带有多米诺骨牌效应的违约传染，第一次通过时间的方法

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英文标题：
《Default Contagion with Domino Effect , A First Passage Time Approach》
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作者：
Jiro Akahori and Hai Ha Pham
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The present paper introduces a structural framework to model dependent defaults, with a particular interest in their contagion.
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中文摘要：
本文介绍了一个结构框架来建模依赖性违约，特别关注其传染。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Default_Contagion_with_Domino_Effect_,_A_First_Passage_Time_Approach.pdf (155.29 KB)

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关键词：多米诺骨牌 骨牌效应 多米诺骨 多米诺 Mathematical

多米诺骨牌效应的违约传染——阿卡霍里（chJir^o Akahori）的首次通行时间和Hai Ha Ph am+日本立命馆大学数学科学系+越南胡志明市银行大学经济数学系m1简介系统性风险和传染在金融危机中起着至关重要的作用。自20世纪90年代末的亚洲银行业危机以及2007-2008年的银行业危机以来，许多近期研究都关注这一问题。他们大多使用有向图（网络）来建模系统融资的相互依赖关系。例如，在Elliott et al.（20 14）中，组织的价值相互依赖，例如通过交叉持有股份、债务或其他负债。通过跟踪资产价值和失败成本如何通过多米诺效应的相互依赖网络传播，作者展示了级联的可能性及其程度如何取决于交叉持股的两个关键方面：整合和多元化。Rogers&Veraart（2013）对银行间联系的作用很感兴趣，并为救援财团的存在提供了条件。为了研究机构的重要性，可以使用传染指数Cont et al.（2010），CDS利差或股票波动率Acharya et al.（2017），Huang et al.（2009）。。。相反，许多其他作者可以考虑整个网络中系统性风险的全球水平。关于全球层面的参考，请参阅Cont et al.（2010）的简短调查。在另一种方法中，Acemoglu等人（20-15）对金融系统在负面冲击下的稳定性和弹性感兴趣。Fouque&Sun（201 3）关注在给定时间内达到默认水平的组件数量。作者使用借贷银行的简单线性模型的平均场限和大偏差估计来说明系统风险。

中科院和科勒·厄佩尔伯格（2015）也使用了平均场极限来证明大数定律。这两篇文章都研究了相互作用的随机微分方程系统。本文介绍了一种建立依赖性故障模型的结构框架，特别关注其传染问题。这一想法基于Jar r ow&Yu（2001）中的相依随机强度建模。“结构性”指的是，与上下文中的通常情况一样，通过确定价值过程达到一定水平的事件来模拟或有债权的破产或违约。该水平可以是内源性的，如Leland&Toft（1996）的开创性论文，但在这个阶段，它是外源性的。由于我们关注违约的相互依赖性，我们考虑一个向量值过程，其中的每个组成部分都是企业的价值。在我们的模型中，为了描述这种联系，假设每家公司的违约水平在另一家公司发生违约时都会受到影响。inChong和Kl¨uppelberg（2016）也对这种模型进行了研究。在Chong&Kl–uppelberg（2016）的论文中，作者使用贝叶斯网络方法来描述给定成熟度下金融系统的联合默认分布。在我们的模型中，一家公司的违约会导致规定的持续跳跃到其他公司的违约水平。因此，一个默认值可能导致其他默认值，但每个二阶默认值都可能触发三阶默认值，以此类推。这为联合违约概率的贝叶斯网络类型依赖性提供了一个结构框架。另一个不同之处是That Chong&Kl–uppelberg（2016）只考虑了到期时的公司价值。公司的违约或存续取决于其股权。这与我们的方法不同。我们不仅对给定时间的违约次数感兴趣，还对违约时间和违约次数感兴趣。

它们取决于企业价值的状态，而企业价值触及一些特殊区域，称为传染区域。2模型本论文中使用的模型与Chong&Kl–uppelberg（2016）中的模型相似。让xit表示第i家公司的固定价值过程，对于i=1，2，···，n和n≥ 用τi定义“默认时间”：=inf{s≥ 0:Xis≤ Ki}，其中Ki∈ R是第i家公司的外部给定违约水平。我们假设X≡ （X，···，Xn）求解以下方程；Xit=xi-Xj6=iCi，j{τj<t∧τi}+Zt∧τi（σi（Xis）dWi+ui（Xis）dt）+Xj6=iZt∧τit∧τj∧τi（σji（Xis）dWi+uji（Xs）dt）（1）对于i=1，2，··，n，其中Wi，i=1，··，n是独立的布朗运动，对于i，j=1，··，n，Ci，jare非负常数，σi，ui，σji，uji，均定义在Rn上，是具有最多线性增长的光滑函数。用更简洁的方式说，o每个组成部分都是一个相互独立的分化过程，从一个默认时间到下一个时间间隔，o第i个公司的违约会导致第j个公司的违约，o这可能会导致第j个公司的违约第i次违约还可能影响第j次企业价值过程的增长率或波动性。用τ（1）：=min{τi：i=1，···，n}定义第一次传染时间，使用约定值，min = ∞. 第j次传染时间由τ（j）：=min{τk：τk>τ（j）递归确定- 1） }，j=2，3，···，n*,其中n*随机变量是否定义为n*-所有公司违约的蔓延时间。

请注意，n*≤ n但τ（j）可以是完整的。为对CDO或CDS等信贷衍生品进行定价，在固定时间内违约公司数量的分布，以Nt表示，以及τi、i的联合分布∈ 我 {1，···，n}是必需的。原则上，这些是从（τ（1），···，τ（n），d（τ（1）），··，d（τ（n））的联合分布中获得的，其中d（τ（k））={i∈ {1，···，n}：τi=τ（k）}，k=1，··，n*.3一般C为e3.1关键理念第一个关键理念是我们将（τ（i），Xτ（i））视为（类似于）一个“更新奖励”过程。我们将有一个以起点X为条件的节理密度公式（d（τ（1）），τ（1），Xτ（1））。这里我们理解Xτ（1）+t，t≥ 0到bean Rd（τ（1））c值过程；我们只对幸存的公司感兴趣。然后，通过将{1，···，n}替换为d（τ（1）），并将X替换为Xτ（1），我们得到了以Xτ（1）为条件的（d（τ（2）），τ（2），Xτ（2））的联合分布，这得益于X的马尔可夫性质。我们可以重复这个过程来获得所需的联合分布。我们可以将确定（d（τ（1））、τ（1）、Xτ（1））联合分布的问题分为三部分我们假设我们得到了Xτ（1）的调和测度-（在“艺术”跳跃之前）：在一个简单的布朗情况下，它是已知的然后，问题归结为“传染域”的描述，但它可能不是以不相交的联合形式出现的为了得到m的可计算性，我们依赖于独立性和递归方程。考虑到我们正在进行如上所述的“更新”设置，从现在起，我们将X的索引集设为任意有限子集。为了指定初始索引集，我们将上标I置于先前定义的符号中；τI（1），dI，等等。然后，我们集中研究（dI（τI（1）），τI（1），XI \\ JτI（1））的联合分布。

（2） 3.2传染域I：={I，···，I一} 对于置换σ∈ SIover I，we putDI，σ：=n（xi，···，xi（一）∈ RI：xiσ（1）=Kiσ（1），xiσ（2）∈ （Kiσ（2），Kiσ（2）+Ciσ（1），iσ（2）]，···，xiσ(（一）∈ （Kiσ(一） ，Kiσ(（一）+我-1Xj=1Ciσ（j），iσ(一） 那么，我们有下面的引理1 6=J 一、 我们有{dI（τI（1））=J}=XIτI（1）-= （XJτI（1）-, XI \\JτI（1）-) ∈[σ∈SJDJ，σ×Yi∈I\\J（Ki+Xj∈JCj，我，∞).证据如果我们看到dI（τI（1））=J：={J，····，jm}等价于下面的关系，则关系很清楚：存在置换σ∈ Sj使得（i）Xjσ（1）命中Kjσ（1），（ii）命中时间Xjσ（2）在区间（Kjσ（2），Kjσ（2）+Cjσ（1），jσ（2）]，因此第jσ（1）家公司违约导致第jσ（2）家公司违约，（iii）Xjσ（3）在区间（Kjσ（3），Kjσ（2）+Cjσ（1），jσ（3）+Cjσ（2），jσ（3）]，因此第jσ（3）家公司因jσ（1）和/或jσ（3）违约2）-公司违约，。。。（m） Xjσ（m）∈ （Kjσ（m），Kjσ（m）+Pm-1l=1Cjσ（l），iσ（m）]，和（m+1）表示i∈ I\\J，Xi∈ （Ki+Pj∈JCj，我，∞) 因此，由J索引的公司违约不会导致第i家公司违约。我们推测：=[σ∈SIDI，σ，对于非空J（I，我们计算dij：=DJJ×AIJ，其中ij：=Yi∈I\\J（Ki+Xj∈JCj，我，∞).（3） 引理2 DIJ∩ DIJ′= 如果J 6=J′。证据我们可以在不丧失一般性的情况下假设J\\J′是非空的。LetJ\\J′={k，···，kl}和J∩ J′={kl+1，···，kJ} 。那么，对于x∈ DIJ，有一个置换σ∈ Sj（xk，···，xkl）∈ （Kk，Kk+Xj：σ-1（j）<σ-1（1）Ckj，k]×····×（Kkl，Kkl+Xj：σ-1（j）<σ-1（l）Ckj，kl），（4）其中，如果σ（i）=1，则总和设置为零。

另一方面，对于x=（xi，···，xi（一）∈ DIJ′，它认为（xk，···，xkl）∈ （Kk+Xj∈J′Cj，k，∞) ×···×（Kkl+Xj∈吉隆坡J’Cj，∞) （5） 自从{k，··，kl} I\\J′。Letj公司*:= argminj公司∈Jσ-1（j）。然后σ-1（j）<σ-1（j*)暗示j∈ J′∩ 因此{J：σ-1（j）<σ-1（j*)}  J′。现在我们看到t（4）和（5）不兼容，这意味着DIJ∩ 迪杰是空的。此外，我们设置di：=[i∈I{Ki}×Yj6=I（Kj，∞).那么我们有下面的引理3，让J，····，Jkbe这样 6=Jk（···（J，和setHJ，···，Jk：=DJk×AJk-1Jk×···×AJJ。然后它保持thatDII=HI \\6=J（I（HI，J \\6=J（J（HI，J，J \\6=J（J（HI，J，J，J \\···））（6），因此对于B（DI）上的任何测量，u（DII）=u（HI）+X6=J（I(-1） u（HI，J）+XJ（IX6=J（J(-1） u（HI，J，J）+···+XJ（I···X6=J我-1（J我-2(-1)我-1u（HI，J，···，J我-1).（7） 证明。我们首先提供的数据=∪JIDIJ。（8） 很明显，包括钻机右侧。假设x∈ DI。然后，对于唯一i，xi=ki，对于j 6=i，xj>kj。如果存在j 6=i，那么xj≤ Kj+Ci，j，我们将其重命名为j。否则，（xj）j∈I \\{I}∈ AI{i}和sox∈ DI{i}。在I{I，j}中，如果我们能找到j，那么xj≤ Kj+Ci，j+Cj，j，我们将其命名为j。否则为x∈ DI{i，j}。此程序可在大气中重复我- 1次，当我们有x∈ DII。所以在任何情况下x∈ ∪JIDIJ。接下来，观察DII=DI \\J（IDIJ=DI \\J（I（DJJ×AIJ）乘以（8）和引理2。通过将（8）t应用于DJJ，并通过引理2，我们得到了hatdii=DI \\J（I）（DJ×AIJ）\\J（J（DJJ×AJJ）×AIJ.通过将（8）应用于DJJand引理2，依此类推，我们最终得出（6）。3.3第一个主要结果 6=J（I，并定义一系列度量值hij（x，a，S）：=P（dI（τI（1））=J，XI \\JτI（1）∈ A、 τI（1）∈ S | XI=x），hI（x，S）=P（dI（τI（1））=I，τ（1）∈ S | XI=x），and qi（x，A，S）=P（XIτI（1）-∈ A、 τI（1）∈ S | XI=x）表示x∈气∈I（Ki，∞), A.∈ B（DI）和S∈ B[0，∞).

最后一个是过程在边界上的调和测度气∈I（Ki，∞) = DI。我们的第一个主要结果将（dI（τI（1））、τI（1）、XI \\JτI（1））的联合分布与调和测度Q相关联。定理4我们得到了hij（x，A，S）=QI（x，DJJ×sIJ（A），S）（9）和hi（x，S）=QI（x，DII，S）。（10） 在这里，sIJis是由Sij（xi，i）定义的RI的转变∈ I\\J））=（（xi+Xj）∈JCj，i））。（11） 证明。由于{dI（τI（1））=J，XI \\ JτI（1），所以从引理1中几乎可以清楚地看出公式（9）∈ A、 τI（1）∈ S} =（XIτI（1）-∈[σ∈SJDJ，σ×sIJ（A））∩ {τI（1）∈ S} 对于S∈ B（0，∞). 公式（10）也从引理1.4传染病联合分布和传染概率公式中清晰可见。在本节中，我们感兴趣的是按固定时间（以Nt表示）的违约公司数量分布，以及某些特定公司的违约时间分布。这些分布对于CDO或CDS等信贷衍生品的定价非常有用。表示Ij：=I\\j]l=1d（τI（l））=Ij- d（τI（j））第j次传染期后存活的企业的随机指数集τI（j），j=1，2，···，一、 设U=τI（1），U=τI（2）- τI（1）。。。，Uk=τI（k）- τI（k- 1)... 是连续默认值之间的到达时间间隔。Welet用户界面=∞ 如果τ（i）=∞.由于企业价值演化的马尔可夫性，我们得到以下结果（XIj，τ（j），Ij）。定理5设Jj Ij公司- 1be非空se t，Aj∈ B（合格中介机构∈Ij[千，∞)), andSj∈ B（[0，∞)), 对于j=1，2，···，n*.

（i） 我们有“更新Markovproperty”：对于m=1，···，n*,PXImτJ（m）∈ Am，d（τI（m））=Jm，τI（m）∈ Sm{XIjτI（j），Ij，τI（j）；j<m}=PXImτI（m）∈ Am，d（τI（m））=Jm，τI（m）∈ Sm | XIm-1τI（m-1） ，即时消息-1，τI（m- 1),（ii）转换概率由谐波测度asP描述XImτI（m）∈ Am，d（τ（m））=Jm，τI（m）∈ Sm | XIm-1τI（m-1） ，即时消息-1，τI（m- 1)= 他-1Jm（XIm-1τI（m-1） ，Am，Sm- τI（m- 1） ）=QIm-1（XIm-1τI（m-1） ，DJmJm×sIm-1Jm（Am），Sm- τI（m- 1))).（iii）因此，我们有{XIjτI（j）∈ Aj，d（τI（j））=Jj，Uj∈ Sj；j≤ m} | XI=XI=ZA×···×AmmYj=1hIj-1JjxIj公司-1j- 1、dxIjj、Sj=ZQmj=1sIj-1Jj（Aj）mYj=1QIj-1.（sIj-2Jj公司-1)-1（xIj-2\\Jj-1=Ij-1j- 1） ，DJjJj×dxIj-1\\Jj=Ijj，Sj,式中，I=I，Ij：=I\\j]l=1Jl，j=1，2，···，m≤ n*,和sI*J**是否在上一节中定义为（11）的移位，以及sI-1.*是身份地图。证据第一个断言（i）从X的马尔可夫性质中可以清楚地看出。第二个断言也是时间齐次性质和定理4的直接结果。第三个是通过结合（ii）和renewalMarkov性质（i）得到的。因此，我们可以得到关于两个连续默认值之间的到达时间和下一个默认值指数集的“边际分布”。J，···，Jm的推论6 我会 6=Jcm（···（Jc，和S，···Sm∈B（[0，∞)),P（{Uj∈ Sj，d（τI（j））=Jj；j≤ m} ）=mYj=1ZAIj-1JjQIj-1.（sIj-2Jj公司-1)-1（xj- 1） ，DJjJj×d xj，Sj,其中AI*J**是上一节定义为（3）的集合。推论6是确定一些重要分布的重要关键，例如给定时间的违约公司数量、给定公司的违约时间或第m次违约时间。

以下命题提供了给定固定时间内违约企业数量的分布。命题7，k=1。。。，n、 我们有p（Nt=k | XI=XI）=kXm=1X向上的≤mJp=kZu+···+um≤tu+···+um+1>tmYj=1ZAI\\j-1l=1JlJjQI\\j-1l=1Jl（sI）\\j-2l=1JlJj-1)-1（xj- 1） ，DJjJj×d xj，duj.证据因为事件{Nt=k}可以表示为asUkm=1{τI（m）≤ t<τI（m+1），（I \\Im）=Pmp=1#d（τI（p））=k}，我们得到了p（Nt=k | XI=XI）=kXm=1PτI（m）≤ t<τI（m+1），mXp=1#d（τI（p））=k | XI=XI=kXm=1X向上的≤mJp=kP（mXj=1Uj≤ t<m+1Xj=1Uj，d（τI（p））=Jp，p≤ m | XI=XI）。（12） 通过应用推论6，我们得到（12的和）=Zu+···+um≤tu+···+um+1>tmYj=1ZAI\\j-1l=1JlJjQI\\j-1l=1Jl（sI）\\j-2l=1JlJj-1)-1（xj- 1） ，DJjJj×dxj，duj.我们还可以得到第m次传染时间的分布函数。命题8，对于m=1。。。，n、 我们有p（τ（m））>t | XI=XI）=m-1Xk=1X#k-1i=1Ii<nZu+····+um≤tu+···+um+1>tmYj=1ZAI\\j-1l=1JlJjQI\\j-1l=1Jl（sI）\\j-2l=1JlJj-1)-1（xj- 1） ，DJjJj×dxj，duj.（13） 证明。我们有p（τI（k）>t（XI=XI）=kXm=1P（τI（m- 1) ≤ t<τI（m）| XI=XI）=kXm=1X#UJp<nP（τI（m- 1) ≤ t<τI（m），d（τI（p））=Jp，p≤ m | XI=XI）。使用与命题7相同的技术，我们得到了公式13。当且仅当指数k在时间t之前始终小于所有默认集d（τI（p）），则第k家公司在时间t之前仍然存在。因此，我们可以得到一组公司在时间t之前的生存概率，即9让k 我是一个非空集。那么我们有p（τk>t，k∈ K | XI=XI）=n-KXm=0Xpl=1Jl∩K级=祖+···+嗯≤tu+···+um+1>tmYj=1ZAI\\j-1l=1JlJjQI\\j-1l=1Jl（sI）\\j-2l=1JlJj-1)-1（xj- 1） ，DJjJj×d xj，duj.证据