凸风险测度下最优投资组合的连续选择

注意，我们总是可以写br（E）={x∈ RF（x）≤ 0，x∈ [0，1]}其中F:R→ R通过设置f（x）=rxβ（α（u（x，x））指定- （a）- 1） +x（4），u（x，x）=x√1+rx。现在，假设| a |<√α，因此0∈ 内文E.在这种情况下，F是完全可区分和可满足的F（x）=rβ（α（u（x，x））- （a）- 1) -αrx（u（x，x）- a） u（x，x）1+rx当x时，6=0（5）∈ Br（E），x>0。的确，如果我们发现对于某些x，F（x）=0∈ Br（E）x>0时，我们将产生矛盾0≥ α（u（x，x）- （a）- 1=rx（1- αa）+αrxu（x，x）a≥ rx（1- α| a（a- u（x，x））|）≥ rx（1-√α| a |）>0我们使用该| a的地方-u（x，x）|≤√倒数第二个不等式中的α和| a |<√最后一个不等式中的α。因此，（5）成立。然后，根据隐函数定理，存在一个开集U 随机连续可微函数f:U→ (0, ∞) 其中br（E）∩ {x∈ Rx> 0}={x∈ Rf（x，x）≤ x、 x个∈ （0，1]}。当然，不难看出我们可以连续扩展此函数以获得br（E）={x∈ Rf（x，x）≤ x、 x个∈ [0, 1 ]}. （6） Br（E）的凸性。我们认为Br（E）是凸的，只要| a |<√α. 为了证明这一点，我们将使用[5]的以下结果。定理4.1。让f：Rn→ R∪ {+∞} 是下半连续拟凸函数。那么，f是凸的当且仅当函数σs:R→ R∪ {∞} 定义为σs（t）=sup（nXi=1sixi；x∈ Rn，f（x）≤ t） 每s为凹面∈ 注册护士。首先注意，通过构造，f是下半连续和拟凸的。我们利用定理4.1证明了它的共凸性。每t∈ [0，1]子级集L（t）={（x，x）∈ Rf（x，x）≤ t} 很容易看出满足条件l（t）={（up1+rt，vr√t） ；（u、v）∈ R、 α（u- a） +βv≤ 1}.该集合是一个椭球体，其支持函数可以显式计算。对于s∈ Rwe确实有σs（t）=sup（x，x）∈L（t）sx+sx=ss（1+rt）α+srtβ+asp1+rt。作为t的函数，我们有两个函数的平方根之和。如果作为≥ 0，这两项是凹的。

那么，假设<0。第一项的二阶导数为-srα+srβs（1+rt）α+srtβ-3/2，随着sincrease的增加，它会变得越来越负。因此，为了确定σs的凹度，必须考虑s=0。在这种情况下，我们得到σs（t）=rs（1+rt）α-qas（1+rt）=s | p1+rt√α- 一,它是凹面的<√α. 这证明了f是凸的，因此Br（E）也是凸的。Br（E）的凸性成立，即使a√α = 1. 要了解这一点，需要（n）={（u，v）∈ Rα（u- an）+βv≤ 1} 对于任意n∈ N、 其中↑ a假设所有椭球体E（n）均为空。现在，让x∈Br（E）。然后，存在序列x（n）→ x使得x（n）∈ Br（E（n））每n∈ N、 当x=0时，此结果是平凡的。否则，设置v（x，x）=x/（r√x） so thatα（u（x，x）-a） +βv（x，x）≤ 1，我们简单地取（x，x）=u（x，x）- a+an，vn（x，x）=v（x，x），x（n）=x并构造E（n）的对应点x（n）。对流，如果x（n）∈ Br（E（n））定义了一个序列，该序列收敛到x，x>0，然后x∈ Br（E）通过函数u和v的连续性。当n x=0时，该性质也立即得到验证。因此，如果我们让↑ a、 然后我们看到Br（E）是凸的，因为每个集Br（E（n））都是凸的。Br（E）的曲率。最后，对于我们以后的构造，我们需要提供关于f的梯度的范数的一些估计∈ rx>0时，从隐函数定理可以得出||f（x，x）| |=pF（x）+F（x）|F（x）|。现在，假设≥ 0和α<5，取r>max{√2.√5.-α}. 我们声称Max||f（x，x）| |；x个∈ bd Br（E），0≤ u（x，x）- 一≤√α≤r（7）和，假设8>9αa，最大||f（x，x）| |；x个∈ bd Br（E），-√α≤ u（x，x）- 一≤√α≤16最大{αrr+1，1}r（8- 9αa）。（8） 请注意，我们可以将上述优化域限制为∈ bd Br（E），使得f（x，x）=x=1的凸性。

经过一些基本的重新排列，我们得到||f（x，x）| |=(F（x）+F（x））(F（x））-2=4（1+r）r·αr（u（x，x）- a） +（1- α（u（x，x）- a） ）（1+r）（（1- α（u（x，x）- a） ）（1+r）+3αr（u（x，x）- a） u（x，x））=4（1+r）r·αr（u（x，x）- a） +（1- α（u（x，x）- a） ）（1+r）（α（2r- 1） （u（x，x）- a） +3αar（u（x，x）- a） +（1+r））=4（1+r）rφ（t），其中，对于符号惯例nc e，我们将φ（t）=设为+B（Ct+Dt+B），t=u（x，x）- a、 a=α（αr- 1.- r） ，B=1+r，C=α（2r- 1） ，a和D=3αar。注意，b、C、D都是非负的，而a的符号取决于α。我们证明t≥ 0表示φ（t）≤ φ（0）=B=1+r.（9）为了说明这一点，首先假设A≤ 在这种情况下，我们很容易看到ABt+B≤ B≤ （Ct+Dt+B），使（9）保持不变。然后，假设A>0，并注意φ′（t）=-2 CT+2B（A- 2C）t- 2BD（Ct+Dt+B）。因为α<5且r>1/√5.- α、 分子在t中严格递减，因此，由于-2BD≤ 0.同样，因为r>1/√2，分母在t中严格增加，因此，由于B>0，它严格为正。当A>0时，也会建立s（9）。因此，我们||f（x，x）||≤4（1+r）r1+r=rwhenever u（x，x）- 一≥ 0，从而证明（7）。为了证明（8），假设t属于区间[-1/√α, 1/√α]. 在这种情况下，如果A，φ（t）的分子很容易被B最大化≤ 0，否则为aα+B。同时，φ（t）的分母在t=-D2C，大于或等于-1/√α自aα起≤ 1和r>√因此，通过（B）将去噪器最小化- D/4C）。现在，如果≤ 0我们推断||f（x，x）||≤4（1+r）r16（1+r）（2r- 1)((8 - 9αa）r+4r- 4） =64（2r+r- 1） r（（8- 9αa）r+4r- 4)≤r（8- 9αa）。最后一个不等式是由于fa c t，根据假设，8- 9αa>0和r≥ 1.

另一方面，如果a>0，那么我们有||f（x，x）||≤4（1+r）r16αr（2r- 1)((8 - 9αa）r+4r- 4)≤64αr（2r- 1)((8 - 9αa）r+4r- 4)≤256αr（1+r）（8- 9αa）。第二个不等式来自α（1+r）≤ αr，自A>0起成立，最后一个不等式，如上所述，是由于以下事实，根据假设，8-9αa>0和r≥ 这最终确定了边界（8）。基本集合考虑集合C R定义为以下四分之一椭球体的并集：E=（（x，x）∈ R4.x个-+ x个≤ 1，x∈, 1., x个∈ [0，1]），E=（（x，x）∈ Rx个-+ x个≤ 1，x∈-1., x个∈ [0，1]），E=（（x，x）∈ R4.x个++ x个≤ 1，x∈-1.-, x个∈ [-1，0），E=（（x，x）∈ Rx个++ x个≤ 1，x∈-, 1., x个∈ [-1, 0]).-1.-0.5 0 0.5 1-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图2：s et C为四分之一椭球体的并集。设r>0为固定值，并考虑集合Br（c）。这个集合的结构与s et Brconsideredabove相同，因为我们注意到Br=Br（E）表示一个合适的圆E R、 集合Br（C）是明确闭合的，但其凸性不是先验的。Br（C）的凸性。我们证明了Br（E∪E） 是凸面的。通过对称性，这意味着Br（C）也是凸的。注意，半椭球体′=（（u，v）∈ R4.u-+ v≤ 1，u∈ [-1，1]，v∈ [0，1]）包含在半椭球体中‘=（（u，v）∈ Ru-+ v≤ 1，u∈ [-1，1]，v∈ [0，1]），因此Br（E′） Br（E∪ E） Br（E′）。从上一段可以看出Br（E′）是凸的。现在，取x，y∈ Br（E∪E） 注意，x和y的任何凸组合都属于Br（E′）。因为方程u（λx+（1- λ） y，λx+（1- λ） y）=最多有两个解λ∈ [0，1]，具有极端x和y的段最多分为三个子段，其中u（x，x）-具有常量符号。正亚段包含在Br（E′）中，因此属于Br（C）。负子段a重新包含在R（E′）中∩x个∈ R-1.≤ u（x，x）≤, x个≥ 0,也包含在Br（C）中。

这建立了Br（C）的凸性。Br（C）的边界为s光滑。让Fand Fbe与Br（E）和Br（E）关联的函数如（4）所示，并注意它们在集合{x上重合∈ Ru（x，x）=}。此外，对于每x∈ Rwehave公司F（x）=4rx（2u（x，x）- 1 )u（x，x）x2x4r（u（x，x）- 1） u（x，x）+4 rx（2u（x，x）- 1 )u（x，x）x个和F（x）=rx（2u（x，x）- 1 )u（x，x）x2xr（u（x，x）- 2）（u（x，x）+1）+rx（2u（x，x）- 1 )u（x，x）x个.请注意F（x）=F（x）当u（x，x）=1/2时。最后，取任意（x，x）∈ Rwith公司≤ u（x，x）≤ 1和F（x，0，x）=0。在这种情况下，很容易看到x=√1+rx，实际上，u（x，x）=1。此外，我们还有(-x、 x）=- 1以及u型(-x、 x）=u（x，x）和u型(-x、 x）=- u（x，x）。因此，我们可以使用上述gr adient公式来获得F级(-p1+rx，0，x）=-接收u（x，x）=-F（p1+rx，0，x），F级(-p1+rx，0，x）=0=F（p1+rx，0，x）F级(-p1+rx，0，x）=rxu（x，x）=F（p1+rx，0，x）。这表明当x=0时，Br（C）的边界是光滑的。Br（C）的“单调性”。对于任何0<R≤考虑到冰淇淋c oneKR={x∈ Rx+x≤ Rx}。我们声称（Br（C）+KR）∩ {x∈ Rx个≤ 1} =Br（C）。（10） 为了说明这一点，让fbe作为（6）中与Br（E）关联的函数，并注意R≤r、 根据（7）中确定的界限，如下所示：≤kf（x，x）k每x∈ bd Br（E），x>0。通过对称性，如果我们用e替换e，则相同的界限成立。类似地，如果f是与Br（e）相关联的函数，如（6），则R≤r意味着r≤kf（x，x）k每x∈ bd Br（E），x>0 x（8）。Symmetry认为，如果我们取代EbyE，同样的界限成立。然后，可以很容易地按照（1）的证明行建立（10）。验收集r=16，并考虑Conv x验收集A R定义为a=Φ（Br（C））+R+，其中Φ是（3）中定义的旋转。

由于Br（C）是一个包含ze-ro的紧凸集，我们可以看到a是闭的，凸的，并且包含零。此外，通过定义单一至nic属性，可以满足需求。因此，完全满足了要求（R1）。Payoff空间如上所述，Payoff空间是Rgiven byM=Φ（N）的线性子空间，其中N={w∈ Rw=0}。定价函数π：M→ R通过设置π（z）=z来定义。与上面建立的一致，（R2）成立。设置R=√2以便Φ-1（R+） KR.自R≤r、 由（10）可知，（Br（C）+Φ-1（R+）∩ {x∈ Rx个≤ 1} =Br（C）。因此，我们可以复制上述论点，以确定ρ是有限的且（Lipschitz）连续的，因此（R3）也成立。换句话说，（A，M，π）是一个可容许的三元组。连续选择失败首先，请注意，对于每个x∈ Rwe可写（x）={z∈ Mz+x∈ A、 π（z）=ρ（x）}={Φ（w）；w∈ N、 w+Φ-1（x）∈ Br（C）+Φ-1（R+），w√= ρ（x）}=Φ（{w∈ Nw+Φ-1（x）∈ Br（C）+Φ-1（R+），w√= ρ（x）}）。现在，考虑序列（y（n）） Rde由Y确定（2n-1)=0, -r√n、 0个和y（2n）=0，r√n、 0个.然后，我们很容易看到e（Φ（y）（2n-1))) =(Φ-r1+rn，-r√n、 n！）与之类似（Φ（y（2n）））=（Φr1+rn，r√n、 n！）对于每n∈ N

自y（n）起→ 0但我们显然有-r1+rn，-r√n、 n！→-, 0, 0andr1+rn，r√n、 n！→, 0, 0,因此，E的选择不能在0处连续。参考文献[1]Aliprantis，Ch.D.，Border，K.C.：《有限维分析：搭便车指南》，Springer（2006）[2]Artzner，Ph.，Delbaen，F.，Eber，J.-M.，Heath，D.：《连贯的风险度量，数学金融》，9203-228（1999）[3]Artzner，Ph.，Delbaen，F.，Koch Medina，P.：《风险度量和资本的有效利用》，STINBulletin，39101-116（2009）[4]Baes，M.，Koch Medina，P。，Munari，C.《可变现资产最优投资组合的存在性、唯一性和稳定性》，arXiv:1702.01936（2017）[5]Crouzeix，J.-P.《凸函数拟凸性的条件》，运筹学数学，5（1），120-125（1980）[6]Farkas，W.，Koch Medina，P.，Munari，C.《超越现金加性风险度量：当改变thenum\'eraire失败时，金融和随机》，18，1 45-173（2014）【7】Farkas，W.，Koch Medina，P.，Munari，C.：《用多重合格资产衡量风险》，Mathematicsand Financial Economics，9，3-27（2015）【8】F¨ollmer，H.，Schied，A.：《随机金融：离散时间导论》，第3版，deGruyter（2011）