关于协方差矩阵最大特征值的高估

我们回顾了Muirhead关于最小特征值分布的下界：P（lp，P≤ x）≥ 1.-pYi=1P（χn≥nxλi，p）与前面的证明类似，我们使用以下符号：xi，n=√n（λp，pλi，p- 1） ，我≤ p=qnai，n=（p（χn≥nλp，pλi，p）i≤ p=qn1 i>p=qnandbi，n=（p（n（0，1））≥√n（λp，pλi，p- （1）- ) 我≤ p=qn1 i>p=qn我们有了，lim supp→∞对数（pYi=1P（χp/q≥p/qλ1，pλi，p））≤ lim支持→∞∞Xi=1log（ai，n）≤∞Xi=1lim supn→∞日志（ai，n）≤∞Xi=1lim supn→∞log（bi，n）（引理2）自i、 m，0<bi，m≤ 1、我们有：∞Xi=1supm≥nlog（bi，m）≤xi∈Hqn，κsupm≥nlog（bi，m）≤xi∈Hqn，κsupm≥nlog（zi，m）其中i≤ qm，zi，m=rπe-（xi，m-)xi，m-  +q（xi，m）- )+π和zi，否则m=1。现在让n？0，我们知道了我∈ Hqn，κ，m≥ n：xi，m-  +q（xi，m）- )+π≤-κ -  +q+π所以，supm≥nlog（zi，m）≤ c其中c= 对数（qπ-κ-+√+π).因此：∞Xi=1supm≥nlog（bi，m）≤ ξ（κ，qn）c由于φ相对于p增加，我们有：lim supp→∞对数（pYi=1P（χp/q≥p/qλ1，pλi，p））≤ c画→∞ξ（κ，qn）注意limn→∞φ（κ，qn）可以是有限的，也可以是有限的。

在这两种情况下 > 0，我们有：lim supp→∞对数（pYi=1P（χp/q≥p/qλ1，pλi，p））≤ c极限→∞ξ（κ，qn），其中c=log（qπ-κ+√π） =日志(-κ√π+2).因为κ<qπ，那么c<0，通过取cκ=-c、 我们可以得出结论。5结果的解释在本节中，我们以定性的方式展示了定理II的条件如何在没有异常值（极限密度没有狄拉克质量）的情况下收敛到极限谱（根据经验密度收敛）时反映在谱上。注意，当维数为有限时，考虑光谱或密度是等效的（我们可以使用分位数从密度推断光谱，使用直方图从光谱推断密度）。现在假设谱（经验密度函数）收敛到某个函数s:x给出的确定性谱→ s（x）代表x∈ [0，1]其中s是递减的（s（0）是最大的特征值，s（1）是最小的）。让我们调查一下→∞φ（p）=∞ 定理II的平均值。为此，我们确定了光谱序列（（λi，m）1≤我≤m） m级≥1by：λi，m=g（im），其中g:x→ g（x）是定义在[0，1]上的连续严格递减函数，在[0，1]上可微分。设p为正整数。回想一下集合Jpin定理II的定义：Jp={i：对于所有m≥ p、 |λ1，mλi，m- 1| <√m} （23）我们有：我∈ 日本<==> m级≥ p、 g（im）≥g（m）1+√m级<==> m级≥ p、 即时消息≤ g级-1（克（米）1+√m） 由于g是一个异同态且g是有界的，我们得到了：g-1（克（米）1+√m） =g-1（克（米）（1-√m） +O（m））=克-1（克（米））-克（米）√m（克-1） （g（m））+O（m）=m-克（米）√mg（m）+O（m）利用这个，我们得到了：i∈ 日本<==> 对于所有m≥ p、 我≤ 1.- 克（米）√mg（m）+O（1）由于g是连续的，我们有limm→∞g（m）=g（0）>0。因此，为了获得JPP的最终数量，当p变为最终数量时，我们需要有limm→∞√mg（m）=-∞, 它在g上具有以下属性：limx→0+√xg（x）=0。

由此，我们证明了以下命题。命题1：设g是定义在[0，1]上的连续严格递减函数，可在[0，1]上微分。我们定义了光谱序列（（λi，p）1≤我≤p） p≥1对于任何p≥ 1和1≤ 我≤ p乘以λi，p=g（ip）（24）Let（（li，p）1≤我≤p） p≥1be样本特征值的对应序列（使用给定数量的样本n=p/q计算，其中q∈]0，1[固定）。假设limx→0+√xg（x）=0。然后我们有了：跛行→∞P（l1，P>λ1，P）=1注意，如果limx→0+g（x）是有限的，则满足对g的约束。当该限制是有限的（即limx→0+克（x）=-∞ 由于g在减小），发散率应小于平方根。以下命题是先前结果的一般版本。命题2：Let（（λi，p）1≤我≤p） p≥一系列光谱和（（li，p）1≤我≤p） p≥1be样本特征值的对应序列（使用一些给定数量的样本n=p/q计算，其中q∈]0，1[固定]。

假设存在一个函数g，该函数在[0，1]上定义为连续且严格递减，在[0，1]上定义为可微分的，并且满足极限→0+√xg（x）=0，因此：k>0，p≥ k我∈ {1，…，p}，λi，pλ1，p≥g（ip）g（p）那么我们有：跛行→∞P（l1，P>λ1，P）=1顶：我们通过：Jp={i：对所有m≥ p、 |λ1，mλi，m- 1| <√m} andJp（g）={i:f或所有m≥ p、 | g（m）g（im）- 1| <√m} 很容易看出，在命题的假设下，我们有：Jp（g） 使用命题1的证明，我们知道跛行→∞|Jp（g）|=∞, 这让我们一瘸一拐→∞|Jp |=∞, 我们用定理II得出结论。6特例：具有狄拉克质量的密度在这里，我们讨论具有狄拉克质量的密度的特例，看看定理II在这种情况下是如何应用的。我们考虑一系列光谱（（λi，p）1≤我≤p） p≥1因此，对于任何p，第一个k（p）特征值等于λ1，p，其中k（p）是p的函数。当经验密度收敛到某个极限密度时，limp→∞k（p）p=δ∈]0，1[谱的其余部分与最大特征值分离，则极限密度在最大特征值上具有Dirac质量，权重为δ。注意，在这种情况下，满足定理II的条件（因为φ（p）>k（p）→ ∞)我们得出结论，概率为1时，当维数为有限时，我们高估了最大特征值。注意，对于极限密度下的任何Dirac质量，前面的论点都是正确的，这证明（使用推论1）当维数为有限时，最大样本特征值大于极限分布中的任何Dirac质量。使用定理III，相同的参数表示最小特征值。

我们的结论是，当狄拉克质量在极限密度内时，我们低估了最小特征值。7结论在本文中，我们证明了对于一大类协方差矩阵，当维数不确定时，我们以概率1高估（低估）最大（最小）特征值。利用Muirhead不等式，推导出集JP和HP上的条件是高估（低估）的最低要求。因此，条件的质量取决于不等式的质量，找到更宽松的条件与找到更好的协方差矩阵极值分布不等式直接相关。8致谢这项工作是我在彭博社（纽约）的研究实习期间完成的。我要感谢布鲁诺·杜皮尔先生给我机会从事这个项目，我还要感谢与我共事的定量研究团队的所有成员。参考文献1。R、 J.Muirhead（1974），《样本协方差矩阵的极端潜在根的分布函数的界》。生物计量学。2.N.El Karoui，Tracy Widom，一大类复样本协方差矩阵最大特征值的极限。(2007)3. Jol Bun，Jean-Philippe Bouchaud，Marc Potters，清理大型相关矩阵：随机矩阵理论工具。(2016)4. O、 Ledoit，M.Wolf，亲爱的，我缩小了样本协方差矩阵。(2003)5. N、 El Karoui，使用随机矩阵理论对高维协方差矩阵进行谱估计。(2006)6. J、 H.Won，J.Lim，S.J.Kim，B.Rajaratnam，《条件数正则化协方差估计》（2013）7。A、 Takemura，多元正态总体协方差矩阵的正交不变极大极小估计。(1983)8. E、 Meckes，测度集中与紧经典矩阵群。(2014)9. E

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