平衡分布与离散Schur常数模型

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英文标题：
《Equilibrium distributions and discrete Schur-constant models》
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作者：
Anna Casta\\~ner (UB), M Merc\\`e Claramunt (UB)
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper introduces Schur-constant equilibrium distribution models of dimension n for arithmetic non-negative random variables. Such a model is defined through the (several orders) equilibrium distributions of a univariate survival function. First, the bivariate case is considered and analyzed in depth, stressing the main characteristics of the Poisson case. The analysis is then extended to the multivariate case. Several properties are derived, including the implicit correlation and the distribution of the sum.
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中文摘要：
本文介绍了算术非负随机变量n维Schur常数均衡分布模型。这种模型是通过一元生存函数的（几个阶）平衡分布定义的。首先，对双变量情形进行了深入的考虑和分析，强调了泊松情形的主要特征。然后将分析扩展到多变量情况。导出了几个性质，包括隐式相关性和和的分布。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
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关键词：schur distribution Applications Quantitative epidemiology

平衡分布和离散Schur常数模型Sanna Castaner，M.Merc\'e ClaramuntUniversitat de Barcelona，Department de Matem\'atica Economica，Financera i精算师，690 Avinguda Diagonal，e-08034 Barcelona，Spaina摘要本文介绍了算术非负随机变量的n维Schur常数平衡分布模型。这种模型是通过一元生存函数的（几阶s）平衡分布定义的。首先，考虑并深入分析了双变量情形，强调了泊松情形的主要特征。然后将分析扩展到多变量情况。导出了几个性质，包括隐式关联和和的分布。关键词：舒尔常数性质；离散平稳过剩算子；离散平衡分布。数学学科分类（2010）：60E05，62H05.1引言离散生存数据的Schur常数模型已由几位作者进行研究，包括Castaner et al.（2015），Lef\'evre et al.（2017）和Ta and Van（2017）。在这种情况下，离散设置意味着它的值为N={0，1，…}。也有大量文献关于R+中连续生存数据的Schurconstant模型；让我们提及Caramelinoand Spizzichino（1994）、C hi等人（2009）和Nelsen（2005）。Casta  ner等人（2015）讨论了由单变量和多变量（r.v.）的生存函数生成的Schur常数向量（X，…，Xn）的性质。本文证明了该生存函数必须是n-单调的。本文旨在发展一类由容许的单变量生存函数生成的Schur常数模型。可容许性条件是（n- 1) - 单变量r.v.的平衡分布。

因此，这种新模型被称为舒尔常数（多元）均衡分布模型。Nair和Sankaran（2014）先前研究过二元连续情形的一些性质。为了完整起见，我们在本简介中加入了一些定义和众所周知的结果。设（X，…，Xn）为n的向量(≥ 2） 算术非负随机变量，称为寿命。如果对于所有（x，…，xn），则称其具有Schur常数联合生存函数∈ Nn，P（X≥ x、 ，Xn公司≥ xn）=S（x+…+xn），（1.1），其中S是Nto[0，1]中的容许函数。事实上，S是每个边缘r.v.xind的生存函数，它在n上必须是n单调的。函数f（x）：n→ 如果满足，则称R为ben单调(-1） jjf（x）≥ 0，对于j=0，n、 （1.2）其中 是前向差异运算符（即。f（x）=f（x+1）- f（x））和jis its j- 第次迭代。适用于任何离散Schur常数模型的一般表示法（Castan er et al.，2015），点击ab公司= 当a<b时，为：S（x+…+xn）=EZ- （x+…+xn）+n- 1n- 1./Z+n- 1n- 1., （1.3）其中变量Z分布为X+…+Xn，即概率质量函数（p.m.f.）由p（Z=Z）=(-1） n个nS（z）z+n- 1n- 1.. （1.4）作为特殊情况，对于n=2，P（Z=Z）=S（z）（z+1）。（1.5）（X，…，Xn）中任何子向量的p.m.f.可以从j- S的迭代前向差，P（X=X，…，Xj=Xj）=(-1） jjS（x+…+xj）。（1.6）对于二元Schur常数向量，我们可以得到边缘的p.m.f.的简单表达式。这是下一个引理1.1，将在本文的下一节中使用。引理1.1。如果向量（X，X）是Schur常数，则Xful fillsp的概率质量函数（X=X+1）=P（X=X）-P（Z=x）x+1，（1.7）对于x≥ 0，p（X=0）=EZ+1.证据

当X=0，S（X）=E时，对于n=2，X的生存函数从（1.3）中获得（Z）- x+1）+Z+1=∞Xz=Xz- x+1z+1P（Z=Z）。（1.8）从定义来看，P（X=X）=-S（x）。然后，考虑（1.8），P（X=X）=∞Xz=Xz+1P（Z=Z）。（1.9）从（1.9）开始，对于x=0，P（x=0）=EZ+1. 现在，让我们再次应用Survival函数的定义，以便S（x）=P（x=x）- P（X=X+1）。使用此表达式和（1.5），可获得d esir edresult（1.7）。基于这些定义，我们进行了分析。本文的组织结构如下。在第二节中，我们介绍了d iscr ete S chur常数二元平衡分布模型，并给出了它的特征。证明了在泊松二元Schur常数平衡分布模型中，Z也是泊松分布。在第3节中，我们将分析扩展到多变量情况。本文最后作了一些总结。2 Schur常数二元平衡分布模型在更新理论中，更新过程中年龄或剩余寿命的渐近分布称为单元平衡分布（Cox，1962）。设X为非负离散随机变量，表示具有有限平均u和生存函数（X）=P（X）的组件的寿命≥ x） ，x≥ （一阶）平衡分布通过概率质量函数asp*（x） =S（x+1）u，对于x∈ N、 （2.1）或通过生存功能，asS*（十）=∞Xh=x+1S（h）u，对于x∈ N、 （2.2）表达（2.2）被定义为生存函数，只要它是一种递减函数，并且*(0) = 1.考虑到E（X）=P，可以很容易地检查后一个条件∞h=1S（h）。人们非常关注与给定分布函数相关的平衡分布（一阶和更高阶），但大多数研究是针对连续单变量随机变量的（参见Deshpande et al。

（1986），Sunoj（2004）和其中的参考文献）。关于离散变量案例，应提及两篇论文：Li（2011）和Willmot等人（2005）。此外，Lef\'evre和Loisel（2010）为离散非负随机变量引入了平稳超额算子的特殊离散版本。该离散平稳超额算子H将任何非负离散随机变量X映射到相关的离散非负随机变量XHWHO概率质量函数isP（XH=X）=P（X≥ x+1）E（x），x∈ N、 请注意，平衡分布也可以通过应用此离散平稳过剩算子获得。在本节中，我们将讨论离散随机变量的（一阶）二元平衡分布。它实际上代表了一系列离散Schur常数分布，我们称之为Schurconstant二元平衡分布。尽管Gupta（2012）和Nair and Sankaran（2014）最近在一个连续的环境中对其进行了分析，但据我们所知，之前尚未对双变量离散案例进行评估。年龄和剩余寿命的渐近联合分布由生存函数g（x，y）=u确定∞Xh=x+y+1S（h）=S*（x+y）。（2.3）现在，我们在下一个命题中证明，该生存函数对应于Schur-constantsurvival函数。提案2.1。随机向量（X*, Y*) （2.3）给出的生存函数G是Schurconstant，其边缘分布是（2.2）给出的X的均衡分布。证据在表达式（2.3）中输入y=0足以检查X*是X的平衡分布。关于Schur恒常性，从（2.3）中，我们得到S*（x） =-S（x+1）u≤ 0、（2.4）和S*（x） =-S（x+2）u+S（x+1）u=u[P（x≥ x+1）- P（X≥ x+2）]=P（x=x+1）u≥ 0

（2.5）然后，从（2.4）和（2.5），S*（x） 始终是2-单调的，尽管S（x）可能不是。现在我们推导出几个有用的公式。As（X*, Y*) 是舒尔常数，P（X*= x、 Y型*= y） =S*（x+y）=P（x=x+y+1）u，（2.6）和Z=x之和的P.m.f*+ Y*, 通过（1.5）和（2.5），isP（Z=Z）=P（X=Z+1）（Z+1）u。（2.7）在f act中，Z是X的（第一个）长度偏置型变换（如Lef`evre and Loisel，2013年所定义）。（X）的基本特征*, Y*) 在X的简单函数的期望方面是可用的，这是我们的下一个建议。提案2.2。Le t（X*, Y*) 如提案2.1所示。然后，u*= E（X*) =E（X）u- 1., （2.8）V（X*) =4uE（X）- 3.E（X）- u12u. （2.9）证明。考虑到（2.1），我们有u*= E（X*) =u∞Xx=0xS（x+1）。（2.10）这是一个简单的练习x个-x个= x、 因此，我们可以对最后一个sumin（2.10）进行部分求和。这导致∞Xx=0xS（x+1）=∞Xx=0p（x+1）（x+1）-∞Xx=0p（x+1）（x+1）=∞Xx=0p（x）x-∞Xx=0p（x）x！。（2.11）将其替换为（2.10），我们得到（2.8）。现在我们来推导X的第二阶矩的公式*,E（（X*)) =∞Xx=0xS（x+1）u。（2.12）我们知道x个-x+x= x、 考虑到这一点，各部分的总和yieldsE（（x*)) =uE（X）-E（X）+u. （2.13）通过（2.8）和（2.13），我们得到了公式（2.9）。Castaner等人（2015年）提出了Schur常数向量中任何两个变量之间Pearson相关系数ρ的简单公式。其中一个允许根据一个边际随机变量的期望值和方差计算ρ。但在这些Schur-constantdiscrete二元平衡分布中，可以方便地将ρ与原始变量X（模型的构造块）的主要特征联系起来。提案2.3。就E（X）而言*) 和V（X*),ρ=V（X*) - （E（X*))- E（X*)2V（X*), （2.14）和，就X的普通力矩而言，ρ=2uE（X）- 3.E（X）+ u4uE（X）- 3（E（X））- u. （2.15）证明。

公式la（2.14）直接来自提案6.2。卡斯塔纳等人（2015年）。现在让我们建立（2.15）。我们可以计算E（X*Y*) 直接使用（2.6）。然而，一种更简单的方法是在whiche（X）中使用（2.14*) 由（2.8）和V（X）组成*) 由（2.9）替代。简单代数产生了所需的公式。Nair和Sankaran（2014）给出了连续随机变量的相应公式（2.8）、（2.9）和（2.15）。现在，我们将这些结果应用于由已知分布生成的两个特定模型，即泊松分布模型和几何分布模型。2.1泊松-舒尔常数双变量均衡模型让我们考虑舒尔常数均衡分布模型（X，X）由服从泊松分布且参数为λ的r.v.X生成；i、 e.，P（X=k）=e-λλkk！。由于其特性，该模型是一个有趣且独特的模型。使用（2.7），可以立即得出结论，Z=X+Xalso遵循参数λ的泊松分布，P（Z=Z）=λZ+1e-λ（z+1）λ（z+1）=λze-λz！，z=0，1。（2.16）提案2.4。设（X，X）是由r.v.X生成的Schur常数平衡分布模型，Z=X+X。那么，Z=dX当且仅当X服从泊松分布。证据从Panjer（1981）可知，泊松分布是e上唯一一个完整的概率公式，即P（X=k+1）=P（X=k）bk+1，k=0，1，2，（2.17）b=λ。然后，将（2.7）中的（2.17）代入，我们得到P（Z=Z）=P（X=Z），Z=0，1，2。（2.18）对于另一个含义，如果Z是泊松分布，参数λ，f来自（2.7），P（X=Z+1）=P（Z=Z）λZ+1，这意味着X处的th是泊松分布，参数相同。xc的分布可以用Xis是x的平衡分布的性质来求。

由于X是泊松分布，S（X）=P∞h=xe-λλhh！然后p（X=X）=1-Γ（x+1，λ）x！λ、 x=0，1，（2.19）是Γ（·，·）不完全伽马函数。使用（1.7）和命题2.4可以得到相同的结果。X和Xin之间的相关系数该模型使用（2.15）计算得出，为ρ=-λ6+λ.2.2几何Schur常数二元平衡模型让我们考虑一个几何r.v.X，生存函数S（X）=qx。根据这一生存函数，我们建立了一个Schur常数平衡向量（X，X）。r。v、 Xis是X的平衡分布。紧随其后的是S*（x） =S（x）=qx。Th en，Xand Xare ind ependent r.v.（卡斯塔纳等人，2015年）。因此，根据（2.14）计算的Pearson相关系数ρ等于0.3 Schur常数多元均衡分布模型。在本节中，我们推广了前一节的结果。第2节使用离散随机变量X的一阶平衡分布定义了一类特殊的二元Schurconstant模型。在本节中，通过使用n- 三阶平衡分布。设X为非负离散随机变量，具有有限的平均值u和生存函数S（X）。二阶平衡分布可通过其生存函数2确定*（十）=∞Xh=x+1S*（h） u1:1，对于x∈ N、 （3.1）或者，通过其p.m.fp2*（x） =秒*（x+1）u1:1，对于x∈ N、 （3.2）为u1:1 X的一阶矩*（X的一阶平衡分布）。

同样，我们可以递归定义n- 四阶平衡分布，Sn*（十）=∞Xh=x+1S（n-1)*（h） un-1： 1，对于x∈ N、 （3.3）和PN*（x） =S（n-1)*（x+1）un-1： 1，对于x∈ N、 （3.4）为ui:1<∞ i的一阶矩- X的th阶平衡分布，u0:1=u，S（0）*（x） =S（x）。按照与第2节相同的步骤，让我们用生存函数p（X）定义随机向量（X，…，Xn≥ x、 ，Xn公司≥ xn）=S（n-1)*（x+…+xn）。（3.5）我们的下一个命题是在b变量情况下，P位置2.1的平行性。现在，我们证明生存函数（3.5）对应于Schur常数生存函数。提案3.1。具有生存函数（3.5）的向量（X，…，Xn）是Schur常数，且边缘轴是（n- 1) - X（（3.3）和（3.4））的th阶平衡分布。证据我们从命题2.1中知道，对于n=2是真的，因为S*（x） 是2-单调的。现在是n的问题了- 1，即S（n-2)*is（n- 1） -单调。从（3.3）开始(-1） n个nS（n-1)*（x） =(-1） n个（n）-1)S（n-1)*（x） =(-1） （n）-1)（n）-1） S（n-2)*（x+1）un-2:1. （3.6）自S（n-2)*is（n- 1） -单调，表达式（3.6）等于或大于零，这反过来意味着S（n-1)*是n-单调的。放置x=…=xn=0英寸（3.5），P（X≥ x） =S（n-1)*（x） 因此，边际分布Xis为（n- 1) - X的h阶平衡分布。n个分量的Schur常数向量可以使用生存函数（不一定是单调函数）来定义，使用前面的命题；然后我们说，这样的向量遵循Schur-constantmultivariate均衡分布模型。通过可交换性，所有Xi具有相同的序数矩和相同的皮尔逊相关系数。在这个模型中，只要xi是（n），我们就可以从原始分布X的普通矩中获得它们- 1) - X的有序平衡分布。

让我们首先建立以下引理。引理3.2。离散函数F（x）的集合，使得F（x）=xn-1由Pn（x）+C给出，Pn（x）是常数，Pn（x）是n次多项式，因此Pn（x）=Pnr=0ar（n）xr，其中a（n）=0，ar（n），对于r=1，n、 可以递归计算的，an（n）=n，an-h+1（n）=-1n- h+1nXr=n-h+2注册护士- h类ar（n），h=2，n、 （3.7）证明。让我们考虑F（x）=Pn（x）+C是Pn（x）=Pnr=0ar（n）xrwhit a（n）=0，x上的一个n次多项式。这些函数中的任何一个的差值都是完全相同的，d等于Pn（x）=nXr=0ar（n）xr=nXr=0ar（n）rXs=0卢比xs型- xr=n-1Xr=0ar（n）rXs=0r+1秒xs=n-1Xs=0xsn-1Xr=sr+1秒ar+1（n）。（3.8）从（3.8）中，我们观察到Pn（x）是一个新的n次多项式- 1和系数bs，可从原始多项式的系数ar（n）中得出，bs=nXr=s+1卢比ar（n），s=0，n- （3.9）从（3.8）和（3.9）开始，并施加以下条件：Pn（x）=xn-1，即bn-1=1，对于S=0，…，bs=0，n- 2，定义了ar（n）上n个方程的线性系统。当s=n时，得到了an=nis的值- 1、s=n时- h、 对应的方程为0=nXr=n-h+1注册护士- h类ar（n）。（3.10）隔离-h+1（n）从（3.10）中得到引理的陈述。下表1给出了n的第一个值的ar（n）值。表1：一些系数ar（n）rn2 3 4 5 6 7 8 9 101-1/2 1/6 0 -1/30 0 1/42 0 -1/30 01/2 -1/2 1/4 0 -1/12 0 1/12 0 -3/201/3 -1/2 1/3 0 -1/6 0 2/9 01/4 -1/2 5/12 0 -7/24 0 1/21/5 -1/2 1/2 0 -7/15 01/6 -1/2 7/12 0 -7/101/7 -1/2 2/3 01/8 -1/2 3/41/9 -2010年1月21日提案3.3。j- 第i个普通力矩- th阶平衡分布，ui:j=Ehxi*ji，j=1，2。。。，i=1，2。。。，由递推公式ui给出：j=ui-1： 1j+1Xr=1ui-1： rar（j+1），（3.11）和ar（·），如引理3.2，和u0:r=E（Xr）。证据根据定义，ui：j=ui-1:1∞Xx=0xjS（i-1)*（x+1）。