负债情况下的财富分配。福克-普朗克的描述

满足定理2条件的初始数据证明首先考虑初始数据的适当平滑，然后利用以下事实，即在任何后续时间t>0时，平滑初始数据对应的解在消除初始平滑时收敛于原始数据的解。备注5。该分析的另一个结果是，如果初始基准在半直线v上消失≤ 0，由于点v=0处的解的性质，在任何后续时间t处的解≥ 0将在半直线v上保持等于0≤ 0.债务存在时的财富分配。福克-普朗克描述7通过研究位于实轴负部分的质量的演化，进一步得出了这一方向的结果。首先，考虑用testfunctionsφ（v）=1计算（2.9），如果初始值f（v）在v=±时消失，则得到∞, （1.2）满足DDTZ的解决方案+∞-∞f（v，t）dv=0，ddtZ+∞-∞vf（v，t）dv=λ-Z+∞-∞vf（v，t）dv+Z+∞-∞f（v，t）dv.因此，如果福克-普朗克方程（1.2）的（非负）初始值是满足归一化条件（2.21）Z的密度函数+∞-∞f（v）（v）dv=1；Z+∞-∞vf（v）（v）dv=1溶液f（v，t）至（1.2）仍然满足条件（2.21）。换句话说，如果初始数据是具有单位平均值的概率密度，则在任何后续时间的解仍然是具有单位平均值的概率密度。通过分别分析左右半直线上质量和平均值的行为，可以提取解的另一个有趣性质。

让我们用ρ+（t）表示（分别为ρ-（t） ）时间t时正半线上（分别在负半线上）分布的质量分数≥ 0，即（2.22）ρ+（t）=Z+∞f（v，t）dv；ρ-（t） =Z-∞f（v，t）dv。让初始值f（v）∈ C（R）满足条件（2.21）。设Hn（v）为Heaviside阶跃函数的光滑近似，例如逻辑函数Hn（v）=1+e-2伏。那么，方程式（2.9）意味着，对于任何t>0Z+∞-∞Hn（v）f（v，t）dv=Z+∞-∞Hn（v）f（v）dv++ZtZ+∞-∞hσvH′n（v）- λ（v- 1） H′n（v）if（v，s）dv ds。出租n→ +∞, 考虑到H′n（v）在零处收敛到Dirac delta，而H′n（v）是一个一致有界函数，它在点方向上收敛到零，我们得到了Limn→+∞ZtZ公司+∞-∞hσvH′n（v）- λ（v- 1） H′n（v）if（v，s）dv ds=Ztf（0，s）ds。因此，对于ant t≥ 0limn→+∞Z+∞-∞Hn（v）f（v，t）dv=Z+∞f（v，t）dv=ρ+（t），由此得出（2.23）ρ+（t）=ρ+（0）+Ztf（0，s）ds，即如果平均值为正，则正半线中的质量不会减少。8 M.TORREGROSSA和G.Toscania有类似的论点，可以分析位于实线正负部分的平均值部分的时间行为。让我们用m+（t）和m来表示这些部分-（t） ，式中（2.24）m+（t）=Z+∞vf（v，t）dv，m-（t） =Z-∞vf（v，t）dvA直接计算表明，每次t>0（2.25）m+（t）=m+（0）+Zt(-ρ-（s） m+（s）+ρ+（s）m-（s） ）ds，m-（t） =米-（0）+Zt（（ρ-（s） m+（s）- ρ+（s）m-（s） ）ds。选择平均值m=1>0意味着m+（t）=m-|（t） +1。因此，将该等式用于（2.25）中的第二个等式，我们得到了ddt | m-（t） |=-((ρ-（t） m+（t）- ρ+（t）m-（t） ）=-（| m-（t） |+ρ-（t） | m-（t） |）≤ -|m级-（t） |。因此，通过Gronwall不等式，我们得出结论（2.26）| m-（t） |≤ |m级-（0）| e-t、 平均值的负部分以指数的速度向零衰减。我们可以将前面的结果组合成下面的定理6。

设f（v）是R中的概率密度，满足归一化条件（2.21）。然后，福克-普朗克方程（1.2）的解f（v，t）对于每个后续时间t保持概率密度≥ 0，满足条件（2.21）。此外，位于实线正部分的质量ρ+（t）在时间上不递减，且（2.23）保持不变。此外，平均值m的部分-（t） 位于实轴的负部分，时间指数递减，（2.26）成立。在经济背景下，定理6的结果似乎是相关的。备注7。方程（2.23）结合质量守恒性质，意味着在初始数据为光滑概率密度的特殊情况下，其值仅在区域v内≥ 0，由于该区域中的质量只能增加，因此在任何后续时间t>0的解都保持在相同区域v上分布的平滑概率密度≥ 这与我们可以引入的任何边界条件无关，只是质量和动量守恒[23，35]。这个属性可以很容易地放宽到一般概率度量，最初在集合v上取值≥ 换言之，如备注5所述，v=0点处的无差异足以维持整个质量，最初位于同一集合上实线的正部分。备注8。关于质量和平均值在集合v上的时间演化的先前结果≥ 0表示最初分布在负半空间（债务）上的质量部分移动到区域v≥ 0，这个过程在平均值的负部分是指数级快速的。然而，由于定理3的正则性结果在时间上并不一致，因此债务存在时可能会出现负高度分布的累积。

福克-普朗克描述9 v=0点处的质量分数，最终在v=0时形成狄拉克三角洲，即无扩散点。2.4. 静止状态。让我们考虑类Γ分布（1.3），当v<0（2.27）f时，连续扩展到零∞（v） =（u- 1） u（u）扩展-u-1伏v1+u如果v≥ 0; f∞（v） 如果v<0，则=0。式中，（2.28）u=1+2λσ>1。可以很容易地验证平衡分布（2.27）达到其最大值（2.29）(R)f∞=(u + 1)u+1Γ(u)(u - 1） 经验值(-（u+1））在点（2.30）(R)v=u- 1u + 1.因此，它在间隔（0，’v）内增加，在（’v）上减少+∞). 请注意，值1+u定义了幂尾分布（2.27）的衰减率。因此（2.31）ZR | v | rf∞（v） dv<∞当且仅当r<u。然后，由于伽马函数的基本性质，可以立即得出结论，如果u>2，稳态的二阶矩是有界的，并且（2.32）ZRf∞（v） dv=1；ZRv f∞（v） dv=1；ZRvf公司∞（v） dv=u- 1u - 因此，如果在整体空间R中提出的福克-普朗克方程（1.2）的初始值是平均值等于1的概率密度函数，则f∞（v） 是一个具有相同平均值的平滑概率密度，它还满足R上的福克-普朗克方程（1.2）。如果加法u>2，且初值的二阶矩有界，则解的二阶矩以指数形式向f的二阶矩收敛∞.对于n∈ N+让我们定义N（t）=ZR+vnf（v，t）dv。然后[35]（2.33）ddtM（t）=（σ- 2λ）M（t）+2λ。因此，当σ<2λ（或者，相同的u>2）时，s秒矩的值保持有界，而在相反的情况下，s秒矩的值发散。在前一种情况下，解方程（2.33）得到（2.34）M（t）=e（σ-2λ）tM（0）+2λσ- 2λ+2λ2λ - σ、 10 M.TORREGROSSA和G。

TOSCANIwhich暗示限制→∞M（t）=2λ2λ- σ.因此，f∞（v） 是福克-普朗克方程的（唯一）稳态，矩满足（2.32）。这清楚地表明，人们可以预期，即使从整个R定义的概率密度开始，但在正平均值（在我们的情况下等于1）的情况下，初值问题的解决方案将及时收敛到平衡点（2.27）。下一节将给出该属性的各种证明。备注9。很明显，福克-普朗克方程（1.2）解的主矩的演化可以递归获得，并以计算长度增加为代价进行显式评估。3、收敛到平衡3.1。基于傅立叶的度量。如第2节所示，由于福克-普朗克方程（1.2）解的正性以及质量和动量守恒，one canalways假设解和稳态都是满足概率密度的（2.21）。这句话允许使用概率分布的度量来研究均衡收敛性。这是稀有气体动力学理论中的一种方法，可追溯到[24]，其中，根据傅里叶变换的度量，研究了Maxwell伪分子的Boltzmann方程的平衡收敛性（进一步应用参见[11、31、37]）。对于给定的常数s>0，让Msbe表示R的Borel子集上的概率度量u集，使得Zr | v | su（dv）<∞,设Fs为概率分布u的傅里叶变换集，单位为Ms。在[24]中，结合Boltzmann方程f或MaxwellMoleculars引入了一个有用的度量因子Fs，并随后应用于各种情况，包括财富分布的动力学模型[32]。

对于根据φ和ψ分布的给定随机变量对X和Y，该度量读取（3.1）ds（X，Y）=ds（φ，ψ）=supξ∈R | bφ（ξ）-bψ（ξ）| |ξ| s，如[24]所示，当概率分布φ和ψ的矩等于[s]时，度量ds（φ，ψ）是有限的，即s的整个部分∈ R+，或等于tos的力矩-1如果s∈ N、 它相当于弱者*所有s>0的度量值的收敛性。在其他性质中，很容易看出[24，32]，对于任何独立于X和Y的随机变量Z和任何常数c（3.2）ds（X+Z，Y+Z）≤ ds（X，Y），ds（cX，cY）=c | sds（X，Y）。这些性质被归为佐洛塔列夫意义上的理想概率度量[38]。在[24]发表几年后，Baringhaus和Grübel[2]研究了具有随机系数的随机变量的凸组合，被认为是与（3.1）相似的前一个度量，定义为（3.3）Ds（X，Y）=Ds（φ，ψ）=ZR | bφ（ξ）-bψ（ξ）|ξ| 1+sdξ。债务存在时的财富分配。如[2]所示，福克-普朗克描述11也是佐洛塔列夫意义上的理想概率度量，对于1<s<2，空间Fs 满足（2.21）的概率分布的F是完备的。可以证明，指标Ds和Ds是严格相关的。

特别是，如果r<s，Dr（φ，ψ）≤ c（r，s）ds（φ，ψ）r/s，其中c（r，s）是一个仅依赖于r，s的正常数。实际上，由于| bφ（ξ）|≤ 1，| bψ（ξ）|≤ 1，对于任何给定的正常数RZ |ξ|>R | bφ（ξ）-bψ（ξ）| |ξ| 1+rdξ≤Z |ξ|>R |ξ| 1+rdξ=rRr。另一方面，关于间隔|ξ≤ R |，对于s>R，它保持sz |ξ|≤R | bφ（ξ）-bψ（ξ）|ξ| 1+rdξ=Z |ξ|≤R | bφ（ξ）-bψ（ξ）|ξ| s·|ξ| 1+r-sdξ≤ds（φ，ψ）Z |ξ|≤R |ξ| 1+R-sdξ=2 ds（φ，ψ）Rs-卢比- r、 因此，对于任何给定的正常数RDr（φ，ψ）≤ 2 ds（φ，ψ）Rs-卢比-r+rRr，以及在r上的优化，对于s>r（3.4）Dr（φ，ψ）≤ c（r，s）ds（φ，ψ）r/s，其中（3.5）c（r，s）=22-r/ssr（s）- r） 。这就可以得出结论，对于1<r<2，对于s>r，赋予度量值dS的空间▄fs是完整的。可根据以下定义引入金融稳定的新指标。让p≥ 1，ands>0。对于根据φ和ψ分布的给定随机变量对X和Y，定义（3.6）Ds，p（X，Y）=Ds，p（φ，ψ）=ZR |ξ|-（ps+1）| bφ（ξ）-bψ（ξ）| pdξp、 度量值Ds对应于Ds，1，而度量值Ds是通过取限值p获得的→ ∞此外，对于常数p的任何给定值，Ds，pmetric是Zolotarev意义上的理想概率度量。如前所述，可以立即证明这些度量满足一个类似于（3.4）（3.7）Dr（φ，ψ）的不等式≤ c（p，r，s）ds（φ，ψ）r/s，其中（3.8）c（p，r，s）=21-r/s2spr（s）- r）p、 此外，可以证明Ds、p-度量是严格相关的。事实上，如果p<q和r<s，通过类似的方法，可以证明存在一个明确可计算的常数，使得以下估计值保持（3.9）Dr，p（φ，ψ）≤ c（p，q，r，s）Ds，q（φ，ψ）r/s.12 M.TORREGROSSA和G.TOSCANIA区分案例通过拟合p=2获得。