市场延迟和G预期

在本节中，我们证明（3.3）lim supn→∞越南≤ supQ公司∈QHEQ【F（S）】。在不丧失一般性的情况下（通过传递到子序列），我们假设limn→∞Vnexists（可能存在∞). 从（3.1）给出的对偶性可以看出，对于任何n∈ n存在可预测性度量Qn∈ qhn使得（3.4）Vn<n+EQn【Fn】。对于任意n∈ N引入鞅{M（N）k}nk=0M（N）k：=EQn（S（N）k | F（k-H） +），k=0，1。。。，M（n）是一个马氏体的事实来自（3.2）。显然，存在常数C，使得（3.5）| M（n）k- S（n）k |≤C√nS（n）kk≤ n、 通过应用文献[3]中的引理3.3，我们得到（Wn（M（n））| Qn）在空间上是紧的Ohm = C（[0，1]，R）和（3.6）supn∈NEQn[最大值0≤k≤nM（n）k+| ln M（n）k |]2m<∞, m>0。因此，存在一个子序列（为了便于记法，我们仍然用n来索引），它在分布上收敛到一个连续的随机过程M={Mt}t=0。事实上，{M（n）k}nk=0是一个ll n的鞅，（3.6）暗示（参见文献[3]中引理3.3之后的标准达格），M是一个严格正鞅。接下来，从假设3.1和（3.4）–（3.6）中，我们得到limn→∞越南≤ E【F（M）】。引入连续局部鞅Nt：=RtdMuMu，t∈ [0, 1]. 很明显，Mt=exp（Nt- hNti/2），t∈ [0, 1].市场延迟和G-预期9我们得出结论，在确定（3.3）之前，仍需证明以下引理。引理3.3。局部鞅N saties（3.7）dhNidt的二次变化≤ σ（H+1）t型∈ [0，1]，a.s.，这特别意味着N是（真）鞅。证据N是鞅的含义是由Burkholder-Davis-Gundy不等式得到的。因此，让我们证明（3.7）。修复n∈ N、 从Ex的Taylor展开式，我们可以得到任何k≥ H、 S（n）k- S（n）k-1=S（n）k-H-1.1+σξk√n+O（1/n）其中，对于某些常数c，项O（1/n）一致有界于c/n。

这与（3.2）一起给出（回想一下Qn∈ QHn）（3.8）方程（ξk | Fk-H-1） =O（1/√n） ，k=H。。。，n、 对于任何j=0。。。，H引入随机过程An，j={An，jk}nk=0andMn，j={Mn，jk}nk=0byAn，jk=σ√nP【k/（H+1）】i=1EQnξi（H+1）+j | F（i-1） （H+1）+j,Mn，jk=σ√nP[k/（H+1）]i=1ξi（H+1）+j- EQnξi（H+1）+j | F（i-1） （H+1）+j其中，前s[·]是·的整数部分。修正j。很明显，Mn，jis是关于由an，jand Mn，j生成的过滤的鞅。请注意，对于任何i，Mn，ji（H+1）=Mn，ji（H+1）+1=…=Mn，ji（H+1）+H。此外，（3.8）表示（3.9）式（Mn，j（i+1）（H+1）- Mn，ji（H+1））| Fi（H+1）+j=σn+O（n-3/2).因此，从鞅中心极限定理（Theore m 7.4.1 in[8]）可以看出（3.10）{Mn，j[nt]}t=0，Qn=>σ√H+1W，其中W={Wt}t=0是标准布朗运动。从（3.8）中，我们得到序列{An，j[nt]}t=0，Qn, n∈ N是紧的（在具有左极限函数的右连续的Skorokhod空间上），任何簇点都是Lipschitz连续过程。我们得出结论，存在一个子类e（为了便于记法，我们将其索引为n），因此我们具有联合分布的收敛性（3.11）{Mn，j[nt]}t=0，{An，j[nt]}t=0, Qn公司=> （W（j），A（j）），其中A（j）={A（j）t}t=0是Lipschitz连续过程，W（j）={W（j）t}t=0具有与σ相同的分布√H+1W。接下来，从所有n，Mn，jis都是关于由An，jand Mn，j生成的过滤的鞅，并且其可预测的变化是一致有界的（遵循（3.9）），我们得出，极限过程W（j）是关于由10 Y.Dolinsky和j.Zouariby W（j）和a（j）生成的自然过滤的鞅（详细信息参见[11]第9章）。因此，从（3.10）可以得出（3.12）hW（j）+A（j）it=hW（j）it=σtH+1t型∈ 【0，1】，a.s.现在，我们到达证明的最后一步。

在不损失一般性的情况下（通过传递到子序列），我们计算联合分布的序列{Mn，0[nt]}t=0。。。，{Mn，H[nt]}t=0，{An，0[nt]}t=0。。。。，{An，H[nt]}t=0, Qn公司聚合。观察σ√n【nt】Xi=1ξi=O（n-1/2）+Xj=0,1，。。。，HAn，j【nt】+Mn，j【nt】.加上（3.11）和弱收敛σ√n【nt】Xi=1ξit=0，Qn=> {Nt- hNit/2}t=0给出Pj=0,1，…，的分布，。。。，HA（j）+W（j）等于N的分布-hN i/2。此外，从e质量hNi≡ hN公司-hN i/2i我们推断，在（3.7）中，我们可以用pj=0,1，…，替换N，。。。，HA（j）+W（j）.最后，从（3.12）和简单不等式（H+1Xi=1ai）≤ （H+1）H+1Xi=1ai，a。。。，aH+1∈ Rwe得到任何T<ThPj=0,1，。。。，HA（j）+W（j）它- hPj=0,1，。。。，HA（j）+W（j）它≤（H+1）Pj=0,1，。。。，HhA（j）+W（j）iT- hA（j）+W（j）iT≤ σ（H+1）（T- T） 和（3.7）如下。3.3. 下限的证明。回顾第2节布朗概率空间(OhmW、 FW，PW）a和集合Γ，Γc。引入集合ΓH：={α∈ Γ : α ≤ σ√H+1 PW dt a.s.}和ΓHc：={α∈ Γc：α≤ σ√H+1 PW dt a.s.}。通过应用类似于文献7中引理7.2的随机化技术，我们得到了（3.13）supQ∈QHEQ[F（S）]=supα∈ΓHEPW[F（S（α））]式中，在命题2.4之前给出了所有的S（α）。接下来，标准密度参数（参见[3]中关于d=1的引理3.4）意味着（3.14）supα∈ΓHEPW[F（S（α））]=supα∈ΓHcEPW[F（S（α））]。（3.1）、假设3.1和（3.13）–（3.14）中的市场延迟和G–预期11，为了证明下界，即不等式infn→∞越南≥ supQ公司∈QHEQ[F（S）]需要建立以下引理。引理3.4。对于任何α∈ Γhc存在一系列概率测度qn∈ qhn使得我们具有弱收敛性{S（n）[nt]}t=0，Qn=> {S（α）t}t=0。证据选择α∈ ΓHcand设0=t<t<···<tJ=1，>0，ρj:Rj→[, σ√H+1]，j=0，1。。。，J- 1使（2.7）成立。

证明将分三步进行。第一步：在这一步中，我们构造概率测度Qn，n∈ N、 Fixn公司∈ N、 对于任何j=0，1。。。，J- 1考虑区间Ij：=[[ntj]，[ntj+1]），让U（j），U（j），U（j） Ijbe不相交集使得U（j）SU（j）SU（j）=Ij。我们允许U（j），U（j），U（j）是随机集，因为它们可以依赖于（n）。。。。，S（n）[ntj]（即可以取决于目前的股价[ntj]）。从简单估计S（n）k+1=S（n）k1+σξk+1√n+O（n-1)因此，对于足够大的n，我们可以找到一个概率度量Qnsuch，即S（n）k+1- S（n）k | Fk= 0k∈ U（j）方程S（n）k+1- S（n）k | Fk=1.-√n（S（n）k- S（n）k-1) k∈ U（j）方程S（n）k+1- S（n）k | Fk= -1.-√n（S（n）k- S（n）k-1) k∈ U（j）。现在，我们解释如何选择集合U（j），U（j），U（j），j=0，1。。。，J- 1、对于任意j，将间隔ij分为[√n（tj+1- tj）]相同编号的块[√n] 连续时间点的。因为我们将自己限制为整数块，所以这些块可能会覆盖区间Ij，除了O（n-1/2）位于间隔右端的连续时间点。我们将所有未涵盖的时间点定义为集合U（j）的b e元素。接下来，在[√n（tj+1- [tj]块[√n] 连续的时间点将执行以下步骤。首先，每个区块分为[√n/（2H+2）]块（2H+2）点，缺失点再次定义为集合U（j）的元素。引入随机变量（3.15）A（n）j=ρj（S（n）[nt]。。。，S（n）[ntj]）√n2σ（H+1）。在Firs t A（n）jblocks中，对于每个块{k，k+1，…，k+2H+1}，点k，k+H+1被发送到集合U（j），其余点被发送到集合U（j）。在那里[√n/（2H+2）]- A（n）jblocks（注意A（n）j≤ [√n/（2H+2）]），对于每个块{k，k+1，…，k+2H+1}，点k，k+2，k+4。。。

发送至setU（j），其余点发送至U（j）。第二步：在这一步中，我们推导出结构的基本性质。对于anyn∈ N定义随机过程M（N）={M（N）k}nk=0和N（N）={N（N）k}nk=012 Y.Dolinsky和J.ZouaribyM（N）k=S（N）max{M≤k： m级∈U（j）}，[ntj]≤ k<[ntj]+1，j=0，1。。。，J- 1，N（N）k=Pk-1i=0M（n）i+1-M（n）iΘ（n）iM（n）i，k=0，1。。。，nwhereΘ（n）i=ρj（S（n）[nt]。。。，S（n）[ntj]）表示[ntj]≤ i<[ntj+1]，我们设置M（n）n=M（n）n-1、引入过滤G（n）={G（n）k}nk=0byG（n）k=σ{M（n），…，M（n）k，S（n）[nt]，…，S（n）[ntj]≤ k<[ntj+1]，j=0，1。。。，J- 1、从集合U（j）、U（j）、U（j）的定义可以看出，M（n）是与过滤G（n）相关的qn。因此N（N）也是鞅。接下来，我们观察到，对于H+1连续时间点的任何序列，对于某些j，至少有一个属于U（j）的点。这与集合U（j）的定义一起，U（j）意味着（3.2）成立。因此Qn∈ QHnand（3.16）| M（n）k- S（n）k |≤C√nS（n）kk≤ 对于某些常数▄C>0。[3]和（3.16）中的引理3.3暗示序列{S（n）[nt]}t=0，Qn, n∈ 存在且任何簇点都是严格正的连续鞅。此外，鞅M（n），n∈ N满足（3.6）。我们需要证明任何聚类点都满足（2.8）（回想一下（2.8）的唯一性）。因此，选择一个子序列（我们仍按n对其进行索引）{S（n）[nt]}t=0，~Qn收敛到鞅M。我们将应用[5]中的稳定性结果。首先，（3.6）表示序列M（n），n∈ N满足[5]中的条件A。

因此，从[5]中的定理4.1中，我们得出结论（回想一下tρj≥ >0表示所有j）。(3.17){N（N）[nt]}t=0，Qn=>J-1Xj=0Ztj+1∧ttj公司∧tdMuρj（Mt，…，Mtj）Mut=0。第三步：鉴于（3.17），为了完成证明，我们需要证明{N（N）[nt]}t=0，Qn, n∈ N收敛于标准布朗运动。我们将应用鞅中心极限定理：【18】中的命题1。显然，N（N）k-N（N）k-1=O（n-1/2）对于所有k≤ n、 因此，仍需证明n（n），n∈ N满意度（3.18）{hN（n）i[nt]}t=0，Qn=> {t} t=0。修复n∈ N考虑一些j的区间[ntj，ntj+1]。回想步骤I中的构造，并选择一个[√n] 连续时间点。我们注意到，在第一个A（n）jblocks中，对于任何块{k，k+1，…，k+2H+1}，我们有（n）k=M（n）k=M（n）k+1=…=M（n）k+手S（n）k+H+1=M（n）k+H+1=…=M（n）k+2H+1。市场延迟和G–预期13此外，从集合U（j）的定义中，我们得到S（n）k+H+1=S（n）kexp±σ（H+1）n-1/2|Fk公司= 1.- O（n-1/2）和QnS（n）k+2H+2=S（n）k+H+1exp±σ（H+1）n-1/2|Fk+H+1= 1.- O（n-1/2).我们得出结论，对于任何块{k，k+1，…，k+2H+1}（第一个A（n）jblocks的）EQn（N（N）i+1- N（N）i）| G（N）i=σ（H+1）nρj（S（n）[nt]，。。。，S（n）[ntj]+O（n-3/2）（3.19）i∈ {k+H，k+2H+1}和EQn（N（N）i+1- N（N）i）| G（N）i= 否则为0。另一方面，对于剩余[√n/（2H+2）]- A（n）jblocks我们有M（n）i=S（n）如果i=k，k+2。。。M（n）i=S（n）i-1fori=k+1，k+3。。。。此外，从se t U（j）的定义来看，任何i∈ {k，k+2，…}Qn公司S（n）i+2=S（n）i= 1.- O（n-1/2).我们得出结论，对于任何块{k，k+1，…，k+2H+1}（剩余的第一块[√n/（2H+2）]- A（n）jblocks（3.20）EQn（N（N）i+1- N（N）i）| G（N）i= O（n-3/2) i、 最后，选择j和tj<T<T<tj+1。

从（3.15）和（3.19）–（3.20）我们得到了hn（n）i【nT】- hN（n）i[nT]=2A（n）jn（T-T）[√n] σ（H+1）nρj（S（n）[nt]，。。。，S（n）[ntj]+O（n-1/2）=（T- T） +O（n-1/2）和（3.18）如下。确认该研究得到ISF拨款160/17的支持。参考文献【1】M.Arriojas，Y.Hu，Salah–Eldin Mohammed和G.Pap，延迟Black和Scholes公式，随机分析和应用。25, 471–492, (2007).[2] P.Bank和Y.Dolinsky，《固定交易成本的超级复制》，将出现在《应用概率年鉴》中。arxiv:1610.09234，（2018年）。[3] P.Bank、Y.Dolinsky和A.P.Perkkio，《多元情况下具有小交易成本的超级复制价格的标度限制》，金融和随机。21, 487–508, (2017).[4] C.Cuchiero、I.Klein和J.Teichmann，《两次过滤环境下连续时间大型金融市场资产定价的基本定理》，提交。arxiv:1705.02087，（2017年）。[5] D.Duffie和P.Protter，《从离散到连续时间金融：金融收益过程的弱对流》，数学金融。，2, 1–15, (1992).[6] G.Di Masi，E.Platen和W.Runggaldier，《随机波动资产离散观测下的期权对冲》，随机分析研讨会，随机领域和应用，第359-364页。

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