投资组合决策中信息与理性的福利效应

最优投资策略和预期效用分别为πRγ（t）=^Θ（t，Yt）σγ+^Θ（t，Yt）σγ(1 - γ） （T- t） vγ（1+vT）- vT+vT, 0≤ t型≤ T、 γ>0，（2.13）和Vr（x；γ，T）=x1-γ1 - γexpνR（γ，T）θ+ψR（γ，T）, γ>0，γ6=1，lnx+rT+θT+vT-ln（1+vT），γ=1，（2.14），其中，对于T≥ 0，γ>0，γ6=1，ДR（γ，T）：=（1- γ） T2（γ（1+vT）- vT）（2.15）和ψR（γ，T）：=γlnγγ（1+vT）- 及物动词- (1 - γ） ln（1+vT）+ r（1- γ） T.（2.16）2.2.2短视投资者短视投资者（M）通过贝叶斯估计（2.11）适当更新Θ的条件分布，但忽略了与过滤后的市场风险价格波动相关的对冲需求（即，他/她认为从T开始的估计是恒定的）。因此，他/她选择投资政策πMγ（t）=^Θ（t，Yt）σγ，0≤ t型≤ T、 γ>0，（2.17），并享有（2.3）给出的预期效用VM，其中财富过程根据（2.12）演化，π=πMγ。经过一些代数运算（见附录6.3），我们得到：VM（x；γ，T）=x1-γ1 - γexpνM（γ，T）θ+ψM（γ，T）, γ>0，γ6=1，lnx+rT+θT+vT-ln（1+vT），γ=1，（2.18），其中，对于T≥ 0，γ>0，γ6=1，ДM（γ，T）：=（1- γ） （（1+vT）r-r- 1） 2γv（r（1+vT）r-r- r） （2.19）注意，根据Kuwana【15】，对数投资者是近视的，即πM（t）=πr（t），对于所有t≥ 0、ψM（γ，T）：=lnr公司- rr（1+vT）r-r- r+rln（1+vT）+ r（1- γ） T，（2.20）和r，r，r，r<r，是二次方程的解：r+γ- 1.r+1- γγ= 0.

（2.21）2.2.3无条件投资者有限理性的程度更为严重，因为无条件投资者（U）甚至不更新Θ的条件分布，并将风险的市场价格视为常数，等于其整个投资周期的无条件平均值θ=E[Θ]，因此，忽略了股票收益率提供的可用信息的可预测性和学习。请注意，无条件投资者也是短视的，因为由于投资机会集是恒定的，所以没有学习的可能性。无条件策略的形式为（参见Haugh等人【11】或Brennan和Xia【7】）πUγ（t）=θσγ，0≤ t型≤ T、 γ>0，（2.22），相应的预期效用VU由（2.3）给出，其中x通过财富动态（2.12）确定，π=πUγ。经过一些代数（见附录6.4），我们得到：VU（x；γ，T）=x1-γ1 - γexpνU（γ，T）θ+ψU（γ，T）, γ>0，γ6=1，lnx+rT+θT，γ=1，（2.23），其中，对于T≥ 0，γ>0，γ6=1，ДU（γ，T）：=（1- γ） （γT+（1- γ） vT）2γ（2.24）和ψU（γ，T）：=r（1- γ） T.（2.25）3完整信息的价值、可预测性和学习我们比较前面章节中研究的情景，并量化其中任何两个情景之间的差异，即获得相同预期效用所需的初始财富的额外部分。通过观察，对于所有x>0，γ>0和T>0，VU（x；γ，T）≤ VM（x；γ，T）≤ VR（x；γ，T）≤ VI（x；γ，T），（3.1）我们在集合{I，R，M，U}上引入，其中I，R，M和U分别指第2.1，2.2.1，2.2节中分析的场景。2和2.2.3，顺序关系U-M R-I，对于I，j∈ {I，R，M，U}，用I-j，我们定义Cijas的数量，如vi（x；γ，T）=Vj（x（1- Cij）；γ、 T）。

（3.2）由于从方案i到方案j的过渡，以及方案i-j，是有价值的，而且可能是繁重的，因此，就初始财富的分数而言，Cijm可能被视为是方案i中的投资者愿意支付的转移到方案j（保留价格）的最大成本。特别是，在参数不确定性的动态环境中，CUM可以被视为唯一可预测性价值（即使用未观察到的风险市场价格的条件分布的价值）、学习价值（即动态行为的价值）的CMRa度量（根据初始财富的附加价值），一旦考虑到可预测性，CRI将衡量全面信息的价值，一旦考虑到合理性（即可预测性和学习），CUI将衡量综合考虑投资组合决策的三个方面的益处。请注意，Cijr代表整个投资周期的成本——一种累积成本或复合成本，在第4节中，我们介绍了成本的年度版本。由于预期效用VI、VR、vm和VU的显式形式，我们得到：Cij=Cij（γ，T）=1- 经验值^1i（γ，T）- ^1j（γ，T）1- γθ+ψi（γ，T）- ψj（γ，T）1- γ, （3.3）Browne和Whitt进行了类似的分析，虽然成本定义不同，但仅针对对数效用，而不考虑近视战略[8]。此外，对于each i，对数投资者Vi（x；1，T）的预期效用是Vi（x；γ，T）的极限- 1/(1 - γ） ，asγ→ 1，对于任何x，T>0。我们对成本的定义与Branger等人[3]中定义的公用事业损失的概念相同。

这与Larsen和Munk所采用的财富等价效用损失的概念相似【17】。此外，1- Cijis在罗杰斯（Rogers）[23]中称之为效率，其反比是布伦南（Brennan）和夏（Xia）[7]中确定的效率之比，第19.4节。i、 j∈ {I，R，M，U}，γ>0，γ6=1。成本独立于初始财富x和对数成本（即γ=1），其具有以下简单形式：CUM（1，T）=1- e-vT/2（1+vT）1/2，（3.4）CMR（1，T）=0，（3.5）CRI（1，T）=1- （1+vT）-1/2，（3.6）等于极限值，如γ→ 1，相应的电力成本。表示（3.3）允许写入标识CUI=1-1.- 中央机存储器1.- CMR公司1.- CRI公司, （3.7）这意味着，至少在成本非常低的情况下，对于参数γ和T的显著范围以及其他参数的合理值，这一点是正确的，以下近似值：≈ CUM+CMR+CRI。（3.8）也就是说，从一个部分知情的无条件投资者（最少知情且“有能力”）转移到一个完全知情的理性投资者（最好知情且“有能力”）的成本被划分为可预测性、学习和完整信息的成本之和。注意，（3.7）和（3.8）也适用于对数情况（即γ=1）。本节其余部分专门分析投资水平T和风险厌恶γ的CUM、CMR、CRI和近似优度（3.8）。我们从投资领域开始。标准微积分产量：CUM（γ，T）=v4γT+oT, T→ 0，（3.9）CMR（γ，T）=oT, T→ 0，（3.10）CRI（γ，T）=v2γT+v4γ2γ- 2.T+oT, T→ 0，（3.11）CUI（γ，T）=v2γT+v4γ2γ- 1.T+oT, T→ 0，（3.12）对于每个γ>0。

因此，当T缩小到0时，所有成本都消失了，通过观察CUI（γ，T）=CUM（γ，T）+CMR（γ，T）+CRI（γ，T）+E（γ，T），（3.13）符号f（x）=o（g（x）），作为x→ x、 意味着，像往常一样，limx→xf（x）/g（x）=0。其中误差E（γ，T）为E（γ，T）=oT, T→ 0，（3.14）我们预计近似值（3.8）对于足够短的投资期限非常准确，因为前面的模拟将在本节中进行。我们也不认为，在短期内，成本主要由完整的信息驱动，然后是可预测性和学习，与前两者相比，后者的价值微不足道。合理地说，从长远来看，可预测性和学习会发挥其作用。随着投资期限的延长，成本行为取决于γ。我们区分了三种情况：（i）γ>1，所有T都存在成本≥ 0和限制→∞CUM（γ，T）=极限→∞CMR（γ，T）=1，limT→∞CRI（γ，T）=1-p1级- 1/γ;（3.15）（ii）γ=1（对数情况，见（3.4）-（3.6）），所有T≥ 0，CMR（1，T）=0，对于所有T和limt→∞CUM（1，T）=极限→∞CRI（1，T）=1；（3.16）（iii）0<γ<1，所有T的成本均不超过'T，且限制→\'TCUM（γ，T）=CUMγ、 \'\'T< 1，限制→\'TCMR（γ，T）=极限→\'TCRI（γ，T）=1。（3.17）请注意，对于非常长的投资期限，成本（CMR（1，T）除外）变得相关（见图2），因此近似值（3.8）不成立，尽管财务上不合理。然而，对于参数的财务合理值，我们的模拟表明，近似值非常适用于实际投资，例如不超过30年的投资（见表1）。

最后，由于成本指的是整个投资期T，我们预计它们会随着T的增加而增加，事实上，可以证明（尽管使用了一些代数）T hat，因为所有γ>1，CUM，CMRand cri都会随着T的增加而增加。CUM和CRI增加了γ=1的lso（见（3.4）-（3.6））。现在，我们转向成本行为与相对风险规避系数γ的关系。我们记得，对于任何固定的T>0，存在所有γ>γ=vT/（1+vT）的成本。我们有limγ→∞CUM（γ，T）=limγ→∞CMR（γ，T）=limγ→∞CRI（γ，T）=0，（3.18）也就是说，对于γ足够高的情况，成本变得非常小，近似值（3.8）是准确的，实际上，我们还有CUI→ 0为γ→ ∞. 随着风险厌恶情绪的增加，所有成本都会变小，因为对风险资产的投资（见表达式（2.5）、（2.13）、（2.17）和（2.22）），这是唯一具有不确定性的资产，随着γ增加到单位，其接近0，因此，信息对投资者财富的影响很小，因此其价值变得微不足道。正如已经注意到的，当γ接近1时，与对数hmic情况相关，而当γ→ γ，我们有limγ→γCUM（γ，T）=CUM（γ，T）<1，limγ→γCMR（γ，T）=limγ→γCRI（γ，T）=1。（3.19）最后，对于所有T>0的情况，CRI（γ，T）相对于γ是递减的，而SimulationsAward表明其他成本通常不是单调的。为了深入了解投资组合管理中可预测性、学习和完整信息的重要性，我们假设时间以年为单位，并绘制上述成本图：（i）图1和图2中γ=0.8、1、3的投资水平，以及（ii）图3中γ=5、10、20的风险规避水平。特别是，对于γ（图1和图2）和T（图3）的每个值，我们提供了两个垂直对齐的图：上图表示CUM、CMRand CRI；较低的gr aph显示了各成本的相对贡献（百分比）。

我们绘制了不超过30和γ的投资期限的所有成本≤ 12，而对于其他参数，我们使用Brennan[5]中估计的参数。特别是，无风险利率为5%，市场上风险资产的年标准差σ为20.2%（有关这些值的推导的详细说明，请参见Brennan【5】，第3节）。关于Θ的先验值，给定σ的值，我们再次考虑，正如Brennan[5]中所述，Θ正态分布，平均θ=0.08/σ，方差v=（0.0243/σ）。表1列出了可预测性成本CUM、学习CMR成本、全信息成本CRI、三个先前特征的成本Cui以及这些模拟文献中常用的t和γ值的分解误差E的绝对值（3.13）（均以%）的数值。如Brennan[5]所述，对市场上风险资产的年度标准偏差σ的两种规格进行了计算：即20.2%和14%。对于图，Θ正态分布，平均值为0.08/σ，方差v=（0.0243/σ）。以下观察结果如下：（a）图1 a和图2的上图显示，与理论一致，所有成本在投资期内都会增加，尽管风险规避程度越高，风险规避程度越低。这一点也很明显（参见Brennan【5】、Xia【24】、Honda【12】、Cvitani'c等人【9】、Larsen和Munk【17】以及Longo和Mainini【18】。在Brennan【5】中，它也被认为是正态分布，平均值为0.08/σ，方差V=（0.0452/σ）。