负债情况下的财富分配。福克-普朗克的描述

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英文标题：
《Wealth distribution in presence of debts. A Fokker--Planck description》
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作者：
Marco Torregrossa and Giuseppe Toscani
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider here a Fokker--Planck equation with variable coefficient of diffusion which appears in the modeling of the wealth distribution in a multi-agent society. At difference with previous studies, to describe a society in which agents can have debts, we allow the wealth variable to be negative. It is shown that, even starting with debts, if the initial mean wealth is assumed positive, the solution of the Fokker--Planck equation is such that debts are absorbed in time, and a unique equilibrium density located in the positive part of the real axis will be reached.
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中文摘要：
我们在这里考虑一个具有可变扩散系数的福克-普朗克方程，它出现在多主体社会财富分配的建模中。与之前的研究不同，为了描述一个代理人可能负债的社会，我们允许财富变量为负。结果表明，即使从债务开始，如果假设初始平均财富为正，福克-普朗克方程的解也会使债务在时间上被吸收，并且会达到位于实轴正部分的唯一平衡密度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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PDF下载：
--> Wealth_distribution_in_presence_of_debts._A_Fokker--Planck_description.pdf (315.86 KB)

2022-6-1 10:45:31 上传

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关键词：财富分配 普朗克 Mathematical distribution Quantitative

负债情况下的财富分配。AFOKKER–计划C K说明。TORREGROSSA和G.TOSCANIAbstract：我们在这里考虑一个具有可变差异系数的福克-普朗克方程，它出现在多主体社会财富分配的建模中。与之前的研究不同，为了描述一个代理人可能负债的社会，我们允许财富变量为负。结果表明，即使从债务开始，如果初始平均财富为正，福克-普朗克方程的解也会使债务及时被吸收，并且会在实轴的正部分获得唯一的平衡密度。关键词：财富分配；福克-普朗克方程；基于傅立叶的度量；收敛到平衡。1、导言近年来，财富分布的数学建模取得了显著的发展，主要与对帕累托尾形成机制的理解有关[34]（最近的一项调查参见[32]第5章）。在迄今为止考虑的各种动力学和平均场模型中【12、13、14、17、18】，福克-普朗克式的个人财富演化描述显示出了成功的结果。在[9]中，Bouchaud和Mezardin提出了一个简单的经济模型，其中财富的时间演化由一个方程描述，该方程同时捕捉了个人之间的交换和随机投机交易，从而确保了货币单位任意变化下经济的基本对称性。

然后通过平均场极限法推导出福克-普朗克型模型，解在时间上变成帕累托（幂律）型分布。设f（v，t）表示时间t的概率密度≥ 个人财富v代理人0人≥ 0，偏离初始密度f（v），平均值固定为一（1.1）m（f）=ZR+vf（v）dv=1。密度f（v，t）在时间上的演化在[9]中用福克-普朗克方程（1.2）描述ft=J（h）=σvvf+ λv（（v- 1） f），其中λ和σ表示两个与代理商贸易规则基本性质相关的正常数。方程（1.2）的主要特点是，在v=0点存在合适的边界条件时，s解保持质量和动量，并接近单位质量的时间唯一平稳解【35】。这种稳态由（逆）类Γ分布[9]（1.3）f给出∞（v） =（u- 1） u（u）扩展-u-1伏v1+u，2 M.TORREGROSSA和G.Toscani，其中正常数u>1由u=1+2λσ给出。正如意大利经济学家维尔弗雷多·帕雷托（Vilfredo Pareto）[34]的观察结果所预测的那样，（1.3）显示了财富变量大值的幂律尾部。平衡密度的显式形式代表了与模型在其经济环境中的有效性相关的一个主要方面，在玻尔兹曼动力学水平上确实很难实现，因为只有少数相对简单的模型可以进行分析处理[5、6、27]。除了[9]之外，福克-普朗克方程（1.2）也是不同运动模型的极限。本文作者之一Cordier和Pareschi【16】通过将渐近过程应用于二元风险交易的Boltzmann型动力学模型，得出了该结果。

此外，当考虑存在税收的二元交易的Boltzmann型方程的适当渐近时，出现了具有修正漂移项的相同方程【7】，在这种情况下，税收由【8】中引入的再分配算子描述。[20]中考虑了福克-普朗克（1.2）型方程系统，以模拟不同国家的财富分布，这些国家通过混合交易进行耦合。此外，方程（1.2）中的算符J（f）及其平衡核密度已在非齐次环境中考虑，以获得描述财富和交易倾向联合演化的Euler型方程【19】，并研究社会中的财富演化，代理人使用个人知识进行交易【33】。这些结果有助于保持这一极限模型代表了一个非常令人满意的描述，即财富密度在不断变化的社会中向帕累托型均衡的时间演化。方程（1.2）解的存在性、唯一性和渐近性在[35]中得到了最近的讨论。在本文中，通过部分采用【23】中概述的策略，获得了【16】中考虑的动力学模型的解与福克-普朗克方程（1.2）的解之间的精确关系，以及后者的大时间行为的详尽研究。方程（1.2）解的各种性质实际上可以从福克-普朗克描述与其动力学水平之间的极限关系中提取出来，该关系由【16】中介绍的双线性玻尔兹曼型方程给出。

有必要指出的是，由于财富变量v的域取R+中的值，且差异系数取决于财富变量，因此，对方程（1.2）解的大时间行为的分析与经典福克-普朗克方程的分析（1，36）非常不同。特别是，在[35]中，教授的论点是求助于最近在[23]中提到的切尔诺夫型不等式[15，28]，该不等式允许证明在各种情况下收敛到平衡。之前的所有结果都描述了一个社会，在这个社会中，所有代理人最初都有一个非负财富，并且没有考虑一个令人不快但现实的可能性，即部分代理人会有债务，这显然是由负财富表示的。然而，一维烯烃模型的最新结果[3，4]表明，在考虑[16]中引入的Boltzmann型方程时，没有数学障碍，初始值在整个直线上得到支持。根据[3，4]的思想，我们将在本文中研究整条实线R上的福克-普朗克方程（1.2）的初值问题，假设初始数据满足条件（1.1），即假设社会的部分代理人最初可能有债务，而初始（守恒）平均财富为正。正如我们所看到的，同样在这种情况下，平均财富的积极性将足以推动债务存在时的财富分配。福克-普朗克描述3（唯一）平衡密度的解，仍然由（1.3）给出。此外，forthcominganalysis将清楚地表明，在[35]中考虑的初始边值问题，其中初始密度支撑在正半线上，只是这里研究的一般情况的一个特例。

然而，虽然[35]的分析可以得出结论，即（1.2）的初边值问题的解以显式速率强烈收敛于平衡密度（1.3），但在本文讨论的一般情况下，我们能够表明，指数时间收敛到平衡仅在弱环境下发生，借助基于傅立叶的度量进行了很好的描述。如第3.3节所述，通常通过熵变元收敛到平衡的方法失败了，因为在这种情况下，初始密度和随后的每次t>0的解在整个实线R上得到支持，而平衡密度仅在正半线R+上得到支持。通过使用不同于标准相对香农熵的熵泛函，可以绕过这个问题。然而，对新熵泛函的熵产生的详细评估只允许在经典Lsetting中得出结果收敛，而不需要速度。2、主要结果2.1。存在性和唯一性。Fokker–Planck方程初值问题（唯一）解的存在性可以通过【35】中所做的分析来恢复，这是基于方程（1.2）和【16】中引入的Bolzmann型动力学方程之间的紧密联系。事实上，文献[35]中的存在性证明是基于动力学方程的Fourier变换版本，即使财富变量在整条实线上取值，也不会发生任何变化。

然而，虽然很少研究具有可变系数且存在边界条件的福克-普朗克方程[21]（参见本书[22]了解关于扩散方程边界条件的一般观点），但边界不存在，其他结果也可用，直接适用于福克-普朗克方程（1.2）。详细研究了具有可变扩散系数的福克-普朗克型方程的特殊情况，主要与快速扩散方程的线性化有关（参考文献[10]）。然后，Le Bris和Lions在[29]中研究了具有一般系数的福克-普朗克型方程的初值问题。他们的结果表明，方程（1.2）的初值问题对于一大类初值有唯一的解。在一维空间中，Le Bris和Lionsconsider-Fokker-Planck方程的一种形式（2.1）tp（v，t）=vσ（v）p（v，t）+v（b（v）p（v，t）），对应于我们的情况，散度形式的方程（2.2）tp（v，t）=vσ（v）vp（v，t）+b（v）p（v，t）,以及所谓的后向Kolmogorov方程（2.3）tp（v，t）=σ（v）vp（v，t）- b（v）vp（v，t）。将bσ和Stratonovich漂移定义为bσ=b-vσ，bs=b-σvσ。然后，以下是M.TORREGROSSA和G.Toscani定理1。（[29]）假设三个漂移函数b、bσ或b满足度（2.4）b（v）中的任何一个∈ W1,1loc（R），vb（v）∈ L∞（R） ，b（v）1+| v|∈ L+L∞（R） σ满足（2.5）σ（v）∈ W1,2loc（R），σ（v）1+| v|∈ L+L∞（R） 。然后针对每个初始条件∩L∞（R） （分别为∩L∞（R） ，福克-普朗克方程（2.1）、散度形式的福克-普朗克方程（2.2）和后向Kolmogorovequation（2.3）都在空间（2.6）p中有唯一解∈ L∞[0，T]，L∩ L∞响应。

L∞[0，T]，L∩ L∞, σ副总裁∈ L[0，T]，L.福克-普朗克方程（1.2）的自然条件是应用定理1，将L中的概率密度作为初值∩ L∞（R） 。在这种程度上，可以将方程（1.2）写成散度形式（2.7）tf公司=vσvvf+v（σ+）v-f,这与方程（2.2）类似，并指出在我们的情况下，b（v）=（σ+）v- σ（v）=σ1/2v。我们获得了第二名。设f（v）属于L∩ L∞（R） 。然后，福克-普朗克方程（1.2），对于t≤ 在空间（2.8）f（v，T）中有唯一的解f（v，T）∈ L∞[0，T]，L∩ L∞, vvf（v，t）∈ L[0，T]，L.2.2. 规律性文献[35]研究了方程（1.2）初边值问题解的正则性。为了完整性以及解决方案的大时间行为的后果，我们在这里给出一个简短的证明。对于任何给定的平滑函数Д（v），v∈ R让我们考虑方程（1.2）（2.9）ddtZ的弱形式+∞-∞Д（v）f（v，t）dv=（Д，J（f））=Z+∞-∞hσvИ′（v）- λ（v- 1） ν′（v）if（v，t）dv。在定理2的假设下，通过选择Д（v）=e-iξvwe获得福克-普朗克方程（1.2）（2.10）的傅里叶变换版本tbf（ξ，t）=bJ（bf）=σξξbf（ξ，t）- λξξbf（ξ，t）- iλξbf（ξ，t），其中，通常bg（ξ）表示g（v），v的傅里叶变换∈ Rbg（ξ）=ZRe-iξvg（v）dv。Letbf（ξ，t）=a（ξ，t）+ib（ξ，t）。那么BF的实部和虚部满足（2.11）ta（ξ，t）=σξξa（ξ，t）- λξξa（ξ，t）+λξb（ξ，t），tb（ξ，t）=σξξb（ξ，t）- λξξb（ξ，t）- λξa（ξ，t）。债务存在时的财富分配。让我们将方程式（2.11）分别乘以2a和2b。

综上所述，我们得到了| bf（ξ，t）|满足的演化方程。(2.12)t | bf |=σξ一ξa+bξb- λξ|高炉煤气|ξ.因此，乘以R上关于ξ的|ξ| pand积分，我们得到了˙Hp/2的演化方程-f（v，t）的范数，其中，通常，齐次Sobolev空间˙Hs由范数kfk˙Hs=ZR |ξ| 2s | bf |（ξ）dξ定义。我们获得（2.13）tZR |ξ| p | bf | dξ=σZR |ξ| 2+p一ξa+bξbdξ-λZRξ|ξ| p|高炉煤气|ξdξ，对两个积分进行部分积分，得到（2.14）tZR |ξ| p | bf | dξ=（p+1）σ（p+2）+λZR |ξ| p | bf | dξ-σZR |ξ| 2+pξa+ξbdξ。因为（2.14）中的最后一个积分可以从[35]ZR |ξ| 2+p以下的值来界定ξa+ξbdξ≥（p+1）ZR |ξ| p | bf | dξ。我们最终获得（2.15）tZRξp bf dξ≤p+1σp+3+2λZR |ξ| p | bf | dξ。不等式（2.15）表明，如果初始数据有界˙Hp-正常，则对于所有t>0的情况，Hp-解的范数保持有界，即使不是关于时间的一致有界。我们证明了OREM 3。（[35]）设f（v）是R t中属于˙Hr（R）的概率密度。然后，Hr-福克-普朗克方程（1.2）解f（v，t）的范数，对于t≤ T，仍然属于˙Hr（R），和d（2.16）ZR |ξ| 2r | bf |（T）dξ≤ 经验值2r+1σ2r+3+2λt型ZR |ξ| 2r | bf | dξ。备注4。恢复福克-普朗克方程（1.2）解的˙Hr（R）-范数的一致有界性的困难与微分系数σv的奇异性密切相关，该系数在对应于点v=0时消失。事实上，正如普罗文（provenin）[10]对一个系数为1+σv的类似福克-普朗克方程所说，解的˙Hr（R）-范数的一致性是成立的。6 M.TORREGROSSA和G.TOSCANI2.3。其他属性。[29]的分析并不关心（2.1）的溶液的正性的最终保持。

然而，对于方程（1.2），可以很容易地证明这一性质，方法是使用[35]中针对R+中提出的相同方程使用的相同参数。事实上，正如文献[35]所证明的那样，福克-普朗克方程（1.2）的解是玻耳兹曼型动力学方程解的极限，对于该方程，获得正性性质至关重要。然而，通过研究福克-普朗克方程，可以直接证明积极性，方法是引用以下论点【25】。假设福克-普朗克方程（1.2）的初始数据f（v）（以及唯一解）是光滑的，并且在v=±时为零∞. 此外，假设f（v）≥ 由于（平滑）初始值为非负，对于t≥ 0，everypoint vm（t），其中f（vm（t），t）=0是局部最小值，和（2.17）vf（v，t）v=vm（t）=0，vf（v，t）v=vm（t）>0。或固定点，在这种情况下（2.18）vf（v，t）v=vm（t）=0，vf（v，t）v=vm（t）=0。计算导数时，福克-普朗克方程（1.2）可以写成（2.19）式tf（v，t）=σvvf（v，t）+[（2σ+λ）v- λ]vf（v，t）+（λ+σ）f（v，t）。因此，在v=vm（t）点处计算（2.19）并使用（2.17）表明，如果vm（t）6=0，则为局部最小值tf（v，t）| v=vm（t）=σvm（t）vf（v，t）| v=vm（t）>0。这意味着函数f（v，t）在点v=vm（t）处随时间增加，除非svm（t）=0。实际上，如果在vm（t）=0时达到局部最小值tf（v，t）| v=0=0，且f（0，t）在任何后续时间保持等于零。如果现在vm（t）是一个固定点，那么（2.18）成立，tf（v，t）| v=vm（t）=0，且f（v，t）保持等于零。因此（2.20）minx∈射频（v，t）≥ 0，然后为正值。