通过最优传输进行局部波动率校准

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英文标题：
《Local Volatility Calibration by Optimal Transport》
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作者：
Ivan Guo, Gr\\\'egoire Loeper, Shiyi Wang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The calibration of volatility models from observable option prices is a fundamental problem in quantitative finance. The most common approach among industry practitioners is based on the celebrated Dupire\'s formula [6], which requires the knowledge of vanilla option prices for a continuum of strikes and maturities that can only be obtained via some form of price interpolation. In this paper, we propose a new local volatility calibration technique using the theory of optimal transport. We formulate a time continuous martingale optimal transport problem, which seeks a martingale diffusion process that matches the known densities of an asset price at two different dates, while minimizing a chosen cost function. Inspired by the seminal work of Benamou and Brenier [1], we formulate the problem as a convex optimization problem, derive its dual formulation, and solve it numerically via an augmented Lagrangian method and the alternative direction method of multipliers (ADMM) algorithm. The solution effectively reconstructs the dynamic of the asset price between the two dates by recovering the optimal local volatility function, without requiring any time interpolation of the option prices.
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中文摘要：
从可观测期权价格校准波动率模型是定量金融中的一个基本问题。行业从业者最常用的方法是基于著名的杜皮尔公式[6]，该公式要求了解连续的罢工和到期日的普通期权价格，而这些价格只能通过某种形式的价格插值获得。在本文中，我们利用最优传输理论提出了一种新的局部波动率校准技术。我们构造了一个时间连续的鞅最优运输问题，该问题寻求一个鞅扩散过程，该过程与两个不同日期的已知资产价格密度相匹配，同时最小化所选的成本函数。受Benamou和Brenier[1]开创性工作的启发，我们将该问题表述为一个凸优化问题，推导其对偶公式，并通过增广拉格朗日方法和交替方向乘子法（ADMM）算法对其进行数值求解。该解决方案通过恢复最优局部波动率函数，有效地重建了两个日期之间资产价格的动态，无需对期权价格进行任何时间插值。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Local_Volatility_Calibration_by_Optimal_Transport.pdf (179.81 KB)

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关键词：波动率 Mathematical Quantitative Optimization Practitioner

OptimalTransportIvan Guo的局部波动率校准*+, Gr’egoire Loeper公司*+, 和王世毅*从可观测期权价格校准波动率模型是定量金融中的一个基本问题。工业从业者最常用的方法是基于著名的杜皮尔公式[7]，该公式要求了解连续的罢工和到期日的普通期权价格，这些价格只能通过某种形式的价格插值获得。在本文中，我们提出了一种新的局部波动率校准技术，该技术使用了最优传输理论。我们构造了一个时间连续的鞅最优运输问题，该问题寻求一个鞅扩散过程，该过程与两个不同日期的已知anasset价格密度相匹配，同时最小化所选的成本函数。受Benamou和Brenier[2]开创性工作的启发，我们将该问题描述为一个凸优化问题，推导其对偶公式，并通过增广拉格朗日方法和乘子交替方向法（ADMM）算法对其进行数值求解。该解决方案通过恢复最优局部波动函数，有效地重建了两个日期之间资产价格的动态，无需对期权价格进行任何时间插值。1引言经典Black-Scholes期权定价框架的一个基本假设是，基础风险资产具有恒定的波动性。然而，这一假设很容易被市场上观察到的期权价格所推翻，因为市场上隐含的波动率表面显示出“偏斜”或“微笑”。多年来，许多复杂的波动率模型被引入来解释这一现象。一类流行的模型是局部波动率模型。

在本地*澳大利亚莫纳什大学数学科学学院+澳大利亚莫纳什大学定量金融和投资战略中心承认法国巴黎银行支持定量金融和投资战略中心。2伊凡·郭*+, Gr’egoire Loeper公司*+, 和王世毅*在波动率模型中，波动率函数σ（t，St）是时间t和资产价格St的函数。局部波动率函数的校准涉及从可用期权价格中确定σ。杜皮尔（Dupire）[7]的开创性工作介绍了校准局部波动性的最重要方法之一，该方法提供了一种恢复局部波动性函数σ（t，s）的方法，如果欧洲看涨期权C（t，K）的价格已知为连续的到期日t和到达时间K。特别是，著名的杜皮尔公式由σ（t，K）给出=C（T，K） T+utKC（T，K） KK公司C（T，K） K、 （1）其中u是确定性函数。然而，在实践中，期权价格仅在离散的行权和到期日可用，因此需要在两个变量中进行插值以利用此公式，从而导致许多不准确之处。此外，分母中二阶导数的数值计算可能会导致波动率表面的不稳定性以及奇异性。尽管有这些缺点，杜皮尔公式及其变体在当今金融业中仍然普遍使用。在本文中，我们介绍了一种新的局部波动函数校准技术，该技术采用了受最优传输启发的变分方法。1781年，Monge【13】在土木工程背景下首次提出了最佳运输问题。基本问题是将材料从一个地点转移到另一个地点，同时将运输成本降至最低。

20世纪40年代，坎托洛维奇（Kantorovich）[10]提出了一种基于线性规划技术的问题现代处理方法，由此产生了所谓的Monge-Kantorovich问题。自那时以来，最优运输理论在流体动力学、气象学、计量经济学和宇宙学等许多领域的应用引起了人们的广泛关注（见[8]、[11]和[17]）。最近，有一些研究将最优运输扩展到随机环境，并将其应用于金融数学。例如，Tanand Touzi[16]研究了半鞅Monge-Kantorovich问题的扩展，而Dolinsky和Soner[6]将鞅最优转移应用于鲁棒套期保值问题。在我们的方法中，我们首先从在tandt到期的欧洲期权价格中恢复标的资产在tandt时的概率密度。然后，我们不再在不同的到期日之间进行插值，而是寻求一个鞅扩散过程，该过程在最小化特定成本函数的同时，将密度从tto t转移到t。这类似于经典的最优运输问题，附加的约束条件是扩散过程必须是由局部波动函数驱动的鞅。在成本函数为凸函数的情况下，该问题可以重新表述为线性约束下的凸优化问题，Huesmann等人最近在[9]和[1]中对该问题进行了研究。从理论上讲，随机控制问题可以重新表述为一个优化问题，该问题涉及在每一步求解一个非线性偏微分方程，而偏微分方程与Bouchard等人[4，3]和Loeper[12]在通过具有市场影响的期权定价的最优传输3进行局部波动率校准时所研究的偏微分方程密切相关。

在本文中，我们通过增广拉格朗日方法和交替方向乘子法（ADMM）算法来处理该问题，该算法也用于Benamou和Brenier[2]的经典最优运输问题。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了Benamou和Brenier[2]提出的经典最优运输问题。在第三节中，我们介绍了鞅最优运输问题及其增广拉格朗日。数值方法详见第4节，数值结果见第5.2节“最优运输”。在本节中，我们简要概述了Benamou和Brenier[2]提出的最优运输问题。给定密度函数ρ，ρ：Rd→ [0, ∞) 总质量RRdρ（x）dx等于RRdρ（x）dx。我们说一张地图→ 如果RDI满足ZX，则RDI是可接受的运输计划∈Aρ（x）dx=Zs（x）∈Aρ（x）dx，（2）对于所有有界子集A 设T表示所有可容许映射的集合。给定一个成本函数c（x，y），它表示将一单位质量从x移动到y的运输成本，最优运输问题是找到一个最优地图*∈ 使总成本最小化∈TZRdc（x，s（x））ρ（x）dx。（3） 特别是，当c（x，y）=y时- x |其中|·|表示欧几里德范数，该问题称为LMonge-Kantorovich问题（MKP）。[2]在流体力学框架中重新制定了LMKP。在时间间隔t内∈ [0,1]，考虑所有可能的光滑、时间相关的密度ρ（t，x）≥ 0和速度场v（t，x）∈ 满足连续性方程的tρ（t，x）+ · （ρ（t，x）v（t，x））=0，t型∈ [0,1], x个∈ Rd，（4）以及初始和最终条件ρ（0，x）=ρ，ρ（1，x）=ρ。（5） 在文献[2]中，证明了LMKP等价于找到一个最优对（ρ*,v*)这使得infρ，vZRdZρ（t，x）| v（t，x）| dtdx最小，（6）4 Ivan Guo*+, Gr’egoire Loeper公司*+, 和王世毅*受限于约束条件（4）和（5）。

然后，在[2]中，通过增广拉格朗日方法对该问题进行了数值求解。具体的数值算法被称为交替方向乘数法（ADMM），它在统计学习和分布式优化中有应用。3鞅问题的定义(Ohm ,F、 Q）是一个概率空间，其中Q是风险中性度量。假设资产价格的动态Xton t∈ [0,1]由局部波动率模型dxt=σ（t，Xt）dWt，t给出∈ [0,1]，（7）其中σ（t，x）是局部波动函数，WT是一维布朗运动。为了简单起见，假设利率和股息率为零。用ρ（t，x）表示x的密度函数，γ（t，x）=σ（t，x）/2表示扩散系数。众所周知，ρ（t，x）遵循福克-普朗克方程tρ（t，x）- xx（ρ（t，x）γ（t，x））=0。（8） 假设初始和最终密度由ρ（x）和ρ（x）给出，通过Breeden-Litzenberger[5]公式ρT（K）从欧式期权价格中恢复=C（T，K） K、 让F：R→ R∪{+∞} 是凸成本函数。我们对最小化数量感兴趣ZF（γ（t，Xt））dt=ZDZρ（t，x）F（γ（t，Xt））dtdx，其中F（x）=+∞ 如果x<0，且D R是{Xt，t的支持∈ [0, 1]}. 与经典的最优运输问题不同，这里的解的存在需要一个附加条件：存在鞅运输计划当且仅当ρ和ρ满足：ZRД（x）ρ（x）dx≤ZRД（x）ρ（x）dx，对于所有凸函数Д（x）：R→ R、 这就是众所周知的斯特拉森定理。这一条件自然被金融模型所满足，其中资产价格遵循鞅扩散过程。备注1。这里的公式实际上是非常通用的，可以很容易地适用于一大系列模型。

例如，具有局部波动性的几何布朗运动的情况可以通过在任何地方（包括在福克-普朗克方程中）替换σ（t，Xt）Xt=σ（t，Xt）来恢复。然后，成本函数F将由最优传输5进行局部波动率校准，这也取决于x。后面涉及凸共轭的论点仍然成立，因为F仍然是∧σ的凸函数。由于ρF（γ）在（ρ，γ）中不是凸的（这对我们的方法至关重要），因此应用了替换m（t，x）：=ρ（t，x）γ（t，x）。因此我们得到如下鞅最优运输问题：infρ，mZDZρ（t，x）Fm（t，x）ρ（t，x）dtdx，（9）受约束：ρ（0，x）=ρ（x），ρ（1，x）=ρ（x），（10）tρ（t，x）- xxm（t，x）=0。（11） 利用F的凸性，可以很容易地验证项ρF（m/ρ）在（ρ，m）中是凸的。还要注意，我们有ρ>0和m的自然限制≥ 0.注意m≥ 0是通过惩罚代价函数F来实现的，ρ>0将被编码到凸共轭公式中。（见命题1）接下来，为约束（10）和（11）引入一个时空相关的拉格朗日乘数φ（t，x）。因此，相关的拉格朗日isL（φ，ρ，m）=ZRZρ（t，x）Fm（t，x）ρ（t，x）+ φ（t，x）tρ（x）- xx（m（t，x））dtdx。（12） 将（12）分段积分，并使m=ργ在D的边界上消失，马丁格尔最优输运问题可重新表述为以下鞍点问题：infρ，msupφL（φ，ρ，m）=infρ，msupφZDZρFmρ- ρtφ- m级xxφdtdx-ZD（φ（0，x）ρ- φ（1，x）ρ）dx。（13） 如文献[16]中的定理3.6所示，（13）有一个等价的对偶公式，其表示形式如下：supφinfρ，mL（φ，ρ，m）=supφinfρZDZ-ρ (tφ+F*(xxφ））dtdx-ZD（φ（0，x）ρ- φ（1，x）ρ）dx。（14） 特别是，最优φ必须满足以下条件tφ+F*(xxφ）=0，（15）6 Ivan Guo*+, Gr’egoire Loeper公司*+, 和王世毅*其中F*是F的凸共轭（见（16）和命题1）。

我们稍后将使用（15）检查算法的最优性。增广拉格朗日方法与文献[2]相似，我们使用增广拉格朗日方法求解鞅最优运输问题。让我们首先回顾一下众所周知的凸共轭的定义和性质。有关更多详细信息，请参考Rockafellar[14]第12节。修复D Rd，让f：Rd→ R∪ {+∞} 是一个真凸下半连续函数。那么f的凸共轭就是函数f*: 研发部→R∪ {+∞} 定义byf*（y） ：=supx∈Rd（x·y- f（x））。（16） 凸共轭通常也称为Legendre-Fenchel变换。提案1。我们有以下性质：（i）f*是具有f的真凸下半连续函数**≡ f（ii）如果f是可微的，那么f（x）+f*（f（x））=x f（x）。回到手头的问题，回想一下G（x，y）：=xF（y/x），x>0在（x，y）中是凸的。采用G（x，y）=∞ 无论何时x≤ 0，它可以用凸共轭来表示，如下面的命题所示。提案2。用F表示*F.（i）的凸共轭设G（x，y）=xF（y/x），G的凸共轭由以下公式给出：G*（a，b）=（0，如果a+F*（b）≤ 0,∞, 否则（17） （ii）对于x>0，我们有以下等式xFyx公司= sup（a、b）∈R{ax+by：a+F*（b）≤ 0}. （18） 证明。（i） 通过定义，G的凸共轭由G给出*（a，b）=sup（x，y）∈Rnax+通过- xF车型yx公司: x>0o（19）=sup（x，y）∈Rnax+xbyx公司- Fyx公司: x>0o（20）=supx>0{x（a+F*（b） ）}，（21）如果a+F*（b）≤ 0，上限由极限x实现→ 0，否则为G*随着x的增加，会变得黑黝黝的。这确立了第（i）部分。优化传输的局部波动率校准7（ii）第（i）部分和XFyx公司= sup（a、b）∈R{ax+by- G*（a、b）：a+F*（b）≤ 0}. 现在我们可以介绍增广拉格朗日。

首先，让我们介绍以下符号：K=n（a，b）：R×R→ R×Ra+F*（b）≤ 0o，（22）u=（ρ，m）=（ρ，ργ），q=（a，b），hu，qi=ZDZu·q，（23）h（q）=G*（a，b）=（0，如果q∈ K∞, 否则，（24）J（φ）=ZD[φ（0，x）ρ- φ（1，x）ρ]，（25）t、 xx=(t，xx）。（26）通过使用上述符号，我们可以用以下方式表示命题2（ii）中的等式ρFmρ= sup{a，b}∈K{aρ+bm}=supq∈K{u·q}。（27）自限制q起∈ 对每个（t，x）逐点检查K，我们可以用以下等式zdzsupq中的积分交换上确界∈K{u·q}=supqn-H（q）+ZDZu·qo=supqn-H（q）+Hu，qio。（28）因此，（13）中规定的鞍点问题可以根据uinfφ、qnH（q）+J（φ）+hu重写，t、 xxφ- 邱。（29）注意，在新鞍点问题（29）中，u是新约束的拉格朗日乘数t、 xxφ=q。为了将其转化为凸问题，我们将增强拉格朗日定义如下：Lr（φ，q，u）=H（q）+J（φ）+Hu，t、 xxφ- qi+rht、 xxφ- qt、 xxφ- qi，（30），其中r>0是一个惩罚参数。然后鞍点问题变成SUSPuinfφ，qLr（φ，q，u），（31），其解与（13）相同。8伊凡·郭*+, Gr’egoire Loeper公司*+, 和王世毅*4数值方法在本节中，我们详细描述了求解（30）和（31）给出的鞍点问题的交替方向乘子法（ADMM）算法。在每次迭代中，使用（φn-1，qn-1，un-1） 作为起点，ADMM算法执行以下三个步骤：步骤a：φn=argminφLr（φ，qn-1，un-1） ，（32）步骤B：qn=argminqLr（φn，q，un-1） ，（33）步骤C：un=argmaxuLr（φn，qn，u）。（34）步骤A：φn=argminφLr（φ，qn-1，un-1） 找到使Lr（φ，qn）最小的函数φnth-1，un-1） ，我们将LR关于φ的泛函导数设为零：J（φ）+hun-1.t、 xxφi+rht、 xxφn- qn公司-1.t、 xxφi=0。

（35）通过分段积分，我们得到以下变分方程-r(ttφn- xxxxφn）=t（ρn-1.- 跑-1) - xx（mn-1.- 苏格兰皇家银行-1） ，（36）具有Neumann边界条件x个∈ D： rtφn（0，x）=ρ- ρn-1（0，x）+ran-1（0，x），（37）rtφn（1，x）=ρ- ρn-1（1，x）+ran-1（1，x）。（38）对于空间中的边界条件，设D=[D，D]。我们给出了扩散系数的以下边界条件：γ（t，D）=γ（t，D）=γ：=argminγ∈RF（γ）。根据（13）和（15），我们知道xxφ是γ的对偶变量。由于γ使F最小化，相应的xxφ必须为零。因此，我们有以下边界条件：xxφ（t，D）=xxφ（t，D）=0，t型∈ [0,1]. （39）在[2]中，在空间维度中使用周期性边界条件，并使用扰动方程得出唯一解。由于周期性边界条件不适用于鞅扩散，并且我们处理的是空间中的双线性项，因此我们施加以下附加边界条件以强制执行唯一解：通过最优传输进行局部波动率校准9φ（t，D）=φ（t，D）=0，t型∈ [0,1]. （40）现在，四阶线性偏微分方程（36）可以通过有限差分法或有限元法进行数值求解。步骤B：qn=argminqLr（φn，q，un-1） 由于H（q）是不可微的，我们无法区分lr与q的关系。然而，我们可以通过求解最小化问题infqlr（φn，q，un）简单地得到qnb-1). （41）这相当于solvinginfq∈Kt、 xxφn+un-1r级- qt、 xxφn+un-1r级- q. （42）现在，让我们定义n（t，x）={αn（t，x），βn（t，x）}=t、 xxφn（t，x）+un-1（t，x）r，（43）那么我们可以通过求解inf{a，b}来找到qn（t，x）={an（t，x），bn（t，x）}∈R×Rn（a（t，x）- αn（t，x））+（b（t，x）- βn（t，x））：a+F*（b）≤ 0o（44）点方向的空间和时间。