凯利打赌可能过于保守

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英文标题：
《Kelly Betting Can Be Too Conservative》
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作者：
Chung-Han Hsieh, B. Ross Barmish, and John A. Gubner
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Kelly betting is a prescription for optimal resource allocation among a set of gambles which are typically repeated in an independent and identically distributed manner. In this setting, there is a large body of literature which includes arguments that the theory often leads to bets which are \"too aggressive\" with respect to various risk metrics. To remedy this problem, many papers include prescriptions for scaling down the bet size. Such schemes are referred to as Fractional Kelly Betting. In this paper, we take the opposite tack. That is, we show that in many cases, the theoretical Kelly-based results may lead to bets which are \"too conservative\" rather than too aggressive. To make this argument, we consider a random vector X with its assumed probability distribution and draw m samples to obtain an empirically-derived counterpart Xhat. Subsequently, we derive and compare the resulting Kelly bets for both X and Xhat with consideration of sample size m as part of the analysis. This leads to identification of many cases which have the following salient feature: The resulting bet size using the true theoretical distribution for X is much smaller than that for Xhat. If instead the bet is based on empirical data, \"golden\" opportunities are identified which are essentially rejected when the purely theoretical model is used. To formalize these ideas, we provide a result which we call the Restricted Betting Theorem. An extreme case of the theorem is obtained when X has unbounded support. In this situation, using X, the Kelly theory can lead to no betting at all.
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中文摘要：
凯利赌博是一种在一组赌博中进行最优资源分配的处方，这些赌博通常以独立且相同的分布方式重复。在这种情况下，有大量文献包括这样的论点，即该理论通常会导致在各种风险度量方面“过于激进”的下注。为了解决这个问题，许多论文都提供了缩小赌注规模的处方。这种方案被称为分数凯利下注。在本文中，我们采取相反的策略。也就是说，我们表明，在许多情况下，基于凯利的理论结果可能会导致“过于保守”而不是过于激进的下注。为了证明这一点，我们考虑一个随机向量X及其假设的概率分布，并抽取m个样本以获得一个经验推导的对应Xhat。随后，我们推导并比较了X和Xhat的Kelly下注结果，并将样本量m作为分析的一部分。这导致识别出许多具有以下显著特征的情况：使用X的真实理论分布得到的下注大小比Xhat的小得多。相反，如果赌注是基于经验数据，则会发现“黄金”机会，而当使用纯理论模型时，这些机会基本上被拒绝。为了将这些想法形式化，我们提供了一个结果，我们称之为受限下注定理。当X有无界支撑时，得到了该定理的一个极端情况。在这种情况下，使用X，凯利理论可能导致根本没有下注。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：Optimization distribution Quantitative Prescription Conservative

Kelly赌博可能过于保守Chung Han Hsieh、B.Ross Barmish和John A.GubnerAbstract-Kelly赌博是一组赌博中的最佳资源分配处方，这些赌博通常以独立且相同的分布方式重复。在这种情况下，有大量文献包括这样的论点，即该理论通常会导致在各种风险度量方面“过于激进”的下注。为了解决这个问题，许多论文都包含了缩小赌注规模的处方。此类方案称为分数KellyBetting。在本文中，我们采取相反的策略。也就是说，在许多情况下，基于凯利的理论结果可能会导致“过于保守”而不是过于激进的下注。为了进行这一论证，我们考虑了一个随机向量X及其假设的概率分布，并绘制了m样本以获得一个经验推导的对应物^X。随后，我们推导并比较了X和^X的结果Kelly下注，并将样本量m作为分析的一部分。这导致了许多案例的识别，这些案例具有以下显著特征：使用X的真实理论分布得出的赌注规模远小于^X的真实理论分布得出的赌注规模。如果赌注是基于经验数据，则会发现“黄金”机会，而使用纯理论模型时，这些机会基本上会被拒绝。为了将这些想法形式化，我们提供了一个结果，我们称之为受限下注定理。当X有无界支撑时，得到了该定理的一个极端情况。在这种情况下，使用X，凯利理论可以导致根本没有赌博。一、 引言Kelly下注是在一组遗传码中进行最优资源分配的一种处方，这些遗传码通常以独立且完全分布的方式重复。

这种类型的下注方案首次在《种子论文》[1]中介绍。在这项工作之后，在接下来的几十年里，文献中介绍了Kelly下注的许多应用和性质；e、 g.，见【3】-【5】和【9】。为了完成这一概述，我们还提到了最近的工作【8】、【13】、【15】以及涵盖许多最重要论文的综合调查【11】。凯利标准以其最简单的形式告诉投注者，什么是可下注的最佳资本比例。随着最佳方钻杆分数的增加，各种风险度量可能变得大得令人无法接受。在这方面，最佳的方钻杆压裂通常被描述为过于“激进”为了避免这种负面影响，有一个真正的方法来处理所谓的“分数策略”这些策略基本上等同于洪汉谢，他是威斯康辛大学麦迪逊分校电子与计算机工程系的一名研究生，正在攻读博士学位，邮编53706。电子邮件：hsieh23@wisc.edu.B.Ross Barmish是威斯康星州麦迪逊市威斯康星大学电气与计算机工程系的教员，邮编53706。电子邮件：barmish@engr.wisc.edu.JohnA.Gubner是威斯康星州麦迪逊市威斯康星大学电气与计算机工程系的教员，邮编53706。电子邮件：john。gubner@wisc.edureduction最佳Kelly分数，以便减少每次下注的资本风险；e、 g.，见【6】-【10】和【12】。与现有文献相比，本文的重点是描述基于Kelly的理论可能导致过于保守而不是过于激进的下注的场景。我们沿着这些路线的结果在第5节和第6节给出的“受限下注定理”中得到了体现。

为了激发这些结果，在前面的章节中，我们正式描述了所考虑的理论框架，解释了“基于数据的Kelly博彩”的含义，并提供了激励性的示例，说明了过度保守的博彩会产生怎样的结果。关于上述情况，我们考虑以下场景：赌徒从两个不同的角度进行一系列赌博。第一种观点是，理论家的观点，他使用一个r回归模型，作为一系列具有已知概率密度函数的独立且相同分布的随机变量。使用Kelly的配方确定赌注大小，这将达到最佳分数K*一个人的财富应该在每场比赛中下注。第二种观点是基于数据的从业者，他们根据从随机变量中抽取样本得到的经验推导出的概率质量函数下注。在这种情况下，我们描述了一个例子，它导致了理论家和实践者之间的巨大差异。对于这个例子，我们看到一个基于数据的从业者认为betto非常有利，并确定最佳bettingfraction应该很大。然而，对于同一个例子，理论家使用真实概率分布可能会导致很少或没有更好的结果。本文的主要理论结果，受限下注定理，被解释为最简单的情况，一个scalarrandom变量，如下所示：如果Xmin<0和Xmax>0分别是支持集X中点的上确界和上确界，最佳方钻杆分数必须介于-1/X轴-1/x分钟。对于极端情况，当分布的支持从上到下都是无界的时，这意味着最佳分数K*= 也就是说，最好不要下注。

更一般地，当X是n维随机向量时，支持集X对hX描述的最佳bet分数K的大小施加基本限制(-K）≤ 其中hXis为协凸分析中使用的经典支持函数。在对这一结果进行详细解释之后，论文的最后部分考虑了“下注频率”的问题，以及它如何影响实践者与理论家的下注规模差异。最后，在结论部分，对未来的研究方向进行了展望。二、问题公式在本文中，为了表明我们关于保守性的观点，我们考虑问题的最简单公式之一：投注者面临N次赌博，每个单独的回报由独立且理想分布（i.i.d.）的随机向量X控制∈ Rnhaving probabilitydensity function（PDF）fX。在第k次下注中，分数Kiofone的账户值V（k）下注于X的第i个分量Xi（k）。我们允许Ki<0，因此该理论足够灵活，允许下注者接受所提供下注的任何一个sid e。例如，如果Xi>0对应于一个作为头部出现的硬币流，则使用Ki=1/2对应于头部账户的50%和Ki=- 1/2相当于ta ils的50%。第二个例子是，在股票市场中，允许Ki<0对应卖空；即。，当Xi（k）<0时，b组获胜。

在续集中，我们=KK···KnT、 然后，基于上述讨论，在反馈表Ii（k）=KiV（k）中给出了第k阶段第i次下注的投资水平，并通过方程V（k+1）=V（k）+nXi=1Ii（k）Xi（k）给出了相关账户值，初始账户值V（0）>0。可接受的赌注大小：在续集中，我们让X RN表示对X的支持，我们需要所有X∈ X，可容许的K必须满足条件1+KTx≥ 0、上述条件是为了确保满足生存要求；i、 e.，沿任何采样路径，V≥ 此后，我们用K表示K上相应约束的总和。现在，让X（K）是xf的第K个结果，K=0，1，2，N-第k+1阶段账户价值的动态由递归V（k+1）=（1+KTX（k））V（k）描述。然后，Kelly问题是选择K∈ 最大化对数增长的期望值g（K）=氖日志V（N）V（0）.使用上面V（k）的递归和X（k）是i.i.d.的事实，我们可以看到预期的对数增长函数减少了tog（k）=NE“logN-1Yk=01+KTX（k）!#=NN型-1Xk=0E[对数1+KTX（k）]=ZXlog（1+KTx）fX（x）dx很容易被证明是K的凹函数。随后，当约束K∈ 包括K，我们希望找到最佳对数增长*.= 最大值（maxK）∈Kg（K），我们用K定义了相应的最优元*.三、 基于数据与理论的下注当Kelly下注在实践中使用时，通常情况下，rando m变量x的完美概率密度函数模型fX（x）不可用。该操作可获取多个数据样本x，x，xmfor X，然后沿着两条可能路径之一进行：第一条路径涉及假设fX（X）的函数形式，然后使用数据XIT来估计该分布的par a米和相关估计^fX（X）。

例如，如果一个人假设样本来自正态分布，则根据数据估计平均值和标准偏差σ，并在下注分析中使用正态分布N（μ，σ）。第二种可能性是，没有对fX的形式施加任何约束，只需使用真实PDF fX（x）的经验近似值^fX（x）。经验概率质量函数（PMF）由冲击波fX（x）=mmXi=1δ（x）之和给出- xi）。在这种情况下，当考虑Kelly下注时，使用^fX（x）作为g（K）和最大化器callit^K的优化输入*, 用作bettin g分数。关于作为后续分析基础的bac kgrou ndprobability理论，请参阅参考文献【16】。鉴于上述情况，出现了以下问题：如果我们将压裂作业的基础设为fXratherthan fX，那么最佳的fXratherthan fX将如何*将w与“真实”最佳K进行比较*? 需要多大的样本量m才能使基于经验的最佳绩效与真正的最佳绩效接近？也许这些想法最简单的解释是通过将X视为一个标度，对应于一个有偏硬币的重复翻动的ou tcome，其头部概率为p>1/2。假设有一笔钱，我们取X=1表示人头，X=-1对于ta ils。然后，如果一个人对p有很好的了解，那么很快就会证明g（K）是通过K最大化的*= 2p级- 1、另一方面，如果凯利下注是从记忆样本s x，x，xmin{-1，1}xi=1是“h e ads”的返回值，n样本平均值^p=mmXi=1max{xi，0}被用作分析的输入，并获得^K*= 最大{2^p- 1，0}作为最佳下注分数。四、

如上文所述，过度保守的赌注是如何与经验得出的PMF产生的，我们在本节中的第一个目标如下：我们描述了推动许多场景IO的关键思想，在这些场景中，使用“纯理论”代替经验数据的Kellybettor可能会得出关于最佳赌注大小的结论，这完全违背了常识性的现实世界考虑。也就是说，我们描述了一个场景，该场景演示了凯利理论的形式化应用如何导致一个赌注大小，而这个赌注大小远远小于风险与回报分析得出的值。我们的第二个目标是提供一个真实的数值例子，表明我们所描述的病理学是可以用真实数据实现的。为此，我们考虑从标准分布中抽取样本的场景。病理学解释了一个玩具的例子：我们考虑了一个最简单的问题。它由伯努利随机变量X描述，其PMF如下所示：P（X=1）=1- ε和P（X=-x） =ε，其中x>> 1和0<ε<1+x。对于这个简单的场景，通过现有文献可以轻松解决Kelly下注问题。为了完整起见，我们描述了解决方案。实际上，我们最初固定ε和x，然后考虑改变分离参数的一致性。我们首先计算（K）=E[对数（1+KX）]=（1- ε） 对数（1+K）+ε对数（1- Kx）并注意，使用普通微积分，该f函数很容易相对于K最大化。通过冗长而直接的ward计算，我们得到了最佳Kellyfraction K=K*withK公司*=1.- ε（1+x）x，易于验证，满足0<K*<x、 这与K≥ 1/xleadsto日志（1- Kx）=-∞ ir分别为ε的大小。现在，需要注意的关键点如下：无论ε有多小，K的大小*限制为1/x。

换句话说，即使输的风险ε变得微不足道，对于使用这种理论模型的Kellybettor来说，下注的规模也将非常小。例如，当x=100时，无论ε有多小，下注分数K都不能超过帐户值的1%。综上所述，根据常识，一个人应该对几乎所有的a c计数下注，而正式的凯利理论迫使下注分数太小；i、 例如，过度保守的下注结果。为了完成与这个玩具示例相关的论证，我们现在想象一个“实践者”，他对凯利理论着迷，但不信任理论模型。进一步假设上述随机变量X的经验数据可用，可能供应有限。在这种情况下，根据第2节中的讨论，该betto r收集m个数据点，对经验PMF进行基因评级，然后根据估计的d分布，确定最佳bet。当ε非常小时会发生什么？显然，如果m不太大，几乎可以肯定的是，下注者会看到xi=1，i=1，2。，m、 因此，对估计的随机变量^X的经验驱动PMF进行了简单描述。即，^X=1，概率为1，由此产生预期对数增长最大化，即^K*= 1更符合常识的格言：“如果条件合适，就赌农场。”上述论点并不完全严格，因为没有真正考虑样本量m的作用。为了加强上述论点，我们注意以下几点：在实践中，对m有一个限制，比如m≤ M、 这可能是由于各种原因造成的。

例如，如果X（k）表示股票的每日收益率s，那么通常情况下，m受到强烈限制，因为当m为工具大时，独立且相同的分配收益的基本假设受到质疑。例如，许多交易者不使用大M，因为他们认为较大的M值需要处理“旧数据”，而这些数据可能无法反映当前的市场状况。对于上面玩具例子中的随机变量X，我们可以问：练习e R将看到“b ad”样本的概率是多少，称之为pbad；i、 e.，xi=- X对于某些i≤ M对于这个简单的问题，我们得到了pbad=1- (1 - ε） 因此，如果ε=0.001，M=50，那么我们在pbad中观察ta≈ 0.05，如果ε=0.0001，则为pbad≈ 0.005. 请注意，如果“看到”了一个坏样本，那么从业者的行为将与理论上的凯利投注者的行为相似。一个更现实的例子：为了使用现实数据研究保守性问题，我们考虑了一系列随机变量，每个随机变量都由正态分布控制。每个随机om变量都有固定的标准偏差σ=1。然而，这个家庭的成员因其手段不同而有所区别。我们认为意味着0≤ u ≤ 4、对于该范围内的每个u值，我们让Xu表示感兴趣的随机变量，并构造一个经验概率质量函数图m=1000000个样本。接下来，对于每个u，我们找到最佳方钻杆分数callit^K*=^K*(u); 见图1，其中绘制了该函数。看看情节，我们现在认为，这个结果与常见的感官考虑是一致的。在速度方面，当u处于范围的低端时，毫不奇怪会看到^K*（u）issmall beca使用Xu<0的概率很重要。例如，当enu=1时，最佳选择是在每次下注中下注约20%的财富。