缺失关系的力量：通过在线约会实现社会融合

为了证明尺寸不是边单调的，在图论文献（Erd"os，Suen and Winkler，1995）中已经对边单调的性质进行了彻底的研究。边单调性不同于节点单调性，在节点单调性中，将一个节点及其所有对应的边添加到匹配问题中。众所周知，当一个新男人加入一个稳定的匹配问题时，每个女人都会弱改善，而每个男人都会弱恶化（Roth和Sotomayor，1992年的定理2.25和2.26）。考虑图3中的社会及其图4A中的直接稳定匹配。移除所有种族间的边缘：在独特的马厩匹配中，现在有四对夫妇，比种族间边缘出现时多了一对。对于力量的情况，考虑一个简单的社会，其中所有节点都具有相同的y坐标，如图5所示。有两次种族内婚姻，平均欧氏距离为0.35。当我们在两个中心节点之间添加种族间的边时，最近的节点marry和两个遥远的节点marry也会合并。扩展社会中的平均欧几里德距离增加到0.45，因此降低了其强度。图5：强度不是边单调的。在中心节点之间创建跨种族边缘后，配偶之间的平均欧氏距离会增加。为了证明多样性不是边单调的，请考虑图6。a族和b族各有两名男子和两名女子。每种性别都用上标+或表示-.稳定性要求u（b-) = a+和u（b+）=a-, 其他人都未婚。但是，当我们添加面间边（a+b-), 已婚夫妇变成u（b-) = b+，u（a+）=a-, 和u（a+）=b-. 在这个扩展的社会中，共有三种不同种族的婚姻，只有一种，而在此之前，我们有两种。因此，增加边缘（a+b）后，多样性降低-).

我们的三个福利指标未能达到边缘单调性，这表明，要评估社会福利的变化，我们需要了解在引入新的种族间边缘后，平均社会福利的变化情况。我们将在下一节中进行比较。关于边单调性的进一步评论。社会的规模不是边缘单调的，这一事实意味着增加种族间的边缘可能不会导致社会的帕累托改进。某些代理可能会变得更糟（a）dv（S）=2（b）dv（S) = 2/3图6：多样性不是边单调的。在创造了种族间的优势后，这个社会的多样性减少了（a+，b-). 上图代表原始社会。左下角的图表显示了原始社会中的婚姻，而右下角的图表显示了扩展社会中的婚姻。在社会变得更加紧密联系之后。尽管如此，在增加额外优势后变得更糟糕的代理比例永远不会超过社会的一半，尽管它不会随着社会的发展而消失，但在配偶排名中以差异衡量的福利损失几乎为零？详细讨论了这两个发现。5预期福利指标为了了解福利指标的平均表现，我们需要形成对这些福利指标的预期。我们能够对该表达式的多样性进行分析评估，并依赖其他表达式的模拟结果。5.1多样性直婚社会的预期多样性由[dv（Sdirect）]=q（r）给出-1） npn+q（r-1） n·rr- 1（15）式中q（r- 1） n/2是代理直接连接到的不同种族的潜在合作伙伴的预期数量，pn/2是相同种族的潜在合作伙伴的相应预期数量。termrr-1这正是我们为确保p=q时多样性等于1而实施的规范化。

方程（15）是q的凹函数，因为E【dv（Sdirect）】q=-pr（r- 1） （pn+q（r- 1） n）<0（16），因此q=0附近q的小幅增加会产生社会预期多样性的更大增加。如果我们考虑长期婚姻，我们会看到一个更有趣的变化。在一个婚姻长久的社会中，预期的多样性是由[dv（Slong）]=P（B）（r）给出的-1） nP（A）n+P（B）（r）-1） n·rr- 1（17）式中，P（A）表示任何代理（如i）通过至多2条路径与其社区的另一成员连接的概率（i），P（B）表示任何代理（i）通过至多2条路径与另一社区的任何代理（j）连接的概率（j），可能通过与i或j都不共享种族的另一代理（h）。这些由yp（A）=1给出- (1 - p） |{z}E（i，i）=0（1- p） n个-2 |{z}E（i，i）=E（i，i）=0（1- q） （r）-1） n{z}E（i，h）=E（h，i）=0（18）P（B）=1- (1 - q） |{z}E（i，j）=0（1- pq）2n-2 |{z}E（i，i）=E（i，j）=0（1- q） （r）-2） n |{z}E（i，h）=E（h，j）=0（19）将方程式（18）和（19）中计算的值插入（17）中，我们可以绘制该函数并观察到它增长非常快：q变为正后，社会的多样性很快变为近似1。为了理解多样性的快速增长，我们假设p=1，q=1/n。然后p（B）=1- (1 - q） 2n个-1(1 - q） （r）-2） n（20）=1- (1 - q） 注册护士-1（1+q）（r-2） n（21）=1- (1 -n） 注册护士-1（1+n）（r-2） n（22）=n→∞1.- e-2.≈ 0.86（23）将P（B）的值代入（17），我们得到E[dv（Slong）]≈.86r。86r+。14，即使r很小，也非常接近1（E[dv（Slong）]≈ .92对于r=2），表明社会的多样性对于q的所有价值都变成了1，尤其是q=1/n。对于长期婚姻而言，完全多样性背后的直觉是，一旦一个代理人与任何其他种族只取得了一个优势，他就获得了潜在的伴侣。

不同种族的人只有一个优势，就可以进入这个人的完整种族。虽然我们固定p=1以简化预期多样性的表达，但多样性的快速增加并不取决于每个种族都有一个完整图。正如我们在附录B中所讨论的那样，我们还可以快速增加p的许多其他值的多样性。当同一种族代理之间的互连较少时，代理在创建种族间边缘后获得的连接较少，但这些较少的连接相对更有价值，因为代理之前可用的潜在合作伙伴较少。为了进一步可视化多样性的快速增长，我们使用模拟。我们生成几个随机的社会，观察它们的平均多样性在它们变得更紧密时如何变化。我们创建了一万个随机社团，并通过增加种族间边缘的数量来增加预期数量。这一发现不应与随机图的两个众所周知的特性相混淆（也不意味着这一点）。第一种方法确定，当p=1/n时，随机图中出现一个巨大的连通分量，而当p=log（n）/n时，该图变为连通；有关这些财产的审查，请参见Albert和Barab\'asi（2002）。第二个结果是，随机图的直径为2（节点之间的最大路径长度）的性质在p=（2 ln n/n）1/2处有一个尖锐的阈值（Blum、Hopcroft和Kannan，2017）。结果1也类似于简单图的小世界性质（Watts和Strogatz，1998），其中在对几个初始边重新布线后，正则图中出现了平均小路径长度。参数q。

在正文中的模拟中，我们确定n=50，p=1。正如我们的理论分析所预测的那样，在长期婚姻的情况下，种族间联系的概率稍微增加，就能实现完美的社会融合。34,35对于直婚的情况，独立性的增加较慢，但仍然很快：q从0增加到0.1，r=2的多样性增加到0.19，r=5的多样性从0增加到0.37。图7总结了我们的主要结果，即：结果1。长期婚姻可以充分实现多样性，即使种族间联系的增加幅度很小。通过直婚，部分实现了多样性，但q=0左右的q增加会导致多样性增加。我们已经表明，无论是直接婚姻（k=1）还是长期婚姻（k=2），网络约会出现后，多样性都会增加，尽管速度各不相同。一个显而易见的问题是，网上约会是否真的有助于建立长久的婚姻。我们研究了长期婚姻的情况，并不是因为我们期望如果一个男人在网上遇到一个女人，那么这个男人就可以和那个女人的朋友约会。相反，我们研究它是因为它表明，当人们通过朋友的朋友（k>2）与潜在配偶见面时，一些现有的关系很快就会产生差异：回想一下，在美国和德国，通过朋友的朋友见面是最常见的配偶见面方式（两国约有三分之一的婚姻是以这种方式开始的（Rosenfeld和Thomas，2012；Potarca，2017））。我们的分析表明，k的所有价值观都会立即实现社会融合≥ 2、对于k值较大的情况，我们考虑的机制是，由于计算限制，一旦我们限制到n=50和10000次重复。

其他p值的结果相似，我们在附录B中对其进行了描述。正如我们所讨论的，完美的社会融合（多样性等于1）发生在q=1/n左右。完美积分的出现不是相变，而是跨越现象，即多样性平稳增加，而不是在特定点不连续跳跃：参见附录B中的图B1。这一结果尤其稳健，因为它不依赖于我们所创建的婚姻稳定的假设。稳定性在我们的模型中并不是无害的，因为我们可以考虑其他实际上是边单调的匹配方案。经验证据有力地表明，q在现实生活中非常接近于零。见脚注13。Ortega（2018b）找到了确保任何两个代理都可以为k的所有值结婚所需的种族间边缘的最小数量。图7：不同q值的欧几里德社会的平均多样性。黄色和橙色曲线在此图中无法区分，因为它们是相同的。附录A中提供了准确值和标准误差（按1.0e-04的顺序），以及几乎相同的分类社会的相应图表。一对种族间的情侣被创造出来，它是两条不同轨迹之间的桥梁。例如，如果女性a与不同种族的男性b结婚，那么在未来，女性a的熟人代理a可以与男性b的熟人代理b会面，从而允许a和b结婚。

综上所述，我们预计，一些通过网络约会建立的婚姻将发生在直接在网上见面的人之间，但一些将是由于初婚而建立的，因此，社会多样性的增加将介于直接婚姻和长期婚姻之间。结果1表明，少数种族间的联系可以显著增加我们社会的种族融合，并对约会平台在现代文明中的作用产生乐观的看法。我们的研究结果与谢林（1969、1971）的研究结果形成了鲜明的对比，谢林（1969、1971）提出了居住隔离的开创性模型，即社会总是完全隔离。我们将这一发现作为我们模型的第一个可测试假设。假设1。网络约会普及后，异族婚姻数量增加。5.2力量与规模第二个观察结果，不如多样性的增加明显，是力量在q中增加。我们仅通过模拟获得这一结果，因为似乎不可能获得社会预期力量的分析表达式。图8显示了在n=50和p=1的10000次模拟中获得的婚姻平均强度。图8：不同q值的欧几里德学会的平均强度。附录A中提供了精确值和标准误差（顺序为1.0e-04），以及非常相似的分类学会的相应图表。这一观察结果背后的直觉是，在一个联系更紧密的社会中，代理人有更多的合作伙伴选择。虽然这并不意味着everyagent会娶一个更理想的伴侣，但这确实意味着普通的伴侣会有更好的伴侣。

很明显，对于所有参数组合（有关进一步的稳健性检查，请参见附录B），在添加新的种族间边缘后，合作伙伴的平均距离有持续下降的趋势，因此，社会的实力持续增长。我们将此观察作为第二个结果。在一个只有一个种族、只有一男一女的玩具社会中，要想解决预期的平均距离，需要一个漫长而复杂的计算“正方形中两个随机点之间的距离”，谨记你的决定，2016年3月6日。结果2。界面边数增加后，强度增加。随着婚姻时间的延长和r值的增加，离婚率的增加更快。假设在性格特征上相距较远的配偶之间的婚姻离婚的几率较高，因为他们在社会关系图中添加新节点时更容易破裂，我们可以将之前的结果重新表述为我们的第二个假设。假设2。在有网络约会的社会中建立的婚姻的离婚率较低。最后，关于体型，我们发现，随着q的增加，已婚人数也会增加。然而，这一观察结果取决于p＜1。这一增长是由于一些代理人不知道任何潜在配偶比其他代理人更喜欢他们。图9显示了p=1/n的社会平均规模的演变。每当i）一些种族的男性多于女性，反之亦然，已婚人数的增加就变得更大（并且不需要p<1），ii）代理人变得更加挑剔，只有在个性特征方面与代理人非常接近的情况下才愿意与代理人结婚，或者iii）一些代理人没有寻找关系。所有这些场景都会产生以下结果。结果3。

如果p<1，社会性别比例不平衡，或某些代理被认为不受欢迎，则种族间边缘数量增加后，规模增加。随着婚姻时间的延长和r值的增加，增长速度更快。之前的结果为我们提供了第三个也是最后一个可测试的假设，即：假设3。网络约会普及后，已婚夫妇的数量增加了。Erd"os和R"enyi（1964）利用霍尔婚姻定理发现，在一个简单的随机图（R=1）中，完美匹配存在的临界阈值是p=对数n/n，即大小为1的婚姻。即使p=q，这个临界阈值也只是一个社会规模为1的下限。这是因为无法保证稳定匹配实际上是完美匹配。关于性别失衡如何影响跨境婚姻的经验证据，请参见Ahn（2018）。图9：q值小于等于p=1/n的欧几里德学会的平均规模。附录A中提供了精确值和标准误差（顺序为1.0e-04），以及分类学会的相应图表，非常相似。6假设和数据6.1假设1：更多的跨种族婚姻数据揭示了什么？我们的模型与观察到的人口趋势一致吗？在下一小节描述我们的实证工作之前，我们先从初步观察开始。图10根据2008-2015年美国社区调查和1980、1990和2000年十年一次的人口普查（IPUM），展示了1967年至2015年美国新婚夫妇异族婚姻的演变。在这个数字中，跨种族婚姻包括白人、黑人、西班牙裔、亚裔、美洲印第安人或多种族之间的婚姻。我们注意到，在过去50年中，跨种族婚姻的数量不断增加。

然而，有趣的是，在1995年推出第一个约会网站之后的几年，比如Match。我们非常感谢皮尤研究中心的格雷琴·利文斯顿为我们提供了这些数据。1980年以前的数据是估计数。Livingston和Brown（2017）中描述了如何收集数据的方法。图10：美国新婚夫妇中异族婚姻的比例。资料来源：皮尤研究中心对2008-2015年美国社区调查和1980、1990和2000年十年一次的人口普查（IPUM）的分析。红色、绿色和紫色线条表示Match的创建。com、OKCupid和Tinder。匹配的创建。Com大致与美国宽带的普及和1996年的《电信法》相吻合。蓝线表示使用1967年至1995年的数据对1996年至2015年的线性预测。跨种族夫妇创造的新婚姻比例增加。大约在2006年，在线约会变得更加流行的几年后，这种增长变得更加迅速：大约在这个时候，OKCupid等知名平台出现了。在2000年代，跨种族的新婚率从10.68%上升到15.54%，大幅增长了近50%，即50%。在2009年的增长之后，2014年新的异族婚姻比例再次跃升至17.24%，2015年也保持在17%以上。有趣的是，Tinder被认为是最受欢迎的在线约会应用程序，Tinder问世后不久，这种增长就出现了。新的跨种族婚姻比例的增加可能是因为2012年创建的nowTinder实际上更具跨种族性，拥有约5000万用户，每天产生1200多万场比赛。参见《纽约时报》，2014年10月29日，“Tinder，快速发展的约会应用程序，挖掘古老的真相”。