期望退出时间和其他函数的多级估计

在任何一种情况下，我们都有L=O（| logε|）。将方程（5）与定理6.4的结果相结合，即水平的多水平方差l≥1 isVl= O（h）l-1 |对数hl-1 |）=O（hl-1.l).根据[8]中的分析，选择nl= 2 ε-2和LXl′=0件l′五、l′!pV公司l/Cl\',为确保总方差小于ε，预期总成本以CTOT为界≤ 2 ε-2LXl=0件l五、l!+九、l=0摄氏度l.自C起l五、l= O(l), 存在一个常数c，使得lxl=0件l五、l≤ cLX公司l=0l1/2≤ cZL+1l1/2天l =2c（L+1）3/2。因为Elxl=0摄氏度l= O（ε-2） 因此，总成本为O（ε-2 | logε|）。备注：上述分析使用Ml=2.l/l1/2. 如果相反，我们使用Ml=2.l然后是Cl=O（h）-1.l|日志hl|1/2），总体复杂性变为O（ε-2 | logε| 7/2）。这一点更差，但如果方差分析不清晰，事实上V[E[bPl-英国石油公司l-1 | W]]=O（hl) 和E[V[bPl-英国石油公司l-1 | W]]=O（h1/2l), 然后选择Ml=2.l是渐近最优的，并将给出O（ε）的复杂性-2 | logε|）。因此，数值实验使用Ml=2.l.7个数值实验该测试用例是3D立方体中的简单布朗微分，e，D=[-1，+1]，超过aunit时间间隔，[0，1]。初始数据为x=0，输出感兴趣的数量是预期的退出时间。对于PDE配方，这对应于PDEut型+u+1=0，以上的均匀边界数据为准D和t=1。使用标准dFourier系列扩展，调整为上的均匀边界条件D、 注意到每个坐标方向的对称性，早期的解是0≤t<1可表示为asu（x，t）=Xodd i，j，k≥1Ai，j，k（t）cos（iπx/2）cos（jπx/2）cos（kπx/2），其中振幅Ai，j，k（t）满足普通微分方程dai，j，kdt-（i+j+k）πAi，j，k+64(-1） （i+j+k+1）/2i j kπ=0，受终端条件Ai，j，k（1）=0的影响。

因此，j，k（t）=512(-1） （i+j+k+1）/2i+j+k（i+j+k）π1.- 经验值-8 (1-t） （i+j+k）π,给出了u（0，0）≈ 0.435930.在最粗糙的级别上，时间步长选择为h=0.1，因此平均退出时间仅对应于4个时间步长。内部级别为hl= 4.-lh、 M级l=2.l当近似条件表达式时使用子样本，因为粗路径或细路径已离开域。数值结果通过3种方案获得：o（orig）——Higham等人提出的原始MLMC方法【13】o（new1）——采用次抽样的新方法来近似条件期望值o（new2）——新方法还使用了Gobet&Menozzi（GM）边界偏移，其中水平路径l 如果kxk∞> 1.-ch1/2l其中c=-ζ(1/2)/√2π ≈0.5826.图2比较了三种方案的结果，以及没有Gobet&Menozzi边界校正的标准单层蒙特卡罗模拟。左上图显示了MLMC方差V的衰减l. 这从大约0（h1/2）改善l) 用或原始方法近似为O（hl)带有子采样。添加GM校正会略微减小方差。右上角的图显示了E[bP]的收敛性l-英国石油公司l-1]. 正如预期的那样，子抽样的引入不会影响蒙特卡罗抽样误差，但GM校正提高了O（h1/2）的收敛速度l) 太（hl).bo ttom左图显示了每个级别的每条路径的平均成本，定义为生成的正态随机数的数量，表示为数字3/h的分数l这需要d才能使一条单一路径达到时间t=1。正如预期的那样，原始方法的成本大约等于预期的退出时间。

使用次抽样时，成本略高，使用GM校正时高达15%，但额外成本并不显著，尤其不会随水平增加而增加l.右下角的图显示了P的计算峰度l-Pl-1、原始方法的增加值清楚地表明，对于一些示例，粗路径和细路径的退出时间非常不同。对于亚采样，峰度没有渐近增加。图3显示了许多不同用户特定精度ε的MLMC结果。MLMC方法在每个级别和最新级别L上选择接近最佳的样本数，如下所述【8】。左侧的图显示了级别上使用的路径采样数l 通过最好的两种方法，（new1：虚线t线）和（new2：虚线s）。按照MLMC中的标准，对于较大的ε值，无需使用如此大的值0 2 4 6-20-15-10-50 2 4 6-20-15-10-50 2 4 60.40.450.50.550.60.650 2 6图2：测试用例：MLMC方差Vl, 平均校正E[Pl-Pl-1] ，每个路径样本的归一化成本，三种MLMC方法的峰度，以及标准的单水平蒙特卡罗。对于L，确保微弱误差（或偏差）对期望均方误差的贡献非常小。特别值得注意的是，（new2）中Gobet&Menozzi校正的超弱收敛性大大减少了与（new1）相比所需的层数。右边的图显示了总成本（定义为使用d的正态随机数）乘以ε。在新的子抽样中，这种标度成本几乎与期望的精度无关，这与预测成本应为O（ε）的理论是一致的-2L）。

由于改进的弱收敛性，（new2）使用的级别仅为（new1）的一半，因此成本降低了6-8.0 5 100.00050.0010.0020.0050.01-3-2Std MCMLMC（orig）MLMC（new1）MLMC（new2）图3：测试用例：使用两种新的MLMC方法时，不同级别上的样本数量可获得不同的精度（虚线：new1，虚线：new2，成本v s。三种MLMC方法和标准单层蒙特卡罗的精度比较。8结论和扩展本文中，我们开发了一种有效的多层蒙特卡罗算法，用于估计有界域内停止使用的平均退出时间和其他相关函数。ε通过计算复杂性O（ε）实现-2 | logε|）。该算法的关键特征是，一旦粗路径或细路径退出域，就使用近似的条件期望。这大大减少了多级校正方差，而不会显著增加每条路径的计算成本。这项工作有几个方向可以扩展。这是偏微分方程解的线性泛函，例如asP=ZTZDρ（x，t）u（x，t）dx dt。如果我们将ρ（x，t）归一化为s o thattrdρ（x，t）dx dt=1，那么这非常简单，可以通过随机化SDE路径的起点来处理，从密度为ρ（x，t）的概率分布中取起点（x，t）。边界上解的线性泛函也有类似的推广。下一个可能的扩展是对一些非线性函数F（u）的形式p=ZTZDρ（x，t）F（u（x，t））dx dt的非线性泛函。这种情况可以通过将ITA表示为嵌套的期望nP=E[F（u（x，t））]，外部期望在起点（x，t）上，u（x，t）由（2）中通常的内部期望给出。

在Bujok、Hambly和Reisinger先前研究的基础上，在[8]中讨论了处理嵌套模拟的多级技术。特别是，多指标蒙特卡罗（MIMC）方法[12]在这方面可能非常有用。另一个扩展方向是Neumann边界条件。如果应用程序只有均匀的Neumann边界条件，那么Ffeynman-Kac泛函只依赖于内部路径，那么扩展应该是简单的，因为很容易模拟反射扩散。如果存在混合的Neumann/Dirichlet边界条件，则会出现困难。在这种情况下，MLMC方差可能会更大，因为其中一个细/粗路径对击中Dirichlet边界，而另一个击中Neumann边界。此外，偏微分方程解可能缺乏本文假设的必要正则性。最后，我们可以考虑椭圆偏微分方程的解。这对应于时间持续时间延长到完整性极限下的代谢溶液。基于Glynn和Rhee先前对马尔可夫链极限分布的研究，在[5]中介绍并分析了处理该极限的多级技术，并在[8]的第10.1节中进行了讨论。然而，数值分析和实践中可能存在一个困难，即有限时间间隔[0，T]的标准强误差分析包括一个相对于T呈指数增长的因子。

只有在某些条件下（见[5]），类似于Glynn&Rhee考虑的收缩马尔可夫链，才会发生这种情况，这可能会限制MLMC在该应用中的使用。感谢作者非常感谢Abdul Lateef Haji Ali、Wei Fang和匿名推荐人的反馈，他们的反馈导致了论文的显著改进。MBG部分资金来自EPSRC拨款EP/H05183X/1，FB承认SFRH/B PD/79986/2011拨款项下的葡萄牙FCT资金。根据EPSRC的op-en访问倡议，本文中的数据以及生成数据的代码可从doi获得。org/10.5287/bodleian:XmZwK1 zzv。参考文献【1】S.Asmussen和P.W.Glynn。随机模拟。斯普林格，纽约，2007年。[2] B.Bouchard、S.Geiss和E.Gobet。第一次退出连续It^o过程：圆盘复述近似的一般矩估计和l-收敛速度。伯努利，23（3）：1631–16622017年。[3] M.Broadie、P.Glasserman和S.Kou。离散载波选项的连续性校正。《数学金融》，7（4）：325–3481997年。[4] K.Bujok、B.Hambly和C.Reis inger。贝努利-兰多m变量函数的多级模拟及其在一揽子信贷衍生品中的应用。《应用概率的方法和计算》，17（3）：579–6042015。[5] W.Fang和M.B.Giles。具有非全局Lipschitz漂移的SDE的自适应Euler-Maruyama方法：第二部分，有限时间间隔。ArXiv预印本：1703.0674320017。[6] M.B.贾尔斯。使用Milstein格式改进了多级蒙特卡罗收敛。A.Keller、S.Heinr-ich和H.Niederreiter，《蒙地卡罗和准蒙地卡罗方法》编辑，2006年，第343-35页8。斯普林格，2008年。[7] M.B.贾尔斯。多级蒙特卡罗路径模拟。运筹学，56（3）：607–6172008。[8] M.B.贾尔斯。多层蒙特卡罗方法。数字学报，24:259–3282015。[9] P。

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