市场延迟和G预期

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英文标题：
《Market Delay and G-expectations》
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作者：
Yan Dolinsky and Jonathan Zouari
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study super-replication of contingent claims in markets with delayed filtration. The first result in this paper reveals that in the Black--Scholes model with constant delay the super-replication price is prohibitively costly and leads to trivial buy-and-hold strategies. Our second result says that the scaling limit of super--replication prices for binomial models with a fixed number of times of delay $H$ is equal to the $G$--expectation with volatility uncertainty interval $[0,\\sigma\\sqrt{H+1}]$.
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中文摘要：
我们研究了延迟过滤市场中未定权益的超复制问题。本文的第一个结果表明，在具有常数延迟的Black-Scholes模型中，超级复制价格昂贵得令人望而却步，导致了微不足道的购买和持有策略。我们的第二个结果表明，具有固定延迟次数$H$的二项模型的超级复制价格的标度极限等于具有波动不确定性区间$[0，sigma\\sqrt{H+1}]$的$G$预期。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：Mathematical Expectations Quantitative Replication expectation

市场延迟和G预期扬·多林斯基*JONATHAN ZOUARI+希伯来大学+和MONA SH大学+摘要。我们研究了延迟过滤市场中未定权益的超级复制。本文的第一个结果表明，在具有常数延迟的Black-Scholes模型中，超级复制价格令人望而却步，并导致了微不足道的购买和持有策略。我们的第二个结果表明，具有固定延迟次数H的二项模型的超级复制价格的标度极限等于具有波动性不确定性区间[0，σ]的G预期√H+1]。1、导言本文研究具有延迟信息的金融市场中欧式期权的超级复制。这与接收市场信息（或应用市场信息）存在时间延迟的情况相对应，这导致交易员过滤与价格过滤相比只是一种延迟。尽管延迟对冲和受限信息对冲在文献中备受关注（例如，参见[4、6、9、10、12、13、14、15、19、20]），但据我们所知，这种设置中的超级复制是在[4、10]中研究的。最近，在[4]中，作者研究了资产定价的基本定理和一般连续时间两次过滤环境下的超级复制问题。其设置包括延迟设置。我们采用了[4]中的设置（用于延迟），并详细研究了Black-Scholes模型中的超级复制价格和binomialmodels的连续时间限制。我们的第一个结果表明，对于具有恒定延迟h>0的Black-Scholes模型，超级复制普通期权的最便宜方法是应用atrivial买入并持有策略。

证明的主要思想是使用文献[4]中发展的对偶理论和Girsanov定理来构造一个足够丰富的定价测度族。接下来，我们通过考虑二项模型中超级复制价格的标度限制来克服这一负面结果。我们确定一个自然数H，并假设收到信息的延迟等于H交易时间。因此，welet连续时间延迟在时间步长内线性趋于零。通过这种标度，我们证明了在波动率为常数σ>0的二元模型中，超级复制价格在不确定区间为0，σ的情况下收敛于Peng的G预期[17]√H+1]。我们在相当普遍的假设下证明了这一结果，该假设允许考虑路径依赖性支付。具体时间：2018年12月24日。2010年数学学科分类。91G10，91G20，60F05。关键词和短语。超级复制、市场延迟、二元性、G预期。*通讯作者。2 Y.Dolinsky和J.Zouarithe Payoff是凸的（可以是路径依赖的），我们收敛到波动率σ增加的Black-Scholesprice√H+1。上述结果的灵感来自Ichiba和Mousavi最近的一项工作【10】，作者在这项工作中考虑了二项模型中的supe r–复制延迟。作者设置有点不同，仅限于具有凸和路径独立支付的或有权益。我们的方法是应用[4]中的对偶理论，分析相应定价度量（双对象）的渐近行为。

这种方法允许处理更一般的设置（比[10]中的设置），并为限制提供了额外的直觉。重要的是提及pape r【1】，其中作者在布朗框架下通过非线性ar随机微分延迟方程对风险资产进行建模。主要区别在于，在他们的模型中，过滤是由风险集合生成的，因此相应的金融市场是完整的。当然，我们的情况并非如此。本文的组织结构如下。在第2节中，我们展示了在具有固定延迟的Black-Scholes模型中，简单的买入和持有策略是最优的复制。在第三节中，我们给出了具有消失延迟的二项模型中超复制策略的标度极限。2、具有常数时滞的Black-Scholes模型2.1。前期准备和买入并持有房地产。考虑完全概率空间(OhmW、 FW，PW）和标准一维布朗运动W={Wt}∞t=0，过滤FWt=σ{Wu | u≤ t} 由全套完成。我们的Black-Scholes金融市场由一项安全资产B组成，该资产B用作计价单位，因此B≡ 对于风险资产S，其在时间t的价值由t=seσWt+ut给出，S>0，其中σ>0称为波动率和u∈ R是另一个称为漂移的常数。接下来，我们将介绍[4]中针对延迟设置的超级复制设置。LetT=1是我们金融市场的主宰。我们确定一个常数延迟参数H>0，并考虑一种设置，其中投资者在时间t的控制可以依赖于时间t之前观察到的信息- h、 在此设置中，一个简单的交易策略是一个稳定过程γt=lXi=1γiI（ti-1，ti]，其中0=t<t<…<tl=1是确定性划分，对于任何i，γiisa随机变量FW（ti-1.-h） +可测量。

到期日对应的投资组合价值等于toYγ=lXi=1γti-1（Sti- Sti公司-1).我们用C表示所有超可复制声明的凸锥（通过简单策略），isC={Yγ：γ是简单的}- L+（FW，PW）。市场延迟和G–对给定p>1和欧元或有索赔X的预期3∈ Lp（FW，PW）我们定义超级套期保值价格byV（X）=inf{X：U∈C使x+U≥ X a.s.}其中，Cp是集合Cp的Lp（FW，PW）o中的closur e：=C∩ Lp（FW，PW）。根据文献[4]中的对偶结果定理4.4，我们得到（2.1）V（X）=supQ∈MqEQ[X]，其中mqq是所有等效概率度量Q的集合~ Pw使Dqdpw | FW∈ Lq（FW，PW）（其中Q+p=1）和Q装货单- ST | FW（T-h）+= 0表示所有T≥ T、 我们得出了论文的第一个结果。定理2.1。设X=f（S），其中f:R+→ R+是一个非负的、较低的半连续函数。那么X满足度v（X）的超级复制价格=^f（s），其中^f表示f的凹包络（联合值可以等于∞).此外，如果^f<∞ 然后存在最优（买入并持有）策略，并由γ明确定义≡ +^f（s）。备注2.2。利用V（X）的现金不变性，给出了f:R+→ R+为非负，可以通过要求从下方有界来放宽。2.2. 定理2.1的证明。在本节中，我们证明定理2.1。我们从以下辅助结果开始。引理2.3。设ν>0为给定常数。存在一系列概率度量Qn~ PW，n∈ N使得：（2.2）EQn【St】=s，t型∈ [0，1]和（2.3）（S，~Qn）=> （{seνWt-νt/2}t=0，PW）。（2.3）给出的关系意味着▄qn下{St}t=0的分布与{seνWt的分布相一致-在PW下，νt/2}t=0。弱收敛是在具有一致收敛拓扑的连续函数C（[0，1]；R）空间上。证据证明将分两步进行。第一步：在这一步中，我们证明（2.2）。修复n∈ N

设置，ψ（z）：=-1.∨ （z）∧ 1） ，z∈ R、 介绍函数g（n）：[0，1]→ Rg（n）t：=EPW经验值σWt+（ν- σ） P【nt】-1i=1ψ赢- Wi公司-1n+（nt- [nt]（ν- σ)ΨW【nt】n- W[新台币]-1n-νt其中[·]是·的整数部分。观察g（n）是否连续。4 Y.Dolinsky和J.Zouarinket，通过以下递归关系确定过程{W（n）t}t=0，{κ（n）t}t=0W（n）t：=Wt+ln g（n）tσ-Rtκ（n）udu，κ（n）t：=σn（ν）- σ） Pn编号-1i=0ψW（n）英寸-W（n）i-1n- u -νI（英寸，I+1n）。我们注意到（通过取给定FW【nt】/n的条件期望）g（n）t=expσ（t- 【nt】/n）/2- νt/2×EPW经验值σW[nt]n+（ν- σ） P【nt】-1i=1ψ赢- Wi公司-1n+（nt- [nt]（ν- σ)ΨW【nt】n- W[新台币]-1n所以（回想一下|ψ|≤ 1） lng（n）对所有t都是不同的∈ [0，1]\\{0，n，n，…，1}且导数有界。此外，{κ（n）t}t=0是一致有界过程（同样，|ψ|≤ 1 ). 因此，根据Girsanov定理，存在一个概率测度Qn~ pw使得{W（n）t}t=0是▄Qn下的布朗运动。因此，E▄Qn【St】=s E▄Qn经验值σИW（n）t+（ν- σ） P【nt】-1i=1ψW（n）英寸-W（n）i-1n+（nt- [nt]（ν- σ)ΨW【nt】n-~W【nt】-1n- ln g（n）t-νt= 需要sas r。第二步：在这一步中，我们跳过（2.3）。引入随机过程x（n）t=ln St+ln g（n）t- ln s，t∈ [0, 1].为了证明（2.3），有必要证明（2.4）limn→∞EQnsup0≤t型≤1 | X（n）t- （νИW（n）t- νt/2）|= 0和（2.5）极限→∞|g（n）t- 1| = 0 .很明显，| z- ψ（z）|≤ |z | I | z |>1。因此，sup0≤t型≤1 | X（n）t- （νИW（n）t- νt/2）|≤（2.6）（ν+σ）Pnk=1 | W（n）kn-W（n）k-1n | I | W（n）kn-W（n）k-1n |>1+2（ν+σ）sup0≤t型≤1 | W（n）t-W（n）[nt]n |。观察概率测量下的▄Qn，▄W（n）kn-W（n）k-1n~√nN（0，1）。因此，从（2.6）中，我们获得了LIM supn→∞EQnsup0≤t型≤1 | X（n）t- （νИW（n）t- νt/2）|≤（ν+σ）lim supn→∞√nR编号∞√n2ze-z/2√2πdz= 0和（2.4）如下。市场延迟和G–预期5最后，我们证明（2.5）。从（2.2）我们得到g（n）t=EQn[eX（n）t]。

这与平凡的等式E▄Qn[Eν▄W（n）t结合在一起-νt/2]=1个产量→∞sup0≤t型≤1.g（n）t- 1.≤lim支持→∞EQnsup0≤t型≤1.eX（n）t- eνИW（n）t-νt/2= 0其中（2.4）中的最后一个等式和sup0的一致可积性≤t型≤1eX（n）t，n∈ N、 我们的结论是（2.5）按要求成立。接下来，设Γ是所有一致有界过程α={αt}t=0的集合，这些过程对于FW是渐进可测的。对于任何α∈ Γ我们引入了相关的随机指数（α）t=s expZtαudWu-Ztαudu, t型∈ [0, 1].下面的命题是引理2.3的直接应用，将是定理2.1证明的核心。提案2.4。对于任何α∈ 存在一系列概率测度qn∈ Mq，n∈ N（在定理2.1之前定义的集合mq）使得（S，Qn）=> （S（α），PW）。证据LetΓc Γ是（2.7）αt=J形式的所有过程{αt}t=0的集合-1Xj=0ρj（S（α）t，S（α）tj）1（tj，tj+1）有时0=t<t<···<tj=1，>0，连续有界函数ρj:Rj→ [, ∞). 观察ρ是一个常数。在不损失一般性的情况下，假设分区的网格小于常数延迟h>0，即ti<ti-对于所有i=1，…，为1+h。。。，J、 通过以与[2]中引理4.6类似的方式应用Levy定理，我们得出M=s（α）是唯一的（定律）初始值为M=s的马尔代夫，其值为（2.8）J-1Xj=0Ztj+1∧ttj公司∧tdMuρj（Mt，…，Mtj）Mut=0是标准布朗运动。标准密度参数（对于d=1的情况，参见[3]中的引理3.4）意味着分布集{S（α）}t=0，PWα∈Γc{S（α）}t=0，PWα∈Γ密集。因此，有必要证明α的命题∈ Γc.Fix i=0。。。，J- 考虑布朗运动W（i）t：=Wti+t- Wti，t≥ 由于W（i）与FWti无关，我们可以将引理2.3用于布朗运动W（i）和波动率ν：=ρi（S（α）t，S（α）ti）。

只有我们将相应的测量限制在区间[0，ti+1- ti]。对于alli=0，1…，请遵循此步骤。。。，J- 1（我们移动间隔[0，ti+1- 对于区间[ti，ti+1]），我们得到一系列概率测度qn，其满足以下性质（类似于（2.2）–（2.3））（2.9）方程[St | FWti]=Sti，t型∈ [ti，ti+1]，i=0。。。，J- 16 Y.Dolinsky和J.Zouariand（2.10）StSti公司ti+1t=ti，Qn！=>（S（α）tS（α）ti）ti+1t=ti，PW, i=0，1。。。，J- 1、很明显，（2.10）意味着（S，Qn）=> （S（α），PW）。还有一点有待商榷，即Qn∈ Mqfor all n∈ N修复n。观察存在漂移过程{λ（n）t}t=0，使得{Wt-Rtλ（n）udu}t=0是Qn下的布朗运动。此外，对于任何i=0。。。，J-1漂移λ（n）|（ti，ti+1）可以通过对布朗运动W（i）t应用引理2.3来计算：=Wti+t- Wti，t≥ 0和thevolatilityν：=ρi（S（α）t，S（α）ti）。由于函数ρi，i=0，1。。。，我们得出结论，漂移过程{λ（n）t}t=0是一致有界的，并且sodQndPW | FW∈ Lq（FW，PW），称q=pp-1.∈ [1 , ∞).最后，让0≤ T<T≤ 1、集合，k：=最大{i:ti≤ T} 。从（2.9）可以看出，由于tk>T，EQn[ST | FWtk]=EQn[ST | FWtk]=Stk- h（回想一下ti- ti公司-1<h对于所有i）我们得出以下结论：装货单- ST | FW（T-h）+= 0且证明已完成。现在，我们准备证明定理2.1。证据对第2.1款的证明。首先，如果^f<∞ 然后从凹度得到^f（s）++^f（s）（s）- s）≥^f（S）≥ f（S）a。s、 换句话说，初始资本为^f（s）和γ的平凡策略≡ +^f（s）是asup er–对冲。因此，为了完成证明，仍然需要确定V（X）≥^f（s）。为此，回顾命题2之前定义的集合Γ。从Fatoulemma，由（2.1）和命题2.4给出的对偶，我们得到（2.11）V（X）≥ supα∈ΓEPW[f（S（α）]。此外，根据文献[16]中的引理3.2–3.3。

我们有SUPα∈ΓEPW[f（S（α）]≥^f（s）。因此，我们得出以下结论：t V（X）≥^f（s）。备注2.5。粗略地说，命题2.4指出，任何局部波动率模型都是Mq（双重对象）中概率度量的一个聚类点。为了使超级复制价格“合理”，我们需要对本地波动性有一个统一的界限。在下一节中，我们考虑二项模型的连续时间限制。我们证明，如果我们以“正确”的方式缩放延迟，那么出现在极限内的局部波动率模型是一致有界的。市场延迟和G–预期73。具有消失延迟的二项模型的标度极限3.1。主要结果。让‘Ohm = {-1，1}Nbe有限序列的空间ω=（ω，ω，…）；ωi∈ {-1，1}乘积概率P={，}N。定义独立同分布（i.i.d.）随机变量ξ，ξ。。。由ξi（ω）=ωi，i∈ N、 考虑自然过滤fk=σ{ξ，…，ξk}，k≥ 让Fbe变得微不足道。接下来，我们介绍了一系列波动率σ>0的二项模型。对于anyn，考虑金融市场的n步二项模型，该模型在时间0、1/n、2/n、，1、我们假设市场是安全资产≡ 1用作数字和股票。k/n时的股价由s（n）k=seσ给出√nPki=1ξi，k=0，1。。。，n、 与【10】类似，我们定义了一个自然数H∈ N和cons避免了交易时间延迟的情况。因此，我们考虑一个具有消失延迟hn，n的二元模型序列∈ N、 在N步二项式模型中，具有初始资本x的自融资对账单π是一对π=（x，{γk}N-1k=0），其中对于任何k，γkis a F（k-H） +–可测量的随机变量。到期日对应的投资组合价值等于toYπ=x+n-1Xi=0γi（S（n）i+1- S（n）i）。我们对欧洲未定权益的超级复制感兴趣。

形式上，给定一个Fn可测量的随机变量Fn（代表索赔的支付），超级复制价格由Vn给出：=Vn（Fn）=inf{x：π=（x，γ）使得Yπ≥ Fn，P-a.s.}。同样，通过应用[4]中的定理4.4（对于有限概率空间和离散变换的相对简单的情况），我们得到（3.1）Vn=supQ∈QHnEQ【Fn】其中qhn是所有概率测度Q的集合~ P开启（“”Ohm, Fn），其中（3.2）等式（S（n）k+1- S（n）k | F（k-H） +）=0，k=0，1。。。，n- 1、本文的主要结果是将超级复制价格的极限（时间步长变为零）确定为彭意义上的G预期[17]。正式，le tOhm = C（[0，1]，R）是具有一致收敛拓扑且Borelσ–field F=B的连续路径空间(Ohm). We de noteby B=Bt，t≥ 0规范过程Bt（ω）=ωt。在(Ohm, F） QH：={Q:B是B=0的Q-鞅，dhBi/dt≤ σ（H+1）Q dt-a.s.}我们假设如下。假设3.1。让F：Ohm → R+是一个连续映射，使得存在一个常数C，p>0，其中f（ω）≤ C（1+kωkp∞), ω ∈ Ohm.8 Y.Dolinsky和J.Zouarif，对于任何n∈ N、 让Wn:Rn+1→ Ohm 是由wn（y）（t）给出的线性插值运算符：=（[nt]+1- nt）y【nt】+（nt- 【nt】）y【nt】+1，t型∈ [0，1]其中y=（y，y，…，yn）∈ Rn+1和[·]表示·的整数部分。在n阶二项模型中，欧洲未定权益的支付由fn给出：=FWn（S（n））其中，根据定义，我们认为Wn（S（n））是一个随机元素，其值为Ohm.接下来，我们阐述我们的主要结果。定理3.2。假设假设3.1。然后，超级复制价格的极限由imn给出→∞Vn=supQ∈QHEQ[F（S）]，其中S是指数鞅st=S exp（Bt- hBti/2），t∈ [0, 1].3.2. 上界的证明。