通过最优传输进行局部波动率校准

这是一个简单的一维投影问题。如果{αn，βn}满足约束αn+F*（βn）≤ 0，则它也是最小值。否则，最小值必须出现在边界a+F上*（b） =0。在这种情况下，我们将条件替换为（44）以获得infB∈Rn（F*（b（t，x））+α（t，x））+（b（t，x）- β（t，x））o，（45），必须逐点求解。最小值（45）可以使用牛顿法等标准寻根方法找到。在一些简单的情况下，甚至可以解析地计算解。步骤C：un=argmaxuLr（φn，qn，u），首先计算梯度，将增广拉格朗日Lr与u进行微分。然后，简单地通过沿梯度逐点移动来更新u，如下所示，un（t，x）=un-1（t，x）+r(t、 xxφn（t，x）- qn（t，x））。（46）10 Ivan Guo*+, Gr’egoire Loeper公司*+, 和王世毅*0 0.5 1x0246810t=0 0 0.5 1x0246810t=1/5t0 0.5 1x0246810t=2/5t0 0.5 1x0246810t=3/5t0 0.5 1x0246810t=4/5t0 0.5 1x0246810t=1图。1密度函数ρ（t，x）。停止标准：回顾HJB方程式（15）：tφ+F*(xxφ）=0。（47）我们使用（47）检查最优性。确定残差：resn=maxt∈[0,1]，x∈Dρ|tφ+F*(xxφ）|。（48）当接近问题的最优解时，该量收敛到0。通过密度ρ对残差进行加权，以缓解ρ值较小引起的任何潜在问题。5数值结果在下面的简单例子中实现并测试了该算法。考虑计算域x∈ [0,1]和时间间隔t∈ [0, 1]. 我们将初始和最终分布设置为X~ N（0.5,0.05）和X~ N（0.5,0.1）通过优化传输校准呼吸局部挥发性110 0.5 1x00.0050.010.0150.02t=0t20 0.5 1x00.0050.010.0150.02t=1/5t20 0.5 1x00.0050.010.0150.02t=2/5t20.5 1x00.0050.010.0150.02t=3/5t20 0.5 1x00.010.0150.02t=4/5t20 0.5 1x00.010.0150.02t=1t2Fig。

2方差σ（t，x）。其中N（u，σ）表示正态分布。选择以下成本函数：F（γ）=（（γ- γ), γ ≥ 0,+∞, 否则，（49），其中γ设置为0.00375，以便方差的最佳值为常数σ=0.1- 0.05= 0.0075. 然后，我们将时空域离散为128×128晶格。惩罚参数设置为r=64。3000次迭代后的结果如图1和图2所示，残差的收敛性如图3所示。收敛速度衰减很快，但经过大约500次迭代后，我们达到了一个很好的近似值。图2中的噪声尾对应于密度ρ接近于零的区域。扩散过程接近这些区域的概率很低，因此σ值的影响很小。在ρ不接近零的区域，σ保持不变，与解析解相匹配。6总结本文重点介绍了一种校准局部波动率模型的新方法。考虑到资产价格在两个固定日期的分布，采用最优运输技术对分布进行插值并恢复局部波动函数，同时保持基础过程的鞅性质。12年伊凡·郭*+, Gr’egoire Loeper公司*+, 和王世毅*0 500 1000 1500 2000 2500 3000次迭代-6-5.5-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1log10（Res）图3剩余resn。受[2]启发，该问题首先转化为鞍点问题，然后通过增广拉格朗日方法和交替方向乘子法（ADMM）算法进行数值求解。该算法在数值解与解析解相匹配的简单情况下表现良好。这种方法的主要缺点是ADMMalgorithm的收敛速度慢。我们观察到，惩罚参数越高，收敛速度越快。

需要进一步研究，以进行更多的数值实验，提高算法的效率，并将其应用于更复杂的情况。参考文献1。Backhoff Veraguas，J.、Beiglb¨ock，M.、Huesmann，M.、K¨allblad，S.：鞅Benamou–Brenier：概率观点。ArXiv电子印刷（2017）2。Benamou，J.D.，Brenier，Y.：Mongekatrovich传质问题的计算流体力学解决方案。数字。数学84(3), 375–393 (2000)3. Bouchard，B.、Loeper，G.、Zou，Y.：几乎可以肯定的是，套期保值具有永久的价格影响。FinanceStoch公司。20(3), 741–771 (2016)4. Bouchard，B.、Loeper，G.、Zou，Y.：具有线性市场影响和伽马约束的备兑期权对冲。暹罗J.控制优化。55(5), 3319–3348 (2017)5. Breeden，D.T.，Litzenberger，R.H.：期权价格中隐含的国家未定权益价格。《商业杂志》第621-651页（1978年）6。Dolinsky，Y.，Soner，H.M.：《连续时间中的鞅最优运输和稳健套期保值》。概率。理论相关领域160（1-2），391–427（2014）7。杜皮尔，B.：微笑定价。《风险杂志》第18–20页（1994年）《最优运输法的局部波动率校准》138。Evans，L.C.：偏微分方程和Monge-Kantorovich传质。《数学的最新发展》，1997年（马萨诸塞州剑桥），第65-126页。内景出版社，马萨诸塞州波士顿（1999）9。Huesmann，M.，Trevisan，D.：鞅最优运输的Benamou-Brenier公式。ArXiv电子印刷（2017）10。Kantorovich，L.V.：关于Monge的一个问题。扎普。Nauchn。扫描电镜。S、 -彼得堡。奥特尔。小地毯斯特克洛夫仪表。（POMI）312（第11页，德国标准协会算法），15–16（2004）11。Loeper，G.：宇宙学中Euler-Poisson系统的重构问题。拱定额机械。肛门。179(2), 153–216 (2006)12. Loeper，G.：具有线性市场影响和非线性Black和Scholes方程的期权定价。ArXiv e-prints（2013）13。

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