行动力学分析。该系统有四个临界点se=（0，0）（43）E=a2b，0，（44）E=0，a2b，（45）E=2ab- ba4bb- b、 2ab- ba4bb- b（46）该系统的相位图显示在{（q，q），q=0}inFig平面上。3.市场，并在固定生产水平下达到稳定平衡。这个点存在的条件是2ab- ba>0和2ab- ba>0。（47）ab- bathere在正象限内以及在各自的{q，q，q}{q，q，q}市场上都不是临界点，在这些平面上具有初始条件的市场倾向于垄断Axesqqqsubmanifolm本身。3.4. Lapunov函数对于系统（41），我们将查找Lapunov函数。

我们假设两个条件2ab- ba>0和2ab- ba=0已满，Q*>0和Q*> 0，所以我们考虑临界点（46）。临界点的邻域（q*, q*) 由（46）给出，并以[12，p.206-207]的形式写出系统˙x=A2×2x+g（x）（48），其中x是分量x=q的向量- q*andx=q- q*. 矩阵x和向量g（x）的形式为=-2αbq*-αbq*-αbq*-2αbq*=aaaa级（49）其中P=tr A=-2（αbq*+ αbq*) < 0（50）q=det A=ααq*q*（4bb- b） >0（51），如b>b和b>b，以及G（x）=-2α（2bx+bxx）-2α（2bx+bxx）. （52）我们定义了拉普诺夫函数[12，p.206-207]V（x）=xTKx（53），其中是一个2×2常数对称矩阵，它是一个tk+KA的解=-I2×2in形式k=m（AT）-1A级-1+nI2×2。它发生在ifm=-q/pandn=-1/2便士。因此，我们发现K=-2pqa+a+q-aa公司- aa公司-aa公司- aaa+a+q（54）和拉普诺夫函数v=-（ax- ax）+（ax- ax）+q（x+x）2pq>0，对于x 6=0（55）q3abcedq1q2图3：表示{（q，q），q=0}，{（q，q），q=0}和{（q，q），q=0}平面的系统（）的三个二维子流形的共存。为正定义。Kget˙V=-x个- x+2gTKx（56），其中2gTKx=| p | q{-2α（2bx+bxx）[（a+a+q）x- （aa+aa）x]}- 2α（2bx+bxx）{(-aa公司- aa）x+（a+a+q）x}。（57）pq-x个- 因此，系统（41）具有严格的拉普诺夫函数。4、第一次积分分析定义了一组参数。由于系统具有一般形式DQIDT=αiqi（a- di公司- （b+2ei）qi- bQ），i=1，2，3，（58）Qqqqband系统完全可解。因此，重新调整时间比亚迪是有意义的→ 并引入新参数：fi：=αib（a- di），i： =2αib（b+ei）。（59）然后我们可以使用以下矩阵符号dqidt=qifi+Xj=1βijqj, （60）式中β：=-αααααα. (61)4.1. 关于所有变量的分析第一积分分析的一般结果，然后每个双曲临界点提供了额外的必要条件。在它周围，系统可以线性化为˙qi=λiqi+O（q），i=1。