平衡分布与离散Schur常数模型

（3.12）引理3.2，Pj+1r=1ar（j+1）xr= xj，其中系数ar（·）由表达式（3.7）给出。因此，（3.12）中的和可以通过应用部分求和来计算，∞Xx=0p（i-1)*（x） j+1Xr=1ar（j+1）xr=j+1Xr=1ar（j+1）∞Xx=0p（i-1)*（x） xr。（3.13）在Li（2011）中，与n- 找到了次阶乘矩。我们现在重点研究Schur常数多元均衡模型中的Pearson相关系数ρ。我们看到ρ是X的一些普通矩的函数。命题3.4。考虑具有生存函数（3.5）的向量（X，…，Xn）。在（n）的期望和方差方面- 1） -X的th阶平衡分布，皮尔逊相关系数由ρ=V（X（n）给出-1)*) -EX（n-1)*- E（X（n-1)*)2V（X（n-1)*). （3.14）证明。它直接来自6.2号提案。卡斯塔纳等人（2015年）。由于（3.11），可以导出ρ作为X的普通矩函数的等效表达式。例如，当n=3和n=4时，让我们明确表示公式。设（X，X，X）由X定义的bea Schur常数多元均衡分布模型。

皮尔逊相关系数可计算为ρ=-u - E（X）2u - 3E（X）+E（X）2u+2（E（X））+3E（X）（E（X）- E（X））+u(- 3E（X）- 4E（X）+3E（X））。如果我们现在考虑Schur常数多元平衡分布模型（X，X，X，X），ρ=-6u - 11E（X）+6E（X）- E（X）2u - E（X）- 2E（X）+E（X）2（D- 4uJ），beingD=36u+65（E（X））+20（E（X））-70E（X）E（X）+5（E（X））+24E（X）E（X）8E（X）E（X），and j=21E（X）+8E（X）-15E（X）+4E（X）。例如，表2和表3包含Schur常数多元平衡分布模型中的Pearson相关系数值，该模型由平均值λ的泊松分布随机变量构建，作为随机向量元素数n的函数。表2：泊松-舒尔常数多元平衡模型中的ρ（X，…，Xn）n 2 3 4 5ρ-λ6 + λ-λ12 + 2λ-λ20 + 3λ-λ30+4λ表3：不同λ值的泊松-舒尔常数多元平衡模型（X，…，Xn）中的ρnλ0.01 0.5 1 5 10 1002-0.00166-0.07692-0.14286-0.45455-0.62500-0.943403-0.00083-0.03846-0.07143-0.22727-0.31250-0.471704-0.00050-0.02326-0.04348-0.14286-0.20000-0.312505-0.00033-0.01563-0.02941-0.10000-0.14286-0.23256这些模型的一个有趣的性质是Z=X+的概率质量函数+Xnis很容易从X的生存函数计算出来。这是我们的下一个命题。提案3.5。考虑具有生存函数（3.5）的向量（X，…，Xn）。z的p.m.f=X+…+XnisP（Z=Z）=P（X=Z+n- 1） u·u1:1··u（n-2):1z+n- 1n- 1.. （3.15）证明。从P Proposition 3.1开始，Xis S（n-1)*（x） ，并从其定义（3.3）中删除，nS（n-1)*（x） =(-1） nP（X=X+n- 1） u·u1:1··u（n-2):1. （3.16）在（1.4）中插入（3.16）得到（3.15）。4结论n维离散Schur常数模型可以由n-单调的单变量生存函数生成。

本文介绍了一类Schur常数模型，它是由一类更广泛的单变量生存函数生成的，即这些生存函数使得它们的（n- 1) - 存在平衡分布。参考Caramellino，L.，Spizzichino，F.，1994年。Schurconstant生存函数的寿命依赖性和老化特性。工程与信息科学中的概率8，103–111。卡斯塔纳，A.，克拉拉姆特，M.M.，莱夫埃夫雷，C。；Loisel，S.，2015年。离散Schur常数模型。多元分析杂志140，343–362。Chi，Y.，Yang，J.，Qi，Y.，2009年。Schur常数模型的分解及其应用。保险：数学与经济学44398–408。Cox，D.R.，1962年。更新理论。Methuen&Co.，伦敦。Deshpande，J.V.，Kochar，S.C.，Singh，H.，1986年。积极老龄化的各个方面。《应用可能性杂志》，23748–758。古普塔，R.C.，2012年。二元平衡分布与关联测度。IEEE TransactionsonReliability 61987–993。Lef\'evre，C.，Loisel，S.，2010年。平稳超额算子与凸随机序。保险：数学与经济学47、64–75。Lef\'evre，C.，Loisel，S.，2013年。关于多重单调分布，连续或离散，及其应用。应用概率杂志50827–847。Lef\'evre，C.、Loisel，S.、Utev，S.，2017年。离散Schur常数模型的Markov性质。应用概率的方法和计算（首次在线）。Li，S.，2011年。计数随机变量的平衡分布。离散数学开放杂志，1127-135。Nair，N.U.，Sankaran，P.G.，2014年。用更新理论中的二元Schur常数平衡分布建模寿命。METRON 72331–349。Nelsen，R.B.，2005年。Schur常数生存模型及其copula的一些性质。巴西概率统计杂志19179–190。Panjer，H.H.，1981年。

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