凯利打赌可能过于保守

类似地，当u处于范围的高端时，我们看到^K*（u）很大，因为Xu<0的概率变小。例如，当u=4时，最佳选择是在每次下注中下注一个人财富的90%左右，因为输掉的几率非常小。在下一节中，我们看到，使用真实数据进行的分析与纯理论分析完全不一致。在以色列，当使用下面一节中的分析来分析随机变量Xu时，一个最终得到最佳下注分数K*= 0; i、 例如，根本没有规定下注。为总结本节内容，我们注意到以下事实：以上基于数据的分析是用固定σ进行的，这对我们得出的结论并不重要。更一般地，当X由正态分布N（u，σ）控制时，凯利理论表明，不考虑平均u和标准偏差σ的相对性，就不会下注。平均u0.20.40.60.8图。1： 最佳方钻杆分数^K*与uV.限制性投注：标量案例相比，在本节中，我们对前一节中的激励示例进行了分析。粗略地说，对于scala r随机变量X，我们看到支撑点X的最小值和最大值导致了对凯利理论允许的赌注大小的基本限制-这些值越大，凯利分数就越小。此外，这一限制决定了这些最大偏差的概率是否显著。由于当X是一个标量随机变量时，驱动分析的关键思想是最简单的，我们首先考虑这种情况。首先，假设x<0是x的支持集中的一个点。然后，为了避免g（K）=-∞, Kellytheory强制下注分数满足K≤ -1/x。即使x接近xis的概率为零，这也是正确的。

类似地，对于支架中x>0的点，类似的力K≥ -1/x。由于该理论的这一方面，从常识的角度来看，许多“优秀”的赌注会导致不适当的小赌注。我们注意到，这与第3节中的示例一致。总而言之，在凯利理论中，X的大值，无论是否罕见，都会导致赌注大小的巨大限制。在下面的引理中，我们将上述思想形式化。当X的支撑点是整条实线时，结果的极端情况就会发生；e、 假设X是正态分布的。对于这种情况，如下图所示，K=0是强制的。也就是说，不允许下注。无论平均u和标准偏差σ的相对大小如何，该结果都是正确的。我们注意到，凯利理论的这一结果显然与实际考虑不符。即使当u/σ的比值非常大时，也相当于一个极好的赌注，理论上的无极f力K=0。下面的引理是下一节中给出的受限下注定理的特殊情况。因此，它的证明被推迟到那时。标量下注引理：设X是E[| X |]<∞, 概率密度函数fX（x）和支持向量x的极值xmin=inf{x:x∈ X}和Xmax=sup{x:x∈ 满足Xmin<0和Xmax>0的X}。那么，任何最大化g（K）的优化kelly分数K都满足区间约束条件K∈ [-1/x最大值，-1/x分钟]。备注：（i）与lemm a，K声明前的备注一致*≤ Xmin=0时为0-∞和K*≥ 当Xmax=+∞. 因此，K=0是强制的。换言之，最好的赌注是不赌所有。（ii）引理说，最优K必须位于约束区间，但我们并不期望区间内的每个K都是最优的。

令人惊讶的是，re可能在连续区间中存在一些“非常糟糕”的K，即g（K）=-∞, 如以下示例所示。示例：我们提供了一个随机变量X和常数K>0的示例，该常数满足上述c约束条件，但具有g（K）=-∞. 实际上，让0<K<1是任意的，并在接下来的计算中保持固定。我们现在考虑一个随机变量X，其构造如下。设θ=+∞Xk=1k=+π，取X=X=1，概率p=1/（2θ），对于k≥ 1，取X=xk=（e）-k- 1） /K w ithprobability pk=1/（kθ）。注意，上述θ的定义确保了在pk处定义概率质量函数；i、 e.，pk≥ 0和P∞k=0pk=1。现在，对于这个随机变量，我们有Xmin=-1/K，Xmax=1。此外，由于0<K<1，区间约束条件满足。为了完成分析，仍需证明g（K）=- ∞. 实际上，我们计算eg（K）=E[对数（1+KX）]=∞Xk=0对数（1+Kxk）pk=对数（1+Kx）p+∞Xk=1log（1+Kxk）pk=2θlog（1+K）+θ∞Xk=1klog（1+Kxk）=2θlog（1+K）-θ∞Xk=1k=-∞.六、 受限下注理论回顾了为一个标量随机变量引入的区间约束条件，本节对该结果进行了推广，该结果适用于支持集X可以相当任意的nn维随机向量X。这个支持集允许是无界的，这样我们就可以捕获没有给出的下注结果，因为X是一个标量。

为了获得较低的理论值，我们利用了凸分析中常用的经典支撑函数；e、 g.，见【17】。实际上，给定一组X Rn，Xis上的支持函数映射h:Rn→ R∪ {+∞} 定义如下：y∈ Rn，hX（y）。=supx公司∈XyTx。在建立了下面的定理之后，我们讨论了一系列特殊情况，以表明存在一大类Kellybetting问题，对于这些问题，满足条件的条件是非常容易处理的。受限下注定理：给定一个具有PDF fX、支持度X和E[kXk]<∞, 任何优化的Kelly分形向量都满足条件hx(-K）≤ 此外，当r X是否凸时，setK={K:hX(-K）≤ 1} 是凸面和封闭的。证明：在下面的参数中，我们使用的是扩展对数函数，它的值为log（x）=-∞对于x≤ 从矛盾的角度出发，假设K是最优的，但不能满足上述支持函数条件。nsupx∈X个[-K] Tx>1。等效地，存在som e xK∈ X等-KTxK>1。因此，1+KTxK<0。现在注意到1+KTx在x中是连续的，并且xKis在支持中，xK存在一个适当的小邻域，称之为N（xK），这样x的1+KTx<0∈ N（xK）和p（X∈ N（xK））>0。我们现在声称，这样一个neigh borho的存在意味着g（K）=-∞. 为了证明这一点，我们假设g（K）=E[log（1+KTX）]=Zlog（1+KTX）fX（x）dx=Z1+KTX≤0log（1+KTx）fX（x）dx+Z1+KTx>0log（1+KTx）fX（x）dx。利用对数函数thatlog（1+KTx）的性质≤ |KTx |对于所有满足1+KTx>0的x，我们得到了g（K）的上界。即g（K）≤Z1+KTx≤0对数（1+KTx）fX（x）dx+Z1+KTx>0KTx公司fX（x）dx≤Z1+KTx≤0log（1+KTx）fX（x）dx+ZkKk kxkfX（x）dx≤Z1+KTx≤0log（1+KTx）fX（x）dx+kKk E[kXk]。自E【kXk】<∞, 可以证明上述积分有价值-∞.

事实上，从p（X）开始∈ N（xK））>0并注意到N（xK） {x:1+KTx≤ 0}，密度函数fx必须为集合{x：1+KTx指定正概率≤ 0}. 此外，由于log（1+KTx）=- ∞ 对于满足1+KTx的x≤ 0，之后是Z1+KTx≤0log（1+KTx）fX（x）dx=-∞我们得出g（K）=-∞ 根据需要。为了完成证明，我们使用一个相当标准的凸分析参数来确定K的闭性和凸性：实际上，对于每个固定的x∈ X，我们定义了线性函数Lx（K）。=-KTx和相关setKx={K:Lx（K）≤ 1}.注意，Kx是一个半空间，是一个闭凸集。现在，使用支持函数的定义，可以得出k=\\x∈XKx。因此，由于K是闭凸集的索引集合的交集，因此它也是闭凸集。标量结果作为特例：为了看出第5节中的标量下注引理是上述的特例，我们回顾了符号Xmin和Xmax，并假设Xmin<0，Xmax>0，就像前面的s节一样。现在，对于K>0，上述理论中的支持函数变为hX(-K） =-kx最小，当K<0时，它变为hX(-K） =-Kx最大值。因此，定理hX的要求(-K）≤ 1导致引理的区间条件。超立方体支持集：当X的支持向量convX的凸函数是超立方体时，得到了上述标量情形的一个n维推广。支持此超立方体具有中心X和组件X满足| xi- xi |≤ δi当δi>0时，i=1，2，n、 然后使用关于支持函数的基本事实，参见[18，p。

269]，hX（y）=hconvX（y）表示所有y∈ Rn，一个直接的rwardcalculation导致Hx(-K） =nXi=1 | Ki |δi-nXi=1Kixi。因此，该定理的应用要求任何优化Kelly分数向量K满足条件nxi=1 | Ki |δi-nXi=1Kixi≤ 超球面支撑集：作为最后一个示例，假设支撑集X的凸包是Rnwithdescription kx中的hy persphere- xk公司≤ 上面使用欧几里德范数的r，中心x，半径r>0。然后使用一个与上面的Hypercube示例类似的参数，我们可以很容易地证明任何优化器K mu st satisfyrkkkk- KTx公司≤ 1、我们注意到，约束设置kr={K:rkKk- KTx公司≤ 1} 是嵌套的。如果半径r≤ r、 n集合Kr Kr.在图2中，se集合被描绘为x=（1/2，1/2）和各种半径r=1，r=1.25，r=2，r=3和r=5。七、涉及高频的例子到目前为止，我们对受限下注现象的分析没有考虑下注的频率。在这方面，我们设想投注的频率如此之高，以至于理论家使用连续s时间随机模型来确定最佳投注分数似乎“合理”。我们考虑的问题如下：对于使用足够多样本构建经验分布的高频c a，理论和实践之间是否仍然存在差距？也就是说，理论解决方案最终是否会过于保守？在[19]中，anFig。2： 在Portfo-lio优化的背景下，考虑了具有相似函数的最优分数Kissue的约束集Kr，给出的分析比下面给出的分析更为精确。

这里我们考虑一个具体的例子，并没有提供一般进口的重要结果。我们的主要目标是为未来的研究提出问题。事实上，我们从苹果的高频历史d内aytick数据（股票代码AAPL）开始。每一个“滴答声”对应一个新的股价S（k），估计滴答声的ar竞争之间的时间b平均约为十分之一秒。2015年12月2日上午9:30:00至下午2:13:47的股价数据如图3所示。在此期间，我们有m=110000个滴答声。我们分析的第一步是使用时间序列pric es S（k）来计算相应的回报sx（k）=S（k+1）- S（k）S（k）。考虑到连续滴答之间的时间间隔很短，X（k）的很大一部分变成了零；i、 例如，价格没有从k变为k+1。此外，间隔时间的较小导致剩余概率质量主要集中在x=-0.0002和x=0.0002，数据导致Xmin≈ -0.01≈ -X最大值。因此，受限博彩定理迫使近似博彩-100≤ K≤ 100这实际上没有什么意义，因为经纪要求通常限制K≤ 2、根据经验数据，我们绘制了g（K），并得出了最佳下注分数^K*≈ 0.824. 有趣的是，尽管价格没有明显的“看涨”模式，但我们看到该理论导致了一个更具侵略性的赌注规模，即一个人财富的80%以上。相反，如果我们假设本例中的数据来自具有相同均值和方差的离散时间几何布朗运动，则我们得到K*= 受限制的投注时间为0。值得注意的是，文献中可能用于相同问题的其他方法会产生非常接近^K的最佳K值*≈ 上述数值为0.824。

例如，使用估计平均值≈ 1.628 × 10-8和标准偏差^σ≈ 1.405 × 10-4作为连续时间几何布朗运动模型的基础，【2】中的分析涉及到优化消费效用与最终财富对数相结合的期望值。当消耗量趋于零时，最佳分位数为K*= ^u/^σ≈ 0.825. 在[8]中，使用相同的经验对数增长准则，并假设一个随机过程模型，有界回归系数X（k），平均值为u，标准偏差为σ，得到了相同的结果。0 2 4 6 8 10 x 104116.4116.6116.8117117.2117.4117.6117.8118118.2时间（每刻度）AAPL价格图。3： AAPL贸易VIII的逐笔价格。结论和未来工作在这篇文章中，我们考虑了一个随机向量X，并比较了使用适当的理论概率分布得出的Kelly下注的规模与从其经验获得的对应方获得的规模。在进行这种比较时，支持集X对X被视为起着至关重要的作用。如第6节中的受限下注理论所示，当对数增长函数g（K）最大化时，该集合X可以对最佳下注分数K进行“不合理”限制*. 我们的意思大致如下：X的可能结果是“大”的，这可能导致极有吸引力的改善机会被拒绝。另一方面，当下注基于X的经验分布时，很可能这种罕见事件不会反映在结果概率质量函数中。结果的赌注大小将更符合常识。这些结果开启了一条新的研究路线，可以恰当地称之为“iven Kelly博士的数据打赌”在一个经验框架中，涉及样本大小m的新问题将具有根本重要性。

鉴于许多正态过程都涉及非平稳随机过程，通常有一个界m≤ M，在推导经验分布时必须加以考虑。也就是说，当分析涉及基于i.i.d.随机变量的顺序下注时，过去使用“不可信的旧数据”可能是不合适的。第二个重要的未来研究方向是将基于Kelly的分析扩展到涉及下注频率的问题。在第7节中涉及的这个主题，在文献中似乎没有被认真考虑过；e、 如需了解目前可用的结果，请参阅【19】。在这种情况下，出现了许多新的建模和分析问题，涉及到可用的下注频率，随机变量X的模型随着频率cy的变化而变化。例如，如果即使在某个频率f下进行货币兑换，X的模型也不会从下注变为下注；i、 例如，bet与频率无关。另一方面，如果X cor对基于连续时间布朗运动抽样的股票收益率作出响应，则随着频率的增加，均值和方差的适当缩放成为重要问题。参考文献【1】J.L.Kelly，“信息率的新解释”，《贝尔系统技术期刊》，第917-9261956页。[2] R.C.Merton，“不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例”，《经济学与统计学评论》，第51卷，第247-2571969页。[3] N.H.Hakanson，“关于有收益率和无收益率序列相关性的最优短视投资组合政策”，《商业杂志》，第44卷，第324-3341971页。[4] M.Finkelstein和R.Whitley，“RepeatedGames的最佳策略”，《高级应用概率》，第13卷，第415-428页，1981年。[5] P.H.Algoet和T.M。

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