粗糙Bergomi模型的涡轮增压蒙特卡罗定价

当Y 6=0时，数量^α和^qnar通常由（2.5）定义。考虑到条件估计量和控制估计量，混合估计量显然是它们的自然扩展，它在ρ的极限内趋向于每个估计量→ 0和ρ→ 分别为±1。我们使用默认的NumPy伪随机数生成器（Mersenne Twister）。所有隐含波动率估值器的性能都可以通过使用准随机数（低差异序列，例如，Sobol）来略微改善，但我们使用Sobol-Julia模块对Sobol序列进行的实验表明，改善并不显著。以rBergomi模型的结果、实际应用和构建直觉为重点，我们简单总结了中间刺激因子的结果，并指出Asmussen和Glynn（2007）的一些一般理论是这项工作的基础。3方差减少蒙特卡罗方法的实践者普遍认为，方差减少技术的最大收益来自于利用Glasserman（2004）改编的手头问题的特定特征。尽管人们对对偶抽样、条件蒙特卡罗和控制变量的理论有很好的理解，但如果不满足我们对rBergomi模型下隐含波动率的估计，这些方法是毫无意义的。3.1实验设计我们现在确定成熟度t=0.25，因此可能会放弃其参考值，rBergomi参数ξ=0.235，η=1.9，α=-0.43. 我们考虑ρ=-0.9和ρ=0，以及三个对数打击，代表每个区域中的10个delta put、ATM和10个delta call选项。我们考虑从（2.1）N次中抽样{σnBS（k），以获得序列{σnBS（k）i}Ni=1的估计值。

给定以下中心极限定理，预测价格√n^Pn（k，t）- P（k，t）D---→n→∞N（0，v∞) ,具体而言，这意味着N(-d+=0.10，k=0和N（d+=0.10）。ρ = -0.9 10P ATM 10Cρ=0 10P ATM 10Ck-0.1787 0.0000 0.1041 k-0.1475 0.0000 0.1656σBS（k）29.61 20.61 15.76σBS（k）24.17 21.73 24.66表2：分别从图3顶部两个图中选择的对数走向和隐含挥发率（按100缩放）。由基础和混合估计器再现这些结果将构成我们实验的基础。带v∞:= 画→∞Var[X+αnY]和X，Y如（2.1）所示，Delta方法提供了额外的收敛性√nσnBS（k）- σBS（k）D---→n→∞N0，v∞2tσBS（k，t）BS（σBS（k，t）t；1，k）-2..固定n=1000和n=1000，因此我们绘制采样序列{σnBS（k）i的直方图-σBS（k）}Ni=1长边正态分布。当然，我们并不真正知道σBS（k），因此使用图3中的结果作为代理。为清晰起见，下表中提供了相关3M到期日。为了以运行时调整且弱依赖于n的选择的方式比较估值器，我们在确定σnBS（k）方差的度量时采用Glasserman（2004）的指导。为此，我们让τ以毫秒为单位表示运行时，以生成一个^σnBS（k）iestimation。考虑到对数走向{ki}mi=1，wethus分别通过φ：=mmXi=1^σn，n，ki，ψ：=τmmXi=1^σn，n，ki，（3.1）定义我们估计量的均方误差和平均运行时间调整后的平方误差度量，其中我们仅估计σn，n，k：=n-1NXi=1（σnBS（k）i- σBS（k））。注意，ψ在理论上与n渐近无关，因为τ标度类似于n，foreach ki，σn，n，kiscales渐近类似于1/n。

由于τ=ψ/φ，因此在确定了n和n后，为了便于计算，我们可以使用估值器ψ值的比率来近似相对运行时间，以获得固定的φ值（对应于校准RMSE）。这些观察结果在实践中得到了反映，证明ψ是一个可供比较的敏感词。我们强调，我们使用n=1000只是为了方便，并且是为了证明混合估计器在如此少的路径下的性能。事实上，考虑到这项工作的目标应用，我们必须近似一个运行时，该运行时指示隐含波动率RMSE的最小化例程所花费的时间。这本身是不明确的，因为除其他外，这一次将受到正在校准的rBergomi参数的影响。具体而言，我们将τ设为产生样本{σnBS（k）i的时间-σBS（k）}Ni=1，除以n。由于我们发现所有估值器的标准偏差都遵循中心极限定理所建议的比例，因此可以通过增加n.3.2结果直方图（具有拟合正态分布）来缩小观察到的置信区间，图4和图5显示了基础估值器的隐含波动率置信区间，图6和图7显示了混合估值器的隐含波动率置信区间，分别地柱状图标有每个适用的对数删除线、目标隐含波动率σB和偏差（B）以及样本{σnBS（k）i}Ni=1的标准偏差（S）。我们再次强调，ψ是用于确定相关估计器运行时间的度量，以达到给定的隐含波动率置信区间。图4中的基础估计器结果显示了约1%的标准偏差（即一个织女星），这使得其不适合实际用途。当然，当只使用n=1000条路径时，这并不奇怪，而且这些结果对于帮助比较来说并不重要。

图5将这些结果和95%置信区间置于图3中的等效隐含波动率之上，还显示了均方根误差φ。一般来说，人们在10德尔塔卡尔走向处发现最大差异，但在ρ=-0.9，这一影响主要由价格过程决定，继承了较低罢工的较大差异。图6中的混合估计结果表明标准偏差远低于1个百分点（即一个Vega）。即使在最不确定的情况下，抽样的隐含波动率也在已知值的1.1个百分点以内，即29.6%，95%的时间。显然，考虑到使用的路径数n=1000，我们认为这很了不起。图5将这些结果和95%置信区间置于图3的等效隐含波动率之上，还显示了均方根误差φ。图4和图6中基估计量和混合估计量的相对ψ值在ρ=-0.9制度，以及ρ=0制度下34倍的运行时间缩减，以匹配φ值，从而得出给定的隐含波动率置信区间。也就是说，平均运行时间大约减少了20倍。实际上，在图8中，我们展示了另一组基本估计结果，它们与混合φ值相匹配，分别需要n=8000和20250条路径。在继续之前，我们总结了表3中所有估计器的标准偏差和运行时，使用n=1000。我们没有实际意义上的报道偏差。为了更清楚地进行比较，条件估计、控制估计和混合估计都使用对偶抽样，因此它们的运行时间较低。混合估计采用条件估计和控制估计在ρ=0和ρ=-分别为1。对于-1<ρ<0，混合估计器混合了每个估计器的影响，这在ρ=-0.9.

实验表明，在区域1附近，混合估计器在联合意义上优于条件估计器和控制估计器- ρ= ρ.4 2 0 2 40123k=-0.18σBS=29.6B=-0.05S=1.2810 Delta Put4 0 2基本误差：100（^σnBS i-σBS）。ρ=-0.9，n=1000，τ=114.4ms，n=1000，ψ2=131.4k=0.00σBS=20.6B=0.01S=1.24ATM4 2 0 2 4k=0.10σBS=15.8B=-0.04S=0.5210增量调用4 2 0 2 40123k=-0.15σBS=24.2B=-0.00S=0.9410 Delta Put4 0 2基本误差：100（^σnBS i-σBS）。ρ=-0.0，n=1000，τ=114.6ms，n=1000，ψ2=133.6k=0.00σBS=21.7B=-0.01S=1.03ATM4 2 0 2 4k=0.17σBS=24.7B=0.01S=1.2510 Delta CallBase错误：100（^σnBS i- σBS）。ρ=0.0，n=1000，τ=114.6ms，n=1000，ψ2=133.60.00图4：使用（2.2）基估计量的隐含波动率估计量σnBS（k）分布，对于ρ=-0.9（顶部）和ρ=0（底部）。每个样本的个别偏差和标准偏差{σnBS（k）i}Ni=1标记为B和S。还显示了（3.1）中定义的平均运行时间τ和运行时间调整后的平方误差ψ。这些数据和随后的所有数据一样，都是由一台运行macOS Sierra 10.12的笔记本电脑记录的，该笔记本电脑配有2 GHz Intel Core i5处理器和8 GB内存。0.25 0.15 0.05 0.05 0.15k0.140.190.240.290.34σBS（k，t）ρ=-0.9, φ= 1.07ρ = -0.9，φ=1.070.2 0.1 0.0 0.1 0.2k0.140.190.240.290.34σBS（k，t）ρ=-0.0，φ=1.08ρ=0，φ=1.08图5：隐含波动率估值器σnBS（k）期望值（红色），95%置信区间（黑色），使用（2.2）的基础估值器。使用N=1000条路径，对每个σnBS（k）进行N=1000次采样。3.3实验评估校准精度我们现在通过模拟rBergomi模型，简要说明这些结果对示例校准的影响。

我们强调，这实际上只是为了说明目的，因为如果不了解（交易的）隐含波动性边界的相关影响（我们已经直接讨论过），那么（未交易的）模型参数边界的知识似乎毫无意义。应通过模拟校准rBergomi参数的规格是一个悬而未决的问题，而不是我们打算讨论的主题4 2 0 2 40123k=-0.18σBS=29.6B=0.00S=0.5510δPut4 0混合误差：100（σnBS i-σBS）。ρ=-0.9，n=1000，τ=70.6ms，n=1000，ψ2=10.4k=0.00σBS=20.6B=0.03S=0.27ATM4 2 0 2 4k=0.10σBS=15.8B=-0.03S=0.2610 Delta Call4 2 0 2 40123k=-0.15σBS=24.2B=0.04S=0.2610δPut4 0混合误差：100（^σnBS i-σBS）。ρ=-0.0，n=1000，τ=69.8ms，n=1000，ψ2=3.9k=0.00σBS=21.7B=0.02S=0.15ATM4 2 0 2 4k=0.17σBS=24.7B=0.05S=0.2810 Delta CallMixed error:100- σBS）。ρ=0.0，n=1000，τ=69.8ms，n=1000，ψ2=3.9图6：使用（2.4）混合估计量的隐含波动率估计量^σnBS（k）分布，对于ρ=-0.9（顶部）和ρ=0（底部）。每个样本的个别偏差和标准偏差{σnBS（k）i}Ni=1标记为B和S。还显示了（3.1）中定义的平均运行时间τ和运行时间调整后的平方误差ψ。0.25 0.15 0.05 0.05 0.15k0.140.190.240.290.34σBS（k，t）ρ=-0.9, φ= 0.38ρ = -0.9，φ=0.380.2 0.1 0.0 0.1 0.2k0.140.190.240.290.34σBS（k，t）ρ=-0.0，φ=0.24ρ=0，φ=0.24图7：隐含波动率估计器预期，95%置信区间，使用（2.4）的混合估计器以及图3中的数据。每个^σnBS（k）的采样次数为DN=1000次，使用n=1000条路径。在这里解决问题。为了帮助证明，我们假设α和ξ（t）由其他平均值固定-分别为0.43和0.235。这与Jacquier、Martini和Muguruza（2017）采用的SPX和VIX联合校准方法一致。

其中，H=α+在模拟前校准为波动率期货，ξ（t）从观察到的SPX隐含波动率表面的Essvi参数化（Hendriks和Martini，2017）中提取。一种更为不同的资产类别方法可能是使用Gatherel、Jaisson和Rosenbaum（2014+）以及Bennedsen、Lunde和Pakkanen（2016）的方法从历史时间序列中获取α。从理论上讲，这是可能的，因为α保留在衍生rBergomi模型的整洁度量变化中。We0.25 0.15 0.05 0.05 0.15k0.140.190.240.290.34σBS（k，t）ρ=-0.9, φ= 0.38ρ = -0.9，φ=0.380.2 0.1 0.0 0.1 0.2k0.140.190.240.290.34σBS（k，t）ρ=-0.0，φ=0.24ρ=0，φ=0.24图8：使用insteadn=8000表示ρ=-对于ρ=0的情况，0.9和n=20500，以便在使用n=1000时将所得φ值与混合估计值进行匹配。使用先前观察到的φ值的比率来预测实现这一目标所需的路径数。ρ = -0.9ρ=0估计器10P ATM 10Cτ10P ATM 10Cτ基1.28 1.24 0.52 114 0.94 1.03 1.25 115对偶1.70 1.45 0.59 49 0.92 0.74 1.25 49条件1.19 1.02 0.34 68 0.26 0.15 0.28 69受控0.82 0.41 0.49 55 0.70 0.56 0.82 55混合0.55 0.27 0.26 71 0.26 0.15 0.28 70表3：样本估计器标准偏差汇总{σnBS（k）i}Ni=1，使用n=1000条路径，以毫秒为单位的关联平均运行时间。建议跨资产类别获取ξ（t）的自然方法是使用Austing（2014）总结的优雅的综合方差表示法，Ztξ（u）du=EZtVudu公司=ZσBS(, t） d,  := N个(-d-),这源于Fubini定理和变量的变化。显然，这需要在-空间，以及ξ（t）的一些参数（或分段参数）假设。

然而，我们发现，即使是跨越σBS的简单三次样条曲线(, t） 分段常数ξ（t）可以产生令人印象深刻的结果。在图9中，我们在-α=-0.43，考虑到像ebloomberg这样的数据源也是这样。我们继续校准rBergomi倾斜和微笑参数ρ和η，寻求3M成熟度下19个隐含挥发物的绝对RMSE最小化，如图3所示。联合校准的ρ和η分布如图10.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0所示0.100.150.200.250.300.35σBS(, t） ρ=-0.9, α=-0.431D1W1M3M6M1Y0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.200.220.240.260.28σBS(, t） ρ=0，α=-0.43图9:-空间，其积分可能导致ξ（t）。各成熟期之间近乎不均匀的现象令人感兴趣。请注意 = N个(-d-),Austing（2014）将其称为前三角洲，与用于确定原木走向的三角洲不同，N(-d+。4结论性意见我们展示了样本路径和rBergomi模型生成的丰富隐含波动率曲面，以建立其参数的直觉。我们已经在GitHub上提供了epython代码，从中可以复制这些曲面并生成其他曲面。我们认为，粗糙波动率模型的潜力是显而易见的，希望现在已经为实际采用埋下了种子。受Bergomi（2016）的启发，我们通过仔细应用带控制变量和对偶抽样的条件蒙特卡罗方法，实现了通过模拟进行rBergomi校准的预先要求。

具体而言，我们提供了平均20倍的运行时间缩减，以实现选定的Europeanoption隐含波动率置信区间，从而校准RMSE。尽管仍存在一些悬而未决的问题（可能最重要的是：哪一个模型参数（如果不是全部）可以在模拟前进行可靠校准，以及如何最好？），这是学术界一个蓬勃发展的研究领域，我们对此充满了坚定的乐观态度。由于拥有各种随机波动率模型的实际经验，我们无法充分强调我们认为粗糙过程（如Volterra过程）在未来波动率建模中的重要性。确认事项SM。S、 P.感谢与Chithira Mamallan进行的有益讨论，Chithira Mamallan在伦敦帝国理工学院（Imperial College London）的MSci论文（Mamallan，2017）中独立地得出了在粗糙Bergomi模型背景下的对偶抽样和条件估计的有效性结果。他还感谢克里斯蒂安·拜尔对准随机数的讨论。1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2ρ1.01.52.02.53.0η基靶向(-0.9,1.9）0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4ρ1.01.52.02.53.0η基础靶向（0,1.9）1.0 0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2ρ1.01.52.53.0η混合靶向(-0.9,1.9）0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4ρ1.01.52.02.53.0η混合靶向（0,1.9）图10：使用基本和混合估计器对ρ和η进行100次校准，justn=1000条路径。使用scipy的L-BFGS-B方法寻求隐含波动率绝对RMSE的最小值。优化最小化，有界ρ∈ [-0.99, 0.99],η ∈ [1.00，3.00]，使其运行约700毫秒。

尽管实际上差别不大，但在每种情况下，我们都在已知值处初始化了ρ和η的解算器，因此，此处观察到的结果校准真实地表示ρ和η收敛到远离这些已知值的值，从而测量每个投标人未能产生价格过程的已知分布特性，与已知的隐含挥发度相等。混合估计量大大减少了校准的ρ和η方差，而基估计量在ρ=-0.9案例，下限为-0.99.参考。Al\'os，J.A.Le\'on和J.Vives（2007）：关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动性的短期行为。《金融与随机》11（4），571–589。S、 Asmussen和P.W.Glynn（2007）：随机模拟：算法和分析。斯普林格，纽约。P、 Austing（2014）：微笑定价解释。帕格雷夫·麦克米兰，贝辛斯托克。C、 拜耳，P.Friz和J.Gatherel（2016）：粗糙波动下的定价。QuantitativeFinance 16（6），887–904。M、 Bennedsen，A.Lunde和M.S.Pakkanen（2016）：解耦随机波动的短期和长期行为。预印本，可从以下网址获得：https://arxiv.org/abs/1610.00332M.Bennedsen，A.Lunde和M.S.Pakkanen（2017）：布朗混合平稳过程的混合方案。金融与随机21（4），931–965。五十、 Bergomi（2005）：微笑动力学II。风险2005年10月，67–73。五十、 Bergomi（2016）：随机波动率建模。华润出版社，博卡拉顿。M、 Fukasawa（2011）：随机波动率的渐近分析：鞅展开。《金融与随机》15（4），635–654。J、 Gathereal、T.Jaisson和M.Rosenbaum（2014年以上）：波动性很粗糙。QuantitativeFinance，即将出现。P、 Glasserman（2004）：金融工程中的蒙特卡罗方法。斯普林格，纽约。S、 Hendriks和C.Martini（2017）：SSVI波动率扩展面。