凸风险测度下最优投资组合的连续选择

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英文标题：
《A continuous selection for optimal portfolios under convex risk measures
  does not always exist》
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作者：
Michel Baes, Cosimo Munari
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  One of the crucial problems in mathematical finance is to mitigate the risk of a financial position by setting up hedging positions of eligible financial securities. This leads to focusing on set-valued maps associating to any financial position the set of those eligible payoffs that reduce the risk of the position to a target acceptable level at the lowest possible cost. Among other properties of such maps, the ability to ensure lower semicontinuity and continuous selections is key from an operational perspective. It is known that lower semicontinuity generally fails in an infinite-dimensional setting. In this note we show that neither lower semicontinuity nor, more surprisingly, the existence of continuous selections can be a priori guaranteed even in a finite-dimensional setting. In particular, this failure is possible under arbitrage-free markets and convex risk measures.
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中文摘要：
数学金融学中的一个关键问题是通过建立合格金融证券的对冲头寸来降低金融头寸的风险。这就需要关注与任何财务状况相关的集值映射，即以尽可能低的成本将头寸风险降低到目标可接受水平的合格回报集。在这些映射的其他属性中，从操作角度来看，确保低半连续性和连续选择的能力是关键。众所周知，下半连续性通常在无限维环境中失效。在本文中，我们证明了即使在有限维环境中，也不能先验地保证下半连续性，更令人惊讶的是，连续选择的存在性。特别是，在无套利市场和凸风险度量下，这种失败是可能的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_continuous_selection_for_optimal_portfolios_under_convex_risk_measures_does_no.pdf (216.75 KB)

2022-6-1 15:59:23 上传

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关键词：投资组合 Mathematical Quantitative mathematica Dimensional

苏黎世MathematicsETH BaesDepartment的Michel BaesDepartment并不总是存在凸风险度量下最优投资组合的连续选择，Switzerlandmbaes@math.ethz.chCosimoMunariCenter for Finance and Insurance和瑞士金融学院苏黎世大学（Switzerlandcosimo）。munari@bf.uzh.chSeptember2018年1月19日摘要数学金融中的一个关键问题是通过设置合格金融证券的对冲头寸来降低金融头寸的风险。这将导致关注与任何财务头寸相关的集值映射，即以最低成本将头寸风险降低到目标可接受水平的合格支付集合。在这些映射的其他属性中，确保下半连续性和连续选择的能力从操作角度来看是关键。众所周知，下半连续性通常在有限维环境中存在。在这篇文章中，我们证明了无论是下半连续性还是r，更令人惊讶的是，即使在有限维的环境中，连续选择的存在也不能被优先保证。特别是，在无套利市场和凸风险措施下，这种失败是可能的。关键词：风险度量、投资组合选择、扰动分析、连续选择。数学学科分类：91B30，91B321简介本说明讨论了一类最优集映射的连续选择的存在性，这些映射在数学金融的几个领域中起着重要作用，包括资本质量、定价、对冲和资本分配。在这种情况下，人们经常面临通过设立适当的资本缓冲基金来降低给定财务状况的风险的问题，该基金的功能是免除未来大于预期的损失。

该资本公积通常以一些金融证券组合的形式持有，称为合格资产。所考虑的最佳组合与每个财务状况相关联，精确地表示合格资产的所有支付组合，允许以尽可能低的成本在可接受的安全水平内确定风险。最近，文献[4]对此类集值映射的q量化稳健性进行了深入分析。在各种稳定性属性中，下半连续性被证明是最重要的，因为在对潜在财务状况进行轻微错误估计后，合格资产的任何最优收益仍接近最优。然而，[4]的一个关键发现是，下半连续性通常不令人满意。下半连续性的反例以一种重要的方式提供了底层模型空间的有限维结构。同时，那里建立的下半连续性结果表明，在适当的假设下，下半连续性可能不会太难确保在有限维环境中。因此，很自然地会问，通过将注意力限制在有限维模型空间和在合适的凸环境中工作，是否可以始终保证下半连续性。从操作角度来看，连续性的存在构成了上述最优集映射的另一个关键属性，该映射允许将合格资产的唯一组合与每个财务状况相关联，从而使基础财务状况的轻微扰动不会导致相应最优组合结构的显著变化。

回想一下，对于co-invex-valuedmaps，连续选择的存在性是由迈克尔定理（[1，定理17.66]）的下半连续性自动暗示的。因此，人们可能希望在有限维环境中总是有连续的选择，至少在凸性下，即使在下半连续性失败的情况下也是如此。[4]中没有提到这个问题。在本文中，我们在有限维模型空间中提供了上述类型的最优集映射的具体示例，（1）不能是下半连续的，但允许连续选择（2）不能允许连续选择。除了其内在的数学兴趣之外，我们的例子在上述应用领域中提出了一个严重的警告：在有限维空间中的Convex风险度量下的成本或风险最小化问题不需要考虑稳健的方法来选择合格资产的最佳组合。因此，需要进行个案分析，以确定（凸）风险度量的特殊选择是否会导致稳健的最优选择。本说明的结构如下。在第2节中，我们介绍了我们的数学设置，并定义了相关的最优s集映射类。在第3节中，我们表明，在有限维环境中的最佳s集映射可能不是下半连续的，但仍然是一个极小的连续映射。第4节建立在前一节讨论的示例的基础上，确定了有限维环境中的最佳集合映射甚至可能无法允许连续选择。2最优集映射我们采用了与[4]相同的符号来介绍我们的最优集映射，我们可以参考这些符号来了解问题的非数学方面的更多细节。考虑一个日期为t=0（初始日期）和t=1（终止日期）的单周期经济。

最终日期的财务状况由（实）Hausdorff拓扑向量空间X的元素表示，我们假设该向量空间由凸锥X+部分排序。在头寸空间内，确定一组可接受（从金融监管机构的角度）或可取（从风险或投资组合经理的角度）的头寸。我们用X的有限维线ar子空间表示，其元素表示用于将不可接受头寸推到目标集a的有限数量金融资产的收益。空间M内有X诱导的相对拓扑。M中的每个收益都有一定的价格，该价格由线性函数π：M表示→ R、 从资本管理的角度来看，重要的是要知道某一财务状况可以以何种成本被接受。这导致了对最优值函数ρ：X的研究→由ρ（x）定义：=inf{π（z）；z∈ M、 z+x∈ A} 。在财务文献中，上述功能通常被称为风险度量。感兴趣的读者可以咨询[2]、[3]、[6]、[7]、[8]，了解风险度量的各种结果，并讨论其在不同数学金融领域的财务相关性。与上述参数优化问题相关的最优集映射是集值映射：X=> M给定byE（x）：={z∈ Mz+x∈ A、 π（z）=ρ（x）}。E（x）的任何元素都是x的最优支付。我们参考文献[4]来全面研究上述映射的定性稳健性。如导言所述，该论文的主要发现之一是表明，在许多相关的案例中，map e并不是低硒连续的。即使假设接受集A是凸的，这也是正确的。

回想一下，在某些x上，E是下半连续的∈ 任意开集U的X时 M满足E（x）∩ U 6= 存在一个邻居UX X/X这样的∈ 用户体验==> E（y）∩U 6=.从直觉上讲，这意味着x的任何最优收益在x受到轻微扰动后仍接近最优。然而，在[4]中展示的所有下半连续性反例都以关键的方式使用了底层环境空间的有限维性。事实上，由于同一篇论文的一般结果，其中任何一篇都无法在有限维环境中复制。更准确地说，根据[4，定理5.12]，在多面体下，由于多面体的存在，所以在多个样本中使用的访问集是指曾经被限制为有限维数和较低微连续性的多面体集合。因此，尤其是对于凸接受集，人们是否仍然可以找到下半连续性的反例，以及更普遍地，在有限维环境中是否存在e的连续选择。我们的目的是丰富[4]的结果，表明在有限维模型空间中，凸接受集的下半连续性不仅可能失败，而且我们甚至可能无法找到最佳集映射的连续选择。如果我们强加以下要求，这也是正确的：（R1）A是闭合的，凸的，包含零并且满足单调性性质yx∈ A、 y型∈ x+x+==> y∈ A、 （R2）M不允许有套利机会，即z∈ M∩X+\\{0}==> π（z）>0。（R3）ρ是有限且连续的。在这种情况下，我们将说（A，M，π）是可容许的。关于A的假设是风险度量文献中的标准。

特别是，通过规定任何可接受头寸的加总都是可接受的，凸性的性质通常被视为提供了多元化经济学原理的数学翻译，根据这一点，加总应始终提高安全性。单调性属性要求支配某个可接受位置的任何位置也应被视为可接受。缺乏套利机会，这与定价函数π的严格正性相对应，在数学金融理论中普遍存在。最后，假设ρ是有限的和连续的，则下半连续性问题很重要，我们对反例的研究更具挑战性。3凸性不能保证下半连续性在本节中，我们假设X=R。我们的目标是构造一个可容许的三元（A，M，π）并展示一个向量X∈ 因此，E在x处不能是下半连续的。我们将构造分为几个步骤。基本设置通过对以下基本设置进行适当的扩展和旋转，可以获得接受集。修复r>0并通过设置定义Rby的子集br=x个∈ R×（0，1）；x1+rx+xrx≤ 1.∪ {x∈ Rx个∈ [-1，1]，x=x=0}。该集合的下边界具有图1所示的船状形状，带有一些水平集的投影。每小时∈ [0，1]切片S（h）={x∈ Br；x=h}是一个以0为中心的椭球体，轴如图1所示：r=2的s et BR。平行于长度为2的正则向量eand和eand√1+右侧和2r√h、 分别为。在特定情况下，切片S（0）是退化椭球体，而切片S（1）包含半径为r的圆。集合Bris明显闭合，很容易被视为凸的。

实际上，sinc e函数g:R×（0，∞) → 由g（s，t）=s/t定义的Rde是凸的，因此λx+（1-λ） y型∈ br每x，y∈ br x>0 andy>0和λ∈ [0, 1]. 对于每个x，y，same结论都成立∈ Brby封闭性。对于每个给定半径0<R≤r√1+R考虑ic e-cream coneKR={x∈ Rx+x≤ Rx}。我们声称BRSATIES（Br+KR）∩ {x∈ Rx个≤ 1} =Br。（1） 要解决此问题，请考虑c onvex函数fr:R→ R由fr（x，x）=x+x给出- 1+p（x+x- 1） +4x2r。（2） 经过一些基本的操作，我们可以证明，Bris不是别的东西，而是e pigraph offr的一部分，命名为br={x∈ R×[0，1]；fr（x，x）≤ x} 。对于每x∈ bd BRX带x∈ （0，1）可以很容易地验证fr（x，x）=2r2xfr（x，x）fr（x，x）- （x+x- 1） 以及fr（x，x）=2r2x（fr（x，x）+2）fr（x，x）- （x+x- 1).因为fr（x，x）=x和x+x- 1=rx- x/（rx），我们推断kfr（x，x）k=4r4（x+x）fr（x，x）+1 6xfr（x，x）+16x（fr（x，x）- （x+x- 1） ）=4r16rx（1+rx）rx+x≤4（1+r）r。因此，（1）是满意的。要看到这一点，请取任意x∈ BRX带x∈ （0，1）和y∈ KR这样的X+y≤ 1、上述梯度范数上的统一界限允许我们写R（x+y，x+y）≤ fr（x，x）+√1+rrqy+y≤ x个+√1+RRY≤ x+Y我们在哪里使用了R≤r√1+r。通过连续性，不等式fr（x+y，x+y）≤ x+Y可以扩展到任意x∈ br x=0和y∈ KR这样y≤ 1、建立s（1）。旋转考虑等距Φ：R→ Rde由Φ（x）定义=√√√-√√√0-√√√xxx个. （3） 可以很容易地验证Φ是沿单位向量E顺时针旋转一个角度θ=π/4的组合，该角度以c的角度θ顺时针旋转，使得sin（θ）=√2/√3和co s（θ）=1/√围绕单位向量（1/√2.-1/√2, 0).验收集r=3，并考虑集A R定义为a=Φ（Br）+R+。回想一下，Bris是一个包含ze-ro的紧凸集。作为结果，我们立即看到a是封闭的，凸的，并且包含零。

此外，定义满足了单调性。因此，完全满足了要求（R1）。Payoff空间Payoff的空间是Rgiven byM=Φ（N）的线ar子空间，其中N={w∈ Rw=0}。立即可以看到M的跨距为（1，1，1）=Φ（0，0，√3） 和（1，-1, 0) = Φ(√2, 0, 0). 此外，定价函数是线性函数π：M→ R由π（z）=z给出。特别是，我们有π（1，1，1）=1和π（1，-1, 0) = 0. 为了证明M不允许存在rbitrage，取任意非零z∈ M∩ R+并注意Z=Φ（w）=w√+w√, -w√+w√,w√对于合适的w∈ N、 由于z是正的但不是零，我们必须让w>0，因此π（z）=z>0。这表明（R2）成立。为了显示ρ的完整性和连续性，首先注意ρ（x）=inf{π（z）；z∈ M、 z+x∈ Φ（Br）+R+}=inf{π（Φ（w））；w∈ N、 w+Φ-1（x）∈ Br+Φ-1（R+）}=√inf{w；w∈ N、 w+Φ-1（x）∈ Br+Φ-1（R+）}。设置R=√2以便Φ-1（R+） KR.自R≤r√1+r，由（1）得出（Br+Φ-1（R+）∩ {x∈ Rx个≤ 1} =Br。结果，我们看到ρ（0）=0。现在，做任何x∈ 兰德注意到KXK∞e≥ x个≥ -kxk公司∞e、 其中e=（1，1，1）。那么，不难验证-kxk公司∞= ρ(0) - π（kxk∞e） =ρ（kxk∞e）≤ ρ（x）≤ ρ(-kxk公司∞e） =ρ（0）+π（kxk∞e） =kxk∞.这表明ρ是单位值且（全局Lipschitz）连续的。

因此，要求（R3）也是成立的，三元组（A，M，π）是可以接受的。下半部分失效首先，请注意∈ Rwe可写（x）={z∈ Mz+x∈ A、 π（z）=ρ（x）}={Φ（w）；w∈ N、 w+Φ-1（x）∈ Br+Φ-1（R+），w√= ρ（x）}=Φ（{w∈ Nw+Φ-1（x）∈ Br+Φ-1（R+），w√= ρ（x）}）。现在考虑Brwith general termy（n）中的序列=0，r√n、 n个.注意Φ（y（n））→ 0和每n∈ N我们有ρ（Φ（y（N））=0和（Φ（y（N））=Φ（{0}）={0}。同时，回顾ρ（0）=0，它显然保持se（0）=Φ（{w∈ Rw∈ [-1，1]，w=w=0}）={λΦ(-1, 0, 0) + (1 - λ)Φ(1, 0, 0) ; λ ∈ [0, 1]}.这表明E在0时不是下半连续的。事实上，0的轻微扰动可能会导致最佳支付的校正集从有限集缩小到仅一吨！4凸性不能保证连续选择虽然不是下半连续的，但上例中的最佳集映射很容易被视为包含连续选择。在本节中，我们表明，通过适当修改上述验收集，我们可能无法确保连续选择的存在。在（A，M，π）是容许三元组的条件下，这也是可能的。为此，我们遵循前面示例的一般构造。唯一不同的是，我们将以合适的方式“扭转”布景。该mo定义将需要一些技术准备工作来确保凸性，这在上述示例中是自动的。在续集中，对于任何r>0和任何子集E Rwe将包含r组表格br（E）={（up1+rx，vr√x、 x）∈ R（u、v）∈ E、 x个∈ [0, 1 ]}.辅助设置Br（E）修复r>0。在本节中，我们将重点讨论集合Br（E），其中E={（u，v）∈ Rα（u- a） +βv≤ 1} 对于给定的∈ R和α，β>0。