带有多米诺骨牌效应的违约传染，第一次通过时间的方法

该公式可以通过notingP（τk>t，k）以与前面命题类似的方式获得∈ K | XI=XI）=n-KXm=0Xpl=1Jl∩K级=P（τI（m）≤ t<τI（m+1），d（τI（p））=Jp，p≤ m | XI=XI），其中我们理解J= 当m=0.5独立5.1“调和测度”的模型时，我们所需的联合分布是从“调和测度”QI中获得的。在这一节中，我们在Xi之间强加独立。那么它实际上是用Xito[Ki]的调和测度表示的，∞), 我∈ 一、 让我们更准确地说。设▄X是一种业务照常流程，给定为▄Xit=xi+Zt（σi（▄Xis）dWi+ui（▄Xis）dt），▄τibe其默认时间：▄τi：=inf{s>0：▄Xis≤ Ki}。我们假设（△τi，△Xi）的每个分布都有一个密度，并且putpj（Xi，s）=P（△τi）∈ ds | Xi=Xi）ds，and qi（Xi，yi，s）=P（△τi>s，△Xis∈ dyi | Xi=Xi）dyi，代表Xi，yi∈ [Ki，∞) s>0。“调和测度”，即XIτ（1）的分布，可通过以下引理10获得∈ B（G）和S∈ B（0，∞),Q（x，A，S）=ZSXipi（xi，S）dsZAδKi（dyi）Yj6=iqj（xj，yj，S）dyj，（14），其中δ*狄拉克三角洲在*.证据（14）的左侧=ZSXiP（{τi∈ ds}∩j6=i{τi<τj，~X▄τj∈ A} ）=ZSXiZAδKi（dyi）P（|τi）∈ ds，s<τj，~Xjs∈ d yj，j 6=i）。Xi独立后∈ 一、 我们有理想的关系（14）。We putgIJ（xI，A，s）：=ZQi∈我，我，∞)∩阿伊∈I\\Jqi（xi，yi+Xj∈JCj，i，s）dyi，andgJI（xI，s）：=gIJ（xI，RI，s）=再益∈I\\Jqi（xi，yi，s）对于s>0和A∈ B（RI\\J）。因为这里有一个密度，我们会写，稍微滥用旋转，hI（xI，s）=hI（xI，ds）/ds≡ P（dI（τI（1））=I，τI（1）∈ ds | XI=XI）/ds，s>0。非空J（i，S）的定理11（i）∈ B（0，∞), 和A∈ B（RI），hIJ（x=xI，A，S）=ZShJ（xJ，S）gIJ（S，xI，A）ds。（15） （ii）对于s>0，hI（x=xI，s）=xI∈Ipi（xi，s）！1 +我-1Xm=1(-1） mXIm（…（I（I：=ImYl=1gIl-1Il（xIl-1英寸（秒）.（16） 证明。（i） 需要显示A=Qi的时间∈I\\J（ai，bi）。

通过组合（9）和引理10，我们可以看到t ha thIJ（S，Yi∈I\\J（ai，bi））=ZSXi∈Jpi（s）ZDJJδKi（dxi）Yj∈J \\{i}qj（s，xj）dxj×Yi∈I\\JZ（ai+Pj∈JCj、i、bi+Pj∈JCj，i）∩（Ki+Pj∈JCj，我，∞)qi（s，xi）dxi=ZShJ（s）ZQi∈我，我，∞)∩（爱，比）易∈I\\Jqi（s，xi）-Xj公司∈JCj，i）dxds。因此，我们得到了（15）。（ii）等式（16）是定理4中（10）和引理3中（7）的直接结果，以及关系gij（s，x=xI=ZAIJYi）∈我\\Jqi（s，xi，yi）dyi。参考Acemoglu，D.、Ozdaglar，A.和Tahbaz Sa lehi，A.（2015），“金融网络中的系统风险和稳定性”，《美国经济评论》105（2），564–608。Acharya，V.V.、Pedersen，L.H.、Philippon，T.和Richardson，M.（2017），《衡量系统性风险》，金融研究评论30（1），2–47。Chong，C.&Kl–uppelberg，C.（2015），“异质网络中的部分平均场限值”，a rXiv预印本arXiv:1507.01905。Chong，C.&Kl–uppelberg，C.（2016），“金融系统中的传染：Abayesian网络方法”。Cont，R.，Moussa，A.等人（2010），“银行系统的网络结构和系统风险”。Elliott，M.、Golub，B.&Jackson，M.O.（2014），《金融网络与传染》，美国经济评论104（10），3115–3153。Fouque，J.-P.&Sun，L.-H.（2013），《系统风险手册》，第444–452页。Huang，X.，Zhou，H.&Zhu，H.（2009），“主要金融机构系统性风险评估框架”，《银行与金融杂志》33（11），2036-2049年。Jarrow，R.A.和Yu，F.（2 001），“交易对手风险与可违约证券的定价”，《金融杂志》第56（5）期，1765-1799年。Leland，H.E.&Toft，K.B.（1996），“最优资本结构、内生破产和信贷利差期限结构”，《金融杂志》51（3），987–1019。Rogers，L.C.和Veraart，L.A.（2013），“银行间网络中的故障和救援”，管理科学59（4），882–898。