一类一般的多重分形过程与股票价格

为了激发上述事实，我们简单地将命题4.1与下面[17]中的引理1进行比较：1。命题4.1将[17]中的引理1从mBm X（t）扩展到随机波动过程Y（t）=σ（t）X（t），这是金融时间序列分析中的一个有用模型。2、与[17]引理1中的（iii）不同，命题4.1通过发现剩余项的明确标识，提供了πaH（k）的明确标识。命题4.1和引理1之间关于H的假设的唯一区别在于我们假设H∈ C（[0，1]），而在[17]中，假设H∈ Cη（[0，1]），带η∈ (0, 1).命题4.1的证明是技术性和长期性的。移至第9节：附录。第二个主要结果涉及在非常一般的条件下，估计一般过程的PHE z（t）=Φ（t，X（t））：定理4.2选取序列a∈ Rp+1及其第一个Q≥ 2个瞬间正在消失。我们在v（n）上列出以下条件。（i） v（n）满意度：limn→∞Xl=0v（n）ln（l-2） H（t）|对数n | 2-l/2=0，对于所有t∈ (0, 1).（ii）v（n）满意度：Xn≥p+1（nv（n））<∞.对于t∈ （0，1），定义n（t）=Xi∈νn（t）aZi，n, （4.3）和BHN，t=1+日志v（2n）v（n）+ 日志Vn（t）V2n（t）, （4.4）其中logis是以2为底的对数。（1） 如果v（n）满足条件（i），我们有bhn，t- H（t）=Oa。sXl=0v（n）ln（l-2） H（t）|对数n | 2-l/21/2+v（n）H（t）| log（v（n））| 1/2！+操作v（n）对数n+v（n）-1n-1..（2） 如果v（n）满足条件（i）-（ii），则bhn，ta。s----→n→∞H（t），其中。s----→n→∞几乎可以肯定地表示收敛。定理4.2是我们的关键结果。它提供了{Z（t）}在非常一般的情况下的PHE的一致估计。此外，定理4.2（1）阐述了估计量的收敛速度。我们看到，收敛速度仅取决于样本大小n和v（n）。

定理4.2的证明见第8.5节模拟研究：参数选择和与基准方法的比较我们进行模拟研究，以比较定理4.2中提供的PHE估计器与其他两种基准方法的性能：所谓的经典GQV（见[6，3]）和振荡法（见[6]）。下面，webrie简要介绍经典的GQV和振荡方法GQV方法用于估计所谓广义mBm【3】和一些多分数信号【6】的PHE，它基于以下结果（见【3】中的定理2.2】：limn→∞1.- γ -日志Vn（t）日志n= H（t），其中γ=-对数v（n）/n。注意，如果H*< 然而，γ<1/2时，存在概率收敛保持的较温和条件。我们还注意到，虽然我们的方法也基于经典的GQV，但它比上述方法更复杂，因为在我们的情况下，应该引入一些常数C来抵消未知因素yΦ（t，X（t））in（8.30）。o振荡法非常通用，它基于以下内容（见[39]和[6]中的编码算法）：H（t）=lim infε→0对数| Z（t+) - Z（t）| log |ε|。上述两种方法在Matlab代码中的实现可在INRIA的FracLab中找到：https://project.inria.fr/fraclab/.在实证研究中，我们使用了codeversion FracLab 2.2。5.1参数选择为了更方便，我们用LGQV（局部广义二次变分法）表示定理4.2中提供的PHE估计。

在这一节中，我们讨论定理4.2中函数参数v（n）的最佳选择。在LGQV和经典GQV中，我们将估计邻域半径v（n）设置为v（n）=n的形式-γ（n），带γ（n）∈ （0，1），这可能取决于n。在LGQV中，为了选择满足定理4.2中条件（ii）的一些v（n），我们考虑以下比条件（ii）略强的条件：v（n）n | log n | 4/3=1，等价地，γ（n）=+log（log（n））log（n）。我们不选择γ的原因≡ 1/2但一个更强的条件是避免系统计算误差，当参数接近极值时，系统计算误差通常会产生很大的影响。作为基准，在[6]中的经典GQV示例中，在整个模拟研究中，邻域半径参数γ被选择为常数0.7。LGQV中半径选择的一个显著特征是γ（n）减小ashttps://project.inria.fr/fraclab/download/overview/.n与经典GQV方法选择的常数γ相比，增加。此外，通过这种选择，LGQV方法的邻域半径v（n）比经典的GQV方法小一次n≥ 380，如图2左侧的图表所示。在振荡法中，需要一个邻域来估计每个点的PHE。默认情况下，我们在方法中将[nα，nβ]设置为α=0.1和β=0.3（请参见[6，39，40]）。我们在estimationneighborhood中提供了关于点数的理论选择，它允许分数点数。在使用GQV和LGQV方法进行实际估计时，我们将邻域中的理论点数取整为最接近的整数值。

对于振荡法，邻域的下界四舍五入到上限整数值，而邻域的上界四舍五入到下限整数值。5.2实验设计在本节中，我们演示了模拟实验，以检查和比较LGQV估计器与常规基准方法（即经典的GQV和γ）的估计精度≡ 0.7和振荡方法，Φ（t，X（t））的各种函数形式。我们选择的PHE是H（t）=0.5+0.3 sin（2πt），对于t=0，1/n，（n）-1） /否，1。我们使用{X（i/n）}i=0，…，的模拟场景来检验估计量的收敛性能，。。。，n、 氮含量在100到1000之间。我们利用Wood Chan方法【43】生成mBm的独立场景。因此，可以生成{Φ（t，X（t））}与Φ的各种形式的场景。然后，我们直接从{Φ（t，X（t））}t的这些场景开始估计PHE。然后，我们使用Φ（t，X（t））不同类别的函数形式的场景，将LGQV的估计结果与基准GQVand振荡方法进行比较。均方根误差（RMSE）用于测量和量化PHE估计性能。我们使用100个独立场景从原始H（t）计算每个RMSE。我们提出了Φ的三类函数形式。第一类包含mBm的单变量函数Φ（X（t）），其中Φ是C∞（R） 功能。当Φ足够平滑时，当X（t）接近0时，该类别中变换的mBm的行为与mBm本身没有显著差异。因此，我们期望LGQV具有与基准方法相似的估计性能。

第一类中的特定函数形式包括：oΦ（t，X（t））=X（t），oΦ（t，X（t））=exp（X（t））。图2：将经典GQV和LGQV方法的估计半径参数γ（n）与左图中不断增加的观测值n进行比较。右图绘制了用于估计的点数，对应于每种方法的观测数n。第二类包含时间和mBm的函数形式，例如Φ（t，X（t））。这种功能类型的mBm是LGQV优于经典GQV方法的地方。值得注意的是，使用这种函数形式Φ（t，X（t））来建模金融时间序列更为合理。请注意，金融衍生品定价中最常用的形式是Φ（t，W（t））（其中W（t）表示Bm），通常使用It^o公式。然后我们的模型Φ（t，X（t））自然地扩展了后者。我们预计LGQVis在这一类别中的RMSE小于两种基准方法。我们在这一类中采用的函数形式包括：oΦ（t，X（t））=sin（t）X（t），oΦ（t，X（t））=sin（t）+X（t）。函数形式的第三类是Φ（σ（t），X（t）），其中σ（t）是独立于{X（t）}t的离散过程（这包括σ（t）是具有连续不可微路径的确定性函数的情况）。我们将考虑σ（t）=g（W（t）），g是光滑函数的情况。这是LGQV和经典GQV都不适用的场景。这类函数形式的PHE估计将是未来研究的兴趣所在。我们在这一类中考虑的函数形式包括：oΦ（W（t），X（t））=W（t）X（t），oΦ（W（t），X（t））=W（t）+X（t），其中{W（t）}是独立于mBm{X（t）}t的布朗运动。我们对样本路径长度n=100，200。

, 1000.对于每个样本路径长度n，我们分别模拟上述每种函数类型的100个独立场景，并使用经典的GQVand振荡方法LGQV估计其PHE。计算每种方法的PHE估计的平均RMSE。文中还对不同阶数（Q=2、3、4、5）的LGQV方法的收敛速度进行了说明和比较。5.3模拟结果在给出模拟结果之前，有必要考虑mBm的最简单函数形式：Φ（t，X（t））=X（t）。理论上和直观上，在这种情况下，经典的GQV方法应该比LGQV具有更好的收敛性能。原因是后一种方法估计Φ的泰勒展开式的一阶和二阶项，这在这种特殊情况下是不必要的。因此，LGQV会减慢估计器的收敛速度。当Φ（t，X（t））=X（t）时，两种方法的性能如表1所示，左上图如附录图8所示（见第9.5节）。在这种特殊情况下，经典的GQV方法在较低的平均RMSE和估计标准偏差方面优于SLGQV就不足为奇了。图3：函数形式为Φ（X（t））=exp（X（t））。上图比较了经典GQV（红色实线）、LGQV（蓝色虚线）和振荡（绿色虚线）方法中的平均RMSE（超过100个模拟），这些方法在每个mBm路径中增加了点数。第二个上图比较了LGQV方法中不同阶差的平均RMSE。从顶部开始的第三个和第四个图在模拟mBm时使用的真实H（t）的基础上，通过各种方法绘制估计的H（t）函数。真PHE isH（t）=0.5+0.3 sin（2πt）。在图3中，我们说明了第一类函数形式Φ（t，X（t））=exp（X（t））的PHE估计的比较结果。

从图中我们可以观察到以下情况：（1）从左上图来看，经典的GQV和LGQV方法都具有一致（平均）的收敛趋势，趋向于较低的RMSE。当n≤ 当n=1000时，LGQV方法的平均RMSE为0.044（21.65%），低于经典的GQV方法。（2） 右上图显示，在LGQV估计中，平均RMSE随着差异顺序p的增长而增长。差序2的估计误差最小。原因是，较高的差序会减少每个估计邻域的观测点数量，因此会降低估计的准确性。当观测值n相对较大时，高阶广义变分可以表现得更好。（3） 左下图显示振荡法高估了sh（t）。（4） 在下面的两张图中，我们看到经典的GQV和LGQV估计量明显优于振荡估计量。这是因为这两种方法是专门为高斯过程设计的。但它们似乎有一个“驼峰”形状，延迟到真H（t）的峰值。经典的GQV方法具有比LGQV方法更严重的延迟高估。LGQV方法中的差异阶数越高，H¨older参数出现峰值后的高估越严重。此外，当真实H（t）下降时，LGQVmethod会产生过度反应，但在尾部估计方面有更好的性能（在这种情况下，在尾部边缘附近）。经典GQV的良好性能来自于当x接近0时exp（x）接近x的原因，就像我们上下文中的情况一样。在图4中，我们对Φ（t，X（t））=sin（t）X（t）的PHE估计结果进行了比较。结果证实，在分析函数形式Φ（t，X（t））时，LGQV在较低的RMSE方面始终优于经典的GQV方法。

从数量上讲，该函数形式的LGQV（n=1000时）的平均RMSE为0.135，比经典GQV情况小0.045。经典的GQV和LGQV方法都优于振荡方法，这也是由于经典的GQV方法对高斯过程的PHE估计的专门化。H（·）的振荡估计器与its目标形状相似，但由于系统误差，它不断高估H（t），因为每个tand的PHE估计都超过1。图4：函数形式为Φ（t，X（t））=sin（t）X（t）。这些图分别具有与图3相同的绘制机制（但内容不同）。图5:mBm的函数形式为Φ（W（t），X（t））=W（t）X（t）。这些图分别具有与图3相同的绘制机制（但内容不同）。图5显示了第三种功能形式类别内不同方法的苯丙氨酸估计的RMSE比较，其中经典GQVN或LGQV估计均不适用。所考虑的函数是Φ（W（t），X（t））=W（t）X（t），其中W（t）是X（t）-独立布朗运动。LGQV法的RMSE标准差高于比较法。LGQV方法不适用的部分原因是yΦ（x，·）∈ C（R）代表x∈ 违反R+。经典GQV性能更好的另一个原因是LGQV比经典GQV更敏感，我们在本次模拟研究中选择了比经典GQV更宽的邻域半径（见图2）。表1列出了当nn=1000且有100次模拟时，每种方法的更详细PHE估计比较统计数据。它显示了本仿真研究中考虑的所有函数形式的数值比较结果。第9节图8也给出了相应的图表。

从这些例子得出的结论与我们上面阐述的一致。表1：当mBm路径中的点数=1000时，此表显示了每个方法设置的平均RMSE、标准偏差、最大值和最小值。Φ（t，X（t））统计。GQV LGQV（2）LGQV（3）LGQV（4）LGQV（5）OSCavg。0.13068 0.1369 0.1742 0.1998 0.2187 0.1797X（t）标准0.02061 0.0224 0.0279 0.0307 0.0324 0.0396最大值。0.18558 0.1871 0.235 0.2666 0.2931 0.2759分钟。0.07911 0.0787 0.0968 0.1147 0.1313 0.1076avg。0.1837 0.1394 0.1727 0.1955 0.2119 0.2504X（t）标准0.0263 0.0224 0.0269 0.0298 0.0321 0.077max。0.252 0.1894 0.2448 0.2755 0.2912 0.5204分钟。0.1213 0.081 0.0924 0.1053 0.12 0.1147平均值。0.2032 0.1592 0.1919 0.2157 0.2337 0.4043exp（X（t））标准0.101 0.0899 0.0919 0.0971 0.1042 0.6456最大值。1.1086 0.9641 1.0001 1.0614 1.1371 6.3053分钟。0.122 0.0912 0.1075 0.1165 0.1244 0.1175平均值。0.1804 0.1352 0.171 0.195 0.2119 0.2538sin（t）X（t）标准0.0262 0.0214 0.0267 0.0305 0.033 0.0449最大值。0.2522 0.1826 0.2257 0.2574 0.278 0.4135分钟。0.1249 0.0767 0.0913 0.1034 0.1115 0.158平均值。0.1838 0.1394 0.1727 0.1955 0.2119 0.2556sin（t）+X（t）标准0.0263 0.0224 0.0269 0.0298 0.0321 0.0789最大值。0.252 0.1894 0.2448 0.2755 0.2912 0.5202min。0.1214 0.081 0.0924 0.1053 0.12 0.1163avg。0.2038 0.2234 0.2278 0.2309 0.2342 0.2064W（t）X（t）标准0.0286 0.0296 0.0329 0.0348 0.036 0.0381最大值。0.2817 0.2928 0.3034 0.3126 0.3165 0.2823分钟。0.1423 0.1716 0.1609 0.1544 0.1515 0.1212avg。0.2568 0.2432 0.2455 0.2482 0.2525 0.3169W（t）+X（t）标准0.0351 0.0349 0.0378 0.0397 0.0413 0.0543最大值。0.3541 0.3447 0.3595 0.365 0.3648 0.4659分钟。0.1752 0.1716 0.1611 0.1495 0.1447 0.1836我们总结了LGQV方法相对于传统基准PHE估计方法的优势。当基本过程采用时间和MBM函数形式时，LGQV方法的收敛速度显著提高。

具体而言，在我们的研究中，单变量函数Φ（X（t））情况下的平均RMSE下降了22.88%，而双变量函数Φ（t，X（t））情况下的平均RMSE下降了24.61%。在两种函数形式的情况下，PHE估计的标准偏差分别降低了12.91%和16.57%。因此，LGQV方法适用于一组更大的多分式过程：C（R+×R）函数形式的（t，X（t））。6实证研究：金融时间序列的应用最近，Keylock[28]制定了渐进多重分形重建方法，并将其应用于2008年危机期间的股市回报。通过比较八个金融指数的日收益率的标准化对数收益率与其H¨olderexponent之间的关系，Keylock观察到，从2008年崩盘前到崩盘后，纳斯达克100指数和标准普尔500指数的收益率与其H¨olderexponent之间的互相关从不显著变为强显著。然而，亚洲市场与全球其他地区的市场没有显著的相互关联。本节中的设置和目标与[28]有所不同。我们应用函数形式Φ（t，X（t））对股票价格进行建模，并使用所提出的LGQV方法从三个市场检验单个股票系列的PHE。然后，我们比较了上述三个市场的PHE。请注意，除了股票指数和股票价格之外，当前的金融文献还引入了mBm来建模随机波动率[19]和货币汇率[12]等。我们通过探索mBm不平等模型的函数形式来改进[13]的工作，并通过使用mBm框架提供一种实用的PHE估计方法来扩展[19]。