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英文标题：
《Multilevel estimation of expected exit times and other functionals of
  stopped diffusions》
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作者：
Michael B. Giles, Francisco Bernal
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper proposes and analyses a new multilevel Monte Carlo method for the estimation of mean exit times for multi-dimensional Brownian diffusions, and associated functionals which correspond to solutions to high-dimensional parabolic PDEs through the Feynman-Kac formula. In particular, it is proved that the complexity to achieve an $\\varepsilon$ root-mean-square error is $O(\\varepsilon^{-2}\\, |\\!\\log \\varepsilon|^3)$.
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中文摘要：
本文提出并分析了一种新的多层蒙特卡罗方法，用于估计多维布朗扩散的平均退出时间，以及通过费曼-卡克公式对应于高维抛物型偏微分方程解的相关泛函。特别地，证明了实现$\\varepsilon$均方根误差的复杂度为$$O（\\varepsilon ^{-2}、\\124；\\！\\ log\\varepsilon ^ 3）$。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Multilevel_estimation_of_expected_exit_times_and_other_functionals_of_stopped_di.pdf (319.13 KB)

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关键词：Applications Quantitative Computation Dimensional Monte Carlo

s-Toping DiffusionSM的预期退出时间和其他函数的多级估计。B、 Giles F.Bernalstember 2018年9月5日摘要本文提出并分析了一种新的多层蒙特卡罗方法，用于估计多维布朗扩散的平均退出时间，以及通过Feynman-Kac公式对应于高维抛物型偏微分方程解的相关泛函。特别地，证明了实现ε均方根误差的复杂性为O（ε-2 | logε|）。（将发表在《SIAM/ASA不确定性量化杂志》上）1简介在本文中，我们关注随机微分方程（SDE）dXt=a（Xt，t）dt+b（Xt，t）dWt的解，0<t≤ T、 （1）具有确定性初始条件X=X。我们假设Xt∈ RdandW={Wt:t≥0}是标准的d′维布朗运动。

此外，我们假设a:Rd×[0，T]→ Rd和b:Rd×[0，T]→ Rd×Rd′是Lipschitz连续的，Lipschitz常数为La，Lb，例如Ka（x，t）- a（y，s）k≤ La（kx-yk+| t-s |），kb（x，t）- b（y，s）k≤ 磅（kx-yk+| t-s |）），（x，t），（y，s）∈ Rd×[0，T]，并且b bt处处都是非奇异的。给定一个单连通有界开域D Rd和固定点X∈D、 我们感兴趣的是估计预期的退出时间Ex，0[τ]，其中Ex上的su ffex，t对于时间t：0≤t型≤T表示这是路径Xs上的期望条件，s>T，从Xt=x开始∈ D、 相应的退出时间τ定义为τ=min（T，inf{s>T:Xs/∈D} ）。此外，我们有兴趣估算u（x，0），它由u（x，t）=Ex，t定义ZτtE（t，s）f（Xs，s）ds+E（t，τ）g（Xτ，τ）, （2） 式中，e（t，t）=exp-ZttV（Xt，t）dt.我们假设函数f:Rd×[0，T]→ R、 g：Rd×[0，T]→ R、 V：Rd×[0，T]→ R、 所有Lipschitz c是否分别与Lipschitz constantsLf、Lg、lv以及g连续∈C2,1（D×[0，T]），及其空间HessianHgand时间导数˙g≡g级/t都有界。Feynman-Kac公式[1 5，16]确定，如果D发行充分平滑，u（x，t）满足PDEut+Xjaj（x，t）uxj+xj，k，lbj，k（x，t）bl，k（x，t）uxj公司xl码-V（x，t）u（x，t）+f（x，t）=0，（3）在域D×[0，t]内，当x∈D、 t=t或x∈D、 0<t<t。当对SDE使用Euler-Maruyama离散化时，对于大小为h的统一时间步长，标准分析给出了一个O（h1/2）强误差，并对路径近似进行了修正，Gobet和Menozzi[11]证明了预期停止时间的弱误差也是O（h1/2）。要获得ε的均方根误差，需要O（ε-2） 路径样本，h=O（ε），因此每个路径样本的平均成本为O（ε-2).

因此，总计算成本为O（ε-4).O（h1/2）弱错误是由于SDE溶液中O（h1/2）在每个时间步内的移动；Euler-Maruyama离散化的标准分段常数插值无法解释这一点。一个可能的改进是使用布朗桥插值函数[9]，它允许在每个时间步内对平滑边界的最小距离进行采样，从而将弱阶改进为O（h）。Gobet和Menozzi【11】开发的另一种方法基于Glasserman、Broadie和Kou【3】的原始想法，引入了边界校正，将边界设置在法线方向上，距离为o（h1/2）。这也改善了弱err或too（h），因此总体计算成本降低到O（ε-3).Primozic在Giles的障碍选项多层蒙特卡罗（MLMC）方法[6]的基础上，开发了一种MLMC算法，用于估算具有平面边界的一维差异的平均退出时间。这使用了Milstein离散化，该离散化给出了O（h）强误差，并结合了每个时间步内跨越边界概率的Brownian Bridge估计。这给出了一个O（ε-2） 计算复杂性，但其对多维应用的一般化仅限于以下情况：基本SDE满足交换性条件，这意味着在实施Milstein离散化时不需要每个时间步的L'evy区域[9]。Higham等人[13]提出了一种基于EulerMaruyama离散化的MLMC方法，并证明其复杂性为O（ε-3 | logε|）。

如果他们使用前面提到的两种方法中的任何一种来制作最弱的一阶误差，这将提高到O（ε-2.5 | logε|）。本文的目的是改进Higham等人分析的数值算法，将计算复杂度降低到O（ε-2 | logε|）。这是通过解决【13】分析中确定的问题来实现的，即多级校正方差的衰减很差，如h→ 这大约是O（h1/2），因为在边界O（h1/2）范围内开始的路径有O（h1/2）的概率，在退出do main之前将持续isO（1）的时间。我们通过在另一个退出域后将细路径或粗路径模拟分割成多个独立副本来解决这个问题。这些子路径上的平均值近似于条件期望值，并将多级方差减少到大约O（h）。然而，每个层级上的期望值没有改变，因此位于MLMC中心的伸缩求和仍然有效。本文首先用一个引理来限定FeynmanKac泛函的方差，然后回顾了SDE路径和路径泛函的Euler-Maruyama近似、改进弱收敛性的Gob et&Menozzi技术以及Higham等人使用的MLMC算法。然后提出并分析了新的alg算法。数值分析在很大程度上依赖于Gobet&Menozzi[11]的理论结果，并且与Higham et al[13]的分析结构相似。

通过数值实验证明了新算法的有效性，并在最后的结论中讨论了未来的研究方向。2退出时间和Feynman-Kac功能如果我们定义uexit（x，t）对应于fexit（x，t）的特定Feynman-Kac功能≡ 0，gexit（x，t）≡ t、 Vexit（x，t）≡ 0，则uexit（x，0）等于之前定义的预期退出时间Ex，0[τ]。我们现在做出一个关键假设。假设1：存在Lipschitz常数Lu，Lexitsuch，即| u（x，t）- u（y，s）|≤ Lu（kx-yk+| t-s |），uexit（x，t）- uexit（y，s）|≤ Lexit（kx-yk+| t-s |）），（x，t），（y，s）∈ D×[0，T]。注释：如果边界D是非常光滑的，假设1中u（x，t）和uexit（x，t）的Lips-chitz条件遵循假设a、b、f、g、V的Lipschitz性质。然而，如果该领域内存在重新进入的角落，则这一假设可能无法满足。下面的引理限制了SDE泛函的方差lpt=ZτtE（t，s）f（Xs，s）ds+E（t，τ）g（Xτ，τ）。Euler-Maruyama离散化的等价理论将在以后的数值分析中发挥重要作用。引理2.1。存在常数c，对于任何x∈ D、 0个≤t<TVx，t[磅]≤ c Ex，t[τ-t] 。注：Vx，tre表示以Xt=x为条件的方差。通过I t^o演算，dE（t，s）g（Xs，s）=E（t，s）-V g+˙g+(g） Ta+跟踪（bTHgb）ds+(g） Tb数据仓库,带a、b、g、˙g≡ g级/t，g、 g的空间梯度和Hg，g的黑森值，都在（Xs，s）处计算。

因此，Pt- g（x，t）=p（1）+p（2），其中p（1）=ZτtE（t，s）f- V g+˙g+(g） Ta+跟踪（bTHgb）ds，p（2）=ZτtE（t，s）(g） Tb数据仓库。然后是vx，t【Pt】≤ Ex，t[（Pt-g（x，t））]≤ 2 Ex，t[（p（1））+（p（2））]。自E（t，s）≤ exp（T kV k∞), 在被积函数中，p（1）的每一项都是相似有界的，存在一个常数c，与W，x，t无关，这样p（1）≤ c（τ-t）≤ c T和henceEx，T[（p（1））]≤ cT Ex，t[τ-t] 。此外，Ex，t[（p（2））]=Ex，tZτt（E（t，s））k(g） Tbkds≤ exp（2T kV k∞) kgk2，∞kbk2，∞Ex，t[τ-t] ，其中kbk2，∞, kgk2，∞是kbk，k的最大值gkover D×[0，T]。这就完成了公关。3 Euler-Maruyama近似使用s size h的统一时间步长，SDE的标准Euler-Maruyama近似为bXtn+1=bXtn+a（bXtn，tn）h+b（bXtn，tn）Wn，其中西尼罗河≡Wtn+1-WT和每个组件Wn是一个N（0，h）i.i.d.随机变量。设bxte为分段常数插值，其中bxtis在开放时间间隔[tn，tn+1]上取为常数。相应地，对于某个整数n的t=nh的任何时间间隔[t，t]，我们可以定义（t，t）=exp-ZttV（bXs，s）ds,设bu（x，t）=Ex，t【bPt】，其中，现在Ex上的suffix表示预测以bxt=x为条件，而bPt定义为bPt=ZbτtbE（t，s）f（bXs，s）ds+bE（t，bτ）g（bXbτ，bτ），其中bτ=min（t，min{tn：bXtn/∈ D} ）是numericalapproximation的退出时间。buexit（x，t）可以类似地定义为从bxt=x开始的数值路径近似的预期退出时间。此Euler-Maruyama离散化是本pap e r中提出的MLMC方法的基础。

在讨论算法的计算复杂度时，我们做出以下假设：假设2：在执行一步E uler Maruyama离散化和确定是否为Bxtn+1时，存在单位计算成本∈D、 注释：该假设的主要观点是，成本不取决于时间步h或要达到的总体精度ε。关于成本对维数d的依赖性，生成布朗增量所需的实际计算时间Wnfor o one timestep将与d成比例，而b（bXtn，tn）和乘积b（bXtn，tn）的计算如果b（x，t）是稠密的，则wn的代价与d′成正比。确定是否bxtn+1∈ D在实践中可能并不容易。这很大程度上取决于D的方式，或它的基础D、 是指定的。如果D被指定为斑块的集合，则可能需要一个通用的八叉树数据结构，以最大限度地减少所需的搜索，以确定点靠近哪个边界斑块，以及从BXT移动到BXTN+1是否跨越了任何斑块。实际上，随着h→0 s inc ethe jumpsbXtn+1-BXTN将变得更小，因此可能需要更少的搜索。Euler-Maruyama离散化数值分析的标准理论[17]给出了以下强收敛结果。引理3.1。对于q≥1我们有Ex，0“sup[0，T]kXt-bXtkq#1/q=O（h1/2 |对数h | 1/2）。以下推论揭示了Euler-Maruyama解的阶跃变化。推论3.2。对于q≥1我们有Ex，0“sup[0，T]kbXt- lims公司→t型-bXskq#1/q=O（h1/2 |对数h | 1/2）。证据

kbXt公司-bXsk公司≤ kXt公司-bXtk+kXs-bXsk+kXt- Xsk，然后通过取极限s得出结果→ t型- 并使用前面引理的结果。最终假设涉及Euler-Maruyama近似引起的微弱误差：假设3：存在常数cu和Cexit，因此对于所有x∈D、 0<t<t | u（x，t）-bu（x，t）|≤ cuh1/2 | uexit（x，t）-buexit（x，t）|≤ cexith1/2注意：Gobet和Menozzi【11】已经证明，在假设1和边界光滑的条件下，这是正确的D、 另请参见Howison和Steinber g【14】的相关匹配渐近分析，以及Bouchard、Geiss和Gobe t【2】的一篇新论文，其中分析了在特定条件下退出时间的预期误差。在这些条件下，基于Broadie、Glasserman和Kou【3】的原始想法，Gobet和Menozzi继续发展一种改进的一阶弱收敛的数值离散化，通过定义在时间tnif eitherbXtn时退出域的路径/∈D、 orbXtn∈D和KBXTN-π（bXtn）k≤ cknT（π（bXtn））b（bXtn）kh1/2其中π（x）≡ arg miny∈Dkx公司-yk是x在边界上的投影D、 n（x）是边界上的单位正态，c=-ζ(1/2)/√2π ≈0.5826（见[11]中的（2.1））。uexit的Lipschitz假设，以及假设3中的边界，根据与边界的初始距离，在数值路径模拟的预期退出时间上立即下降到以下边界：引理3.3。在假设1和3下，对于任何x∈ D、 对于某些整数n和y，t=nh<t∈D、 Ex，t[bτ-t]≤ Lexit（肯塔基州-xk+| s-t |）+cexith1/2由于以下定理，这个引理很重要：定理3.4。存在一个常数c，对于任何x∈ 对于某些整数n，Vx，t[bPt]，t=nh<t的D≤ c Ex，t[bτ-t] 。证据证明类似于引理2.1。

如果我们定义为tn<bτ的指示函数，那么通过考虑d（be（t，s）g（bXs，s）），我们可以得到（t，bτ）g（bXbτ，bτ）- g（x，t）=ZbτtbE（t，s）-V（bXs，s）g（bXs，s）+g（bXs，s）ds+Xn≥0nbE（t，tn+1）g（bXtn+1，tn+1）- g（bXtn，tn+1）.如果函数F:R→ R是两次连续可微的，则存在一些0<ξ<1，使得F（1）-F（0）=F′（0）+F′（ξ）。将此应用于F（s）≡g（bXtn+sbX，tn+1）带bX公司≡bXtn+1-bXtn=a（bXtn，tn）h+b（bXtn，tn）Wngivesg（bXtn+1，tn+1）- g（bXtn，tn+1）=(g） Tn（anh+bnWn）+（anh+bnWn）THg，n（anh+bnWn），其中≡a（bXtn，tn），bn≡b（bXtn，tn）(g） n个≡ g（bXtn，tn+1）和Hg，n，g的theHessian，在（bXtn+ξ）处进行评估bX，tn+1）。因此，bPt- g（x，t）=p（1）+p（2）+p（3），其中p（1）=ZbτtbE（t，s）f（bXs，s）- V（bXs，s）g（bXs，s）+g（bXs，s）ds，p（2）=Xn≥0nbE（t，tn+1）(g） Tnbn公司Wn，p（3）=Xn≥0nbE（t，tn+1）(g） Tnanh+（anh+bnWn）THg，n（anh+bnWn）.因此，方差有界vx，t【bPt】≤ Ex，th（bPt-g（x，t））i≤ 3 Ex，t[（p（1））+（p（2））+（p（3））]。由于p（1）的被积函数是有界的，如前所述，存在一个常数c，与W、x和h无关，因此| p（1）|≤ c（bτ-t）≤ c T和he nc eEx，T[（p（1））]≤ cT Ex，t[bτ-t] 。此外，Ex，t[（p（2））]=Ex，tXn公司≥0n（bE（t，tn+1））(g） Tnbn公司西尼罗河= Ex，tXn公司≥0n（bE（t，tn+1））k(g） Tnbnkh公司≤ exp（2T kV k∞) kgk2，∞kbk2，∞Ex，t[bτ-t] 。最后，我们需要约束Ex，t[（p（3））]。在计算出的路径离开域之前，最多有T/h的时间步长，并且henc eEx，T[（p（3））]≤ Ex，tXn公司≥0nh序列号其中sn=T h-2（bE（t，tn+1））(g） Tnanh+（anh+bnWn）THg，n（anh+bnWn）.重复使用不等式（u+v）≤ 2（u+v），并限定各种术语，得出1nSn≤ 1nS′n其中n=2 T exp（2T kV k∞)kgk2，∞kak2，∞+ kHgk2，∞（Tkak2，∞+ h类-2kbk2，∞kWnk）.S′nare i.i.d.和具有独立于h的有限预期值。此外，对于每个n，S′nis独立于1n。