粗糙Bergomi模型的涡轮增压蒙特卡罗定价

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Turbocharging Monte Carlo pricing for the rough Bergomi model》
---
作者：
Ryan McCrickerd, Mikko S. Pakkanen
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  The rough Bergomi model, introduced by Bayer, Friz and Gatheral [Quant. Finance 16(6), 887-904, 2016], is one of the recent rough volatility models that are consistent with the stylised fact of implied volatility surfaces being essentially time-invariant, and are able to capture the term structure of skew observed in equity markets. In the absence of analytical European option pricing methods for the model, we focus on reducing the runtime-adjusted variance of Monte Carlo implied volatilities, thereby contributing to the model\'s calibration by simulation. We employ a novel composition of variance reduction methods, immediately applicable to any conditionally log-normal stochastic volatility model. Assuming one targets implied volatility estimates with a given degree of confidence, thus calibration RMSE, the results we demonstrate equate to significant runtime reductions - roughly 20 times on average, across different correlation regimes.
---
中文摘要：
拜耳、弗里兹和Gatheral引入的粗糙Bergomi模型【Quant.Finance 16（6），887-9042016】是最新的粗糙波动率模型之一，该模型与隐含波动率曲面基本上是时不变的风格化事实相一致，并且能够捕捉股市中观察到的偏差的期限结构。在缺乏模型的分析性欧式期权定价方法的情况下，我们专注于减少蒙特卡罗隐含波动率的运行时调整方差，从而有助于通过模拟对模型进行校准。我们采用了一种新的组合方差缩减方法，可立即应用于任何条件对数正态随机波动率模型。假设其中一个目标是具有给定置信度的隐含波动率估计，从而校准RMSE，我们证明的结果相当于显著的运行时减少-在不同的相关制度中，平均约为20倍。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> Turbocharging_Monte_Carlo_pricing_for_the_rough_Bergomi_model.pdf (1.18 MB)

2022-6-1 05:38:40 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：涡轮增压 蒙特卡罗 Berg Ber 蒙特卡

粗糙Bergomi模型的涡轮增压蒙特卡罗定价Ryan McCrickerd*Mikko S.Pakkanen+第一版：2017年8月8日本版：2018年3月16日AbstractThe rough Bergomi model，由Bayer、Friz和Gatheral（2016）引入，是最新的粗糙波动率模型之一，它与隐含波动率曲面基本上是时不变的风格化事实相一致，并且能够捕捉股市中观察到的倾斜的期限结构。在缺乏模型的分析性欧式期权定价方法的情况下，我们专注于减少蒙特卡罗隐含波动率的时间调整方差，从而有助于通过模拟对模型进行校准。我们采用了一种新的组合方差缩减方法，可立即应用于任何条件对数正态随机波动率模型。假设一个目标是具有给定置信度的隐含波动率估计，从而校准RMSE，我们证明的结果相当于在不同的相关制度下平均约20倍的显著运行时减少。关键词：粗波动率、隐含波动率、期权定价、蒙特卡罗、方差缩减2010数学主题分类：91G60、91G201背景粗波动率是定量金融中的一种新范式，其动机是Gatherel、Jaisson和Rosenbaum（2014+）对已实现波动率的统计分析以及Al\'os对隐含波动率的理论结果，Le\'on and Vives（2007）和Fukasawa（2011）。粗糙波动率通常以随机过程的存在为特征*英国伦敦SW72AZ南肯辛顿校区伦敦帝国理工学院数学系。电子邮件：ryan。mccrickerd@jcrauk.com+英国伦敦SW72AZ南肯辛顿校区伦敦帝国理工学院数学系。

电子邮件：m。pakkanen@imperial.ac.uk通讯作者。粗糙布朗运动驱动波动动力学Hurst指数为H的分数布朗运动∈0,, 由Mandelbrot和Van Ness（1968）推广，就是这种过程的一个方便例子。粗略的Bergomi模型（以下简称rBergomi）是拜耳、弗里兹和Gatherel（2016）开发的随机波动率定价模型，通过优雅的度量变化，该模型与Gatherel、Jaisson andRosenbaum（2014+）的实际波动率模型相一致。这种粗糙的随机波动率定价模型通过更准确地复制隐含的波动率表面动力学，与波动率表面的性质本质上是时不变的这一典型事实相一致，并且只有三个参数，因此优于经典模型！该模型因其与Bergomi方差曲线模型（Bergomi，2005）的关系而得名，并可被视为后者的非马尔可夫泛化。由于缺乏马尔可夫性或有效结构，传统的分析定价方法（如偏微分方程或傅立叶变换）不适用，促使我们寻求通过组合方差减少方法对普通工具进行快速蒙特卡罗定价。虽然我们的重点是rBergomi模型，但我们的方法适用于广泛的随机波动率模型。我们始终致力于过滤概率空间(Ohm, F、 {Ft}t∈R、 Q）在风险中性测度Q下，支持具有独立分量的二维布朗运动（W，W）。指数t将表示从现在起的年数，此后我们将使用符号E[·]=等式[·| F]，除非我们另有说明。

设St为一个资产价格过程，对于所有t，满足E[St]=1≥ 0，因此根据其支付金额（St）确定到期日为t、对数履约期为k的货币外（OTM）欧洲看跌期权- ek）+：=最大值w（St- ek），0, w：=-(-∞,0]（k）+（0，∞)（k） ，（1.1）表示P（k，t）今天观察到的价格。我们定义了一个Black-Scholes函数BS（·）byBS（v；s，k）：=w序号（wd+）- ekN（wd-), d±：=（日志s- k）/√v±√v/2，其中N（·）表示高斯累积分布函数。因此，使用σBS（k，t）t=BS的关系来定义观测价格P（k，t）的隐含可用性σBS（k，t）-1（P（k，t）；1，k）。我们必须强调这是减少差异的第一步的重要性。仅考虑看涨期权或看跌期权估值器时产生的隐含波动率，当它们分别存在于货币中时，噪音会更大。这可以通过使用put调用奇偶校验max{St来合理化- ek，0}-最大值{ek- St，0}=St- 埃克。我们后来采用的方法消除了货币差异中的这一点，但从一开始就可以通过始终评估OTM选项来避免。相反，设置w：=±1 in（1.1），感知方差减少显著增加。这之后可以使用著名的结果日志~ N日志s-v、 五==> E[（S-ek）+]=BS（v；s，k）。与k:=对数（k/s）相比，对于走向k，使用了有点不寻常的隐含定义k:=对数k，因此当我们稍后随时间改变s时，k保持不变。1.1 rBergomi模型我们采用rBergomi模型（拜耳、弗里兹和Gatheral，2016）进行价格过程测试，并在此处通过t=E定义Z·pVudρWu+p1- ρWut、 Vt=ξ（t）expηWαt-ηt2α+1,（1.2）其中E（·）表示随机指数，η>0和ρ∈ [-1，1]是参数。我们将Vtas称为方差过程，并将ξ（t）=E[Vt]∈ Fas向前变化曲线。在（1.2）中，Wα是一种特定的Volterra过程，也称为Riemann-Liouvilleprocess，由Wαt定义：=√2α+1Zt（t- u） αdWuforα∈-, 0.

这是一个中心的局部（α+- )-H¨older连续高斯过程，Var[Wαt]=t2α+1，不是鞅，具有负相关增量，甚至不是半鞅。为了高效、准确地模拟过程Wα，我们利用混合方案（Bennedsen、Lunde和Pakkanen，2017年）的Firstorder变量（κ=1），该变量基于≈fWα英寸：=√2α+1锌-1n在里面- sαdWu+iXk=2bkn公司αWi公司-（k）-1） n个- Wi公司-千牛!,（1.3）其中BK：=kα+1- （k）- 1)α+1α + 1α.使用快速傅立叶变换计算（1.3）中的和，这是一个离散卷积，一个骨架fWα，fWαn，fWαbntcnca可以在O（n log n）浮点操作中生成。我们在图1中演示了Volterra样本路径，这直接导致图2的rBergomi价格样本路径。η=1.9和ρ=-拜耳、弗里兹和Gatheral（2016）证明，0.9与2010年2月4日的SPX市场非常一致，并构成了我们实验的基础，以及ρ=0的情况，一般来说，它更适用于值得我们关注的其他资产类别，如外汇。我们避免正式命名这些模型参数，但那些寻求直观理解其对隐含可用性影响的人可能喜欢用微笑表示η，用倾斜表示ρ，用爆炸表示α。回想一下，对于连续半鞅X，随机指数定义为E（X）t：=expXt公司- 十、-[十] t型.我们在GitHub上提供Python代码(https://github.com/ryanmccrickerd/rough_bergomi)和Jupyter笔记本电脑，能够再现样本路径和涡轮增压隐含波动性。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t3210123Wαtα=0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t3210123Wαtα=-0.43图1：Volterra过程Wα的样本路径，对于α=0，其过程与布朗运动一致，α=-0.43.

每个都是N（0，t2α+1）分布的，在t=1时为socoincide。一个更大的短期，即t 1，当α=-0.43. 当α接近-,导致实践中观察到的短期隐含波动性。我们在312点时间网格上呈现对偶路径。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.70.80.91.01.11.2Stρ=-0.9, α=-0.430.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t0.70.80.91.01.11.2Stρ=0，α=-0.43图2：如前所述，使用ξ=0.235、η=1.9、ρ和α的rBergomi价格路径样本。尽管价格过程是一个连续鞅，但当沃尔泰拉过程达到峰值时，价格过程表现出跳跃式的行为，即方差。这些价格路径基于（W，W）的对偶路径，同样基于312点时间网格。2隐含波动率估值器接受表示P（k，t）=E[（St-ek）+]对于OTM期权价格，我们在rBergomi模型^Pn（k，t）下考虑以下形式的价格估值器^Pn（k，t）：=nnXi=1（Xi+αnYi）- αnE[Y]，σnBS（k，t）t=BS-1.^Pn（k，t）；1，k, （2.1）从中我们推导出隐含波动率估值器^σnBS（k，t）。请注意，这些区域始终受到BS（·）的非线性和平方根的要求的影响。在（2.1）中，xind-yi是要指定的随机变量样本。例如，我们后来报告了一些偏差，但我们发现，即使使用n=1000，也没有实际意义。0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3k0.100.150.200.250.300.35σBS（k，t）ρ=-0.9, α=-0.431D1W1M3M6M1Y0.4 0.3 0.2 0.1 0.0.1 0.2 0.3 0.4k0.200.220.240.260.28σBS（k，t）ρ=0，α=-0.430.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3k0.100.150.200.250.300.35σBS（k，t）ρ=-0.9，α=00.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4k0.200.240.260.28σBS（k，t）ρ=0，α=0图3：使用（2.2）定义的基本估计值，模拟（1.2）从一天到一年的到期日的隐含波动率。

参数值为ξ（t）=ξ=0.235和η=1.9，ρ和α如所述。原木打击范围为5个delta puts（N(-d+=0.05）至5次增量调用（N（d+=0.05），增量为5次增量调用（每次到期总共19次）。在模拟中，在（W，W）上使用了400000条对偶路径，每个成熟度在312点网格上分别离散。应通过设置X=（St）自然确定基础估计器- ek）+，Y=0。（2.2）图3给出了使用该估计器生成的各种隐含波动率微笑，这将进一步帮助该模型的直觉。在没有时间相关或随机参数或跳跃过程的情况下，α=0的情况与经典随机波动率模型相似。最近一些令人钦佩的随机案例是Mechkov（2016）、Jacquier和Shi（2017）以及jumps Mechkov（2015）。相反，当α=-0.43，倾斜和微笑的爆炸为t→ 0是在实践中精确观察到的值。根据Romano和Touzi（1997），在寻求形式（2.1）的方差减少估计量时，我们考虑rBergomi价格过程的正交分离Stinto Stand St，其中St：=EρZ·pVudWut、 St：=Ep1级- ρZ·pVudWut、 这允许我们利用它的条件对数正态性。通过条件对数正态性，我们明确表示对数St | Ft∨ F~ N日志St-1.- ρZtVudu，1.- ρZtVudu公司, （2.3）我们使用自然过滤拟合=σ{Wiu:u≤ t} ，i=1，2。由于这两个变量都是相对于Ft可测量的，当我们将STA想象为现货价格时，这种表示变得直观明了，并且1.- ρ正如Romano和Touzi（1997）以及Bergomi（2016）在更广泛的随机波动性框架中所述，RtVudu是源自St的综合方差。

这种分离有助于我们的混合估计，我们使用x=BS的（2.1）进行定义1.- ρZtVudu；St，k, Y=BSρ^Qn-ZtVudu公司; St，k, （2.4）估计参数^α和^qn将很快明确。混合估计量表示条件蒙特卡罗方法与控制变量的组合，我们发现在ρ=0和ρ=-分别为0.9。使用X表示条件期望的模拟，因为在（2.3）之后，我们得到了表示X=E（St- 瑞典克朗）+英尺∨ F.然后，塔的属性确保E【X】与基础估计员的期望一致。令人惊讶的是，这消除了对W的所有依赖，并且在理论上保证了先锋减少。混合估计器中的分量Y允许表示为方差预算ρ^Qn的计时器选项的时间t价格，写在价格过程的平行分量上。过程Y=yt显然是一个鞅，因为它具有代表性yt=E（Sτ^Qn）- 瑞典克朗）+英尺, τ^Qn：=infu>0：ZuVsds=^Qn,任何可交易资产都是如此。

因此，对于所有到期日t，我们能够利用（2.1）中的以下预期，E[Y]=E[Y]=BSρ^Qn；1，k.对于条件高斯过程，我们的方法可以使用Hull–Whiteprice评估来代替Black–Scholes评估。随机波动率模型下的分析计时器期权价格应该是可用的，这一点从直觉上很清楚，但对其原因的概率解释很好：log St+RtVudu=Rt√VudWuis是从零开始的连续局部鞅(Ohm, F、 {Ft}t≥0，Q），因此定义停止时间τQ：=inf{u>0：RuVsds=Q}，Dubins–Schwarz定理提供了BQ：=log SτQ+Q是一个布朗运动(Ohm, F、 {FτQ}Q≥0，Q）。我们从采样的Xi、Yi和RtVudui、 使用^αn：=-Pni=1xi-\'\'Xn易-\'\'YnPni=1易-\'\'Yn,^Qn：=辅助ZtVudu公司i： i=1，n, （2.5）意味着我们的方差减少方法在实践中失去了与对冲策略的关系。已知前者可以渐近最小化任何控制变量的^Pn（k，t）方差，例如Asmussen和Glynn（2007，第138-139页）。^Qnmight的选择似乎令人不安，但这是一个最小值，可以避免在计算Y时计算停止时间，我们发现这在计算上相对昂贵。否则，该选择将确保Y优于更明显的鞅控制变量wSt，因为以下限制保持SLIMQ→∞Y=limQ→∞学士学位ρQ-ZtVudu公司; St，k= wSt。最后，我们简要解释了我们对混合估计量使用对偶抽样的情况。我们在区间[0，t]上绘制了一条路径，并利用S1的分布对称性，±t，由1定义，±t=E±ρZtpV±udWu, V±t=ξ（t）exp-ηt2α+1（五）ot） ±1，Vot=exp（ηWαt）。请注意，除了提供彻底的方差减少外，这会立即将所需Volterra路径的数量减半，从而显著减少总运行时间。

既然混合估计量已经完全确定，我们在表1中总结了它的估计量。条件估计量和一些与我们的受控估计量相关的方法，例如计时器选项类算法，可以在一般随机波动率设置中的Bergomi（2016，第336–342页）中找到。在下一节中，我们将进行一项实验，比较从我们的基础估计量和混合估计量得出的隐含波动率。我们使用相对较少的路径，将结果偏差和方差与图3中较高质量的数据进行比较。在这一比较之后，我们继续在通过模拟评估这些参数校准精度的实验中，简要说明我们的工作对驱动微笑和倾斜的rBergomi参数η和ρ的影响。所有这些都是在Python中实现的，尽管我们大量使用NumPy库来确保类似C++的运行时。例如，可以设置Y=BSQ-Rt公司∧τQVudu；St公司∧τQ，k, 使用上文定义的τQas。值得赞赏的是，在ρ的看似尴尬的极限下→ 0和ρ→ ±1时，通过设计，混合估计器的性能分别类似于条件蒙特卡罗方法和控制变量。路径的数量几乎是任意的，因为我们发现我们的估计器完全遵循中心极限定理所暗示的缩放特性：将观测到的标准偏差减半，只需四倍的路径。估计量X YBaseSt公司- 埃克+有条件BS(1 - ρ） RtVudu；St，k受控（St- ek）+BS^Qn-RtVudu；St，k混合BS(1 - ρ） RtVudu；St，k学士学位ρ^Qn-RtVudu; St，k表1（2.1）中使用的中间估计器定义，导致混合估计器。