合格投资者最优投资组合的存在性、唯一性和稳定性

不难验证ρ（0）=0和e（0）={λZ；λ∈ R、 P（λZ<0）≤ α} ={λZ；λ∈ (-∞, 0]}.现在，对于每个n∈ N考虑位置Xn=-nF公司∈ 注意ρ（Xn）=0，所以e（Xn）={λZ；λ∈ R、 P（Xn+λZ<0）≤ α} = {0} .因为我们显然有Xn→ 0，我们推断E fa ils在0时是下半连续的。特别是，每个位置xNad都会指定一个唯一的最佳支付，而极限位置0允许最佳支付的一致性。我们刚刚说明的下半连续性的失败关键取决于基于变量的接受集的非凸性。因此，人们可能想知道，如果选择的接受集是凸的，那么上述极端不稳定性行为是否也可能发生。接下来的例子表明，凸性不足以保证下半连续性。事实上，同样的极端不稳定性适用于各种重要（非多面体）凸接受集。示例5。15（基于场景的验收集（在有限维度中））。在有限维设置中，基于测试场景的接受集是多面体的，根据定理5.11，相应的最优支付图是下半连续的。这尤其适用于正锥体。一旦我们进入有限维环境，多面体c很容易保持，画面就会发生戏剧性的变化。在这种情况下，我们表明，潜在财务状况的轻微扰动可能会导致最优支付集从一个丰富的有限集缩小到一个单一集。考虑一个非原子概率空间(Ohm, F、 P）并确定事件E∈ F，P（E）>0。Let（Ek） Fbe所有k满足P（Ek）>0的E的可数划分∈ N、 它总是以非原子性存在。

空间X=L中的Wework∞(Ohm, F、 P），这是由规范的几乎肯定排序部分排序的，考虑基于场景的接受集a={X∈ 十、XE公司≥ 0}.此外，我们考虑了合格支付空间M=span(Ohm, Z） ，其中Z=-E+Xk≥3千克。定价函数由π定义(Ohm) = 1和π（Z）=0。根据这些规范，假设1至3均已满足∩ ker（π）={0}（市场不允许有好的交易），推论4.4意味着E（X）6= 对于allX∈ 十、现在，fixγ≥ 0并定义位置X∈ 通过设置X=γE+Xk≥3千克。直接计算表明ρ（X）=0。此外，验证e（X）={λZ；λ并不困难∈ R、 （X+λZ）E≥ 0}={λZ；λ∈ [-1, γ]}. （9） 对于任意n∈ N考虑位置Xn∈ X由xn=γE+2+nXk=3kEk+Xk给出≥3+nkEk。请注意，对于每个n∈ 我们有- Xk公司∞= 高级大床房≥3+nk（Xn- 十） Ekk公司∞= 高级大床房≥3+nk-k<3+n，表示Xn→ 十、 直接计算表明ρ（Xn）=0，e（Xn）={λZ；λ∈ R、 （Xn+λZ）E≥ 0}={λZ；λ∈ [0，γ]}（10）对于所有n∈ N、 特别是对于任何N∈ N和λ∈ R不等式（Xn+λZ）E≥ 0产生λ≥ 高级大床房≥3+n-kk-1.= - infk公司≥3+nk=0。因此，我们可以看到，对于所有n，E（Xn）=E（X）∈ N、 然而，E（X）远远大于E（X）。特别是，如果我们选择γ=0，则E（X）是有限的，而E（X）由一个付息组成。这清楚地表明，c在X处不能是下半连续的。下一个例子表明，下半连续的失败是规则，而不是例外，欠凸接受集。示例5.16（凸律不变接受集（有限维））。我们在示例5.15和s et E=Ohm. 注意，我们总是可以选择分区（Ek） F，使p（E）>α。我们考虑了同一空间的弹性支付和凸交流接受集a X满足假设2，且a {X∈ 十、ESα（X）≤ 0}（11）对于某些α∈ (0, 1).

这意味着A比一些基于ES的验收集更严格。请注意，由于可能支付的空间没有改变，假设1明显满足，假设3遵循命题2.4。当然，条件（11）适用于任何基于ES的验收集。更一般地说，结合斯文德兰（2010）中的命题1.1和F¨ollmer and Schied（2011）中的定理4.67，条件（11）完全由任何接受集A 是凸的且定律不变的X（X∈ A代表所有X∈ X具有A）中某些元素的相同概率分布，且满足 {X∈ 十、VaRα（X）≤ 0}.自A∩ ker（π）={0}（市场不允许有好的交易），推论4.4意味着E（X）6= 对于allX∈ 十、作为初步观察，取λ∈ R，注意，对于任何Y∈ X，其中YE=ZEwe有α（Y+λZ）（=0，如果Y+λZ≥ 0，否则大于0。这是因为P（Y+λZ=0）≥ P（E）>α。自X起+ A. {X∈ 十、ESα（X）≤ 0}，我们推断y+λZ∈ A.<==> Y+λZ≥ 0。（12）然后，从（9）得出，tρ（X）=0，且e（X）={λZ；λ∈ R、 X+λZ∈ A} ={λZ；λ∈ [-1, γ]}.类似地，对于任何n∈ N我们从（10）推断ρ（Xn）=0，e（Xn）={λZ；λ∈ R、 Xn+λZ∈ A} ={λZ；λ∈ [0, γ]}.因此，我们可以像例5.15那样论证，得出结论，E在X处不能是下半连续的。特别是，选择γ=0，我们认为X的一个小扰动可能会导致最佳支付集突然从一个有限集收缩到一个单一到n的集。备注5.17。除基于VaR的验收集外，上述所有示例均无法适应有限的尺寸设置。特别是，推论5.12告诉我们，基于有限维中的ES和测试场景，我们总是有验收集的下半连续性。因此，人们可能想知道凸性是否能够确保至少在有限维环境中的下半连续性。

然而，正如Baes和Munari（2017）所示，这远非事实。近似最优支付图的下半连续前面的例子表明，一旦我们离开多面体，最优支付图可能就不是下半连续的，在这种情况下，最优投资组合的选择会受到严重不稳定性的影响。这与基础验收集是否为共模无关。因此，我们很自然地会转向下半连续性的研究，以获得接近最优的支付图。对于任何给定的ε>0，这些都是设定值MAPS Eε：X=> 通过设置ε（X）定义：={Z∈ MX+Z∈ A、 π（Z）<ρ（X）+ε}。我们不再关注最优回报，而是放松最优条件，以接近最低的成本寻找确保可接受性的所有回报。参数ε定义了最佳成本周围的公差范围。在参数优化语言中，Eε被称为ε-最优集映射。几乎最优集映射的研究是参数优化中经常出现的主题，下半连续性的关键结果是Bank等人（1983）的定理4.2.4。在将该结果调整到我们的框架后，我们利用它来建立各种低阶连续性结果，以获得接近最优的支付图。为此，我们首先需要以下初步引理，它提供了Bank等人（1983）中引理2.2.5和推论2.2.5.1的简单概括。这里，对于X∈ 我们说一个集值映射S:X=> 对于任意Z，M在X处是严格下半连续的∈ 存在开放的社区UX X/X和UZ Z中的M就是这样∈ 用户体验==> 乌兹 S（Y）。我们说，如果上述性质对每个X都成立，那么S是严格下半连续的∈ 十、早期，严格下半连续性比下半连续性强（通常强得多）。引理5.18。

对于任何贴图S，S:X=> M以下陈述成立：（i）假设Sis严格下半连续且Sis下半连续。然后，集值映射：X=> M由S（X）=S（X）给出∩ S（X）是下半连续的。（ii）假设Sis严格下半连续和S（X） S（X） cl S（X）适用于所有X∈ 十、然后，Sis下半连续。证据（i） 修复X∈ X并假设S（X）∩ U 6= 对于某些开放集U M、 取Z∈ S（X）∩ 注意，通过严格的下半连续性，我们可以找到开放的邻域UX X/X和UZ Z的M使得uz S（Y）代表所有Y∈ 用户体验。自Z起∈ S（X）∩ U∩ UZ，有一个邻居VX X，共X个∈ Vx表示S（Y）∩ U∩ UZ6= 通过下半连续性。因此，以下为S（Y）∩ U=S（Y）∩ S（Y）∩ U 乌兹∩ S（Y）∩ U 6=对于每个Y∈ 用户体验∩ 证明S是下半连续的。（ii）固定X∈ 十、假设S（X）∩ U 6= 对于某些开放集U M取Z∈ S（X）∩ U、 然后，Z∈ cl S（X）∩ 因此，我们可以找到一个序列（Zn） S（X）使Zn→ Z、 特别是，存在k∈ N，其中Zk∈ U、 通过严格的下半连续性，我们找到了开放的邻域UX Xof X和英国 ZK的M，以便英国 S（Y）代表所有Y∈ 用户体验。接下来是thatZk∈ 英国∩ U S（Y）∩ U S（Y）∩ Ufor任何Y∈ UX，表明Sis在X下半连续。命题5.1 9。修复X∈ 并假设集值映射F:X=> 定义为f（X）：={Z∈ MX+Z∈ A} 在X处是下半连续的。然后，对于任何ε>0，Eε在X处是下半连续的。证据对于任何固定ε>0，请考虑设定值映射H:X=> M由h（X）={Z给出∈ Mπ（Z）<ρ（X）+ε}。很容易看出，通过π和ρ的连续性，H在每个点上都是严格下半连续的。因为Eε（X）=F（X）∩ H（X）表示所有X∈ 这个断言是引理5.18的直接结果。备注5.20。

在参数优化中，ma p F通常被称为约束集映射。在我们的背景下，它可以被视为Jouiniet al.（2004）引入的集值风险度量的广义版本，并在Hamel和Heyde（201 0）中进一步研究。下一个定理是我们关于近似最优支付映射稳定性的主要结果。定理5.21。假设cl（int A）=A，集值映射G:X=> 定义为g（X）：={Z∈ MX+Z∈ int A}saties G（X）6= 对于所有X∈ 十、当ε＞0时，Eε是下半连续的。证据对于任意X∈ 我们有G（X） F（X） cl（G（X））。第一个包含很明显。要建立第二个包含项，请注意f（X）=M∩ （A）- 十） =米∩ （cl（int A）- X） cl（M∩ （内景A- 十） ）=cl（G（X））。此外，注意G是严格下半连续的。要显示这一点，请使用X∈ X和Z∈ G（X）。自X+Z∈ int A，我们发现开放式社区用户体验 X/X和UZ Z的M使得UX+UZ int A.这意味着W∈ G（Y）表示任意Y∈ UX和W∈ UZ，表明G确实是X的严格下半连续。因此，我们可以应用引理5.18来推断F是下半连续的。该评估现在是5.19号提案的直接结果。上述密度条件在正锥具有非空内点的模型空间中总是满足的。这尤其意味着，当某些合格的支付函数位于正锥的内部时，在有限维空间或有界随机变量空间中，接近最优的支付函数映射总是下半连续的。推论5.22。假设int X+∩ M 6=. 当ε＞0时，Eε是下半连续的。证据首先请注意，A具有非空内部，因为它包含X+。取任意X∈ A和Z∈ 整数X+∩ 所有n的命令集Xn=X+nZ∈ N、 显然，我们有Xn→ 十、 我们声称Xn∈ int A适用于任何文件∈ N

要看到这一点，请将Z定义的邻域设为uz={Y∈ 十、2Z≥ Y≥ 0 }.然后，我们很容易看到，X+nuzi是X+中包含的xn的邻域，因此，在a中。这建立了该主张，并证明了cl（int a）=a。根据定理5.21，总结证明G（X）6= 对于所有X∈ 十、为此，取任意X∈ 注意Z+λX∈ λ>0时，int X+足够小。这将产生X+λZ∈ int X+表示G（X）不是空的。本节的最后一部分用凸接受集来表示。在本案例中，密度条件cl（int A）=A是众所周知的满足条件（前提是A具有非空内部）。对于凸面情况下接近最优的支付映射低于半连续的情况，因此有必要使每个位置都“严格可接受”，即通过合适的合格支付，可以移动到接受集的内部。接下来的结果描述了可以实现这一点的一些情况。推论5.23。当s ume A是凸的且int（A∞) ∩ M 6=. 当ε＞0时，Eε是下半连续的。证据固定ε>0，让Z∈ 内景（A∞) ∩ M、 那么，对于任何X∈ X我们发现λ>0小数值，因此λX+Z∈ 内景（A∞). 自A∞是一个圆锥体，相当于X+λZ∈ 内景（A∞) 并表明G（X）6=.作为定理5.21的结果，我们得出E在X是ε-下半连续的。在下一个结果中，我们用X++表示X中的严格正元素集。重新计算所有X∈ 对于所有非零功能，如果ν（X）>0，则X+严格为正∈ X′+。推论5.24。假设A是凸的，int（A∞) 6=  和X++∩ M 6=. 那么，对于每一个ε>0，Eε都是下半连续的。证据让Z∈ X个++∩ M这个断言是推论5.23的直接结果，一旦我们证明z∈ 内景（A∞). 为此，假设Z/∈ 内景（A∞). 在这种情况下，Hahn Banach发现了一个非零函数∈ X′令人满意（注意0∈ A.∞)^1（Z）≤ σA∞(φ) ≤ 0 .

（13） 自从∞是一个圆锥体，引理2.1表示ν（X）≥ 0表示所有X∈ A.∞. 特别是，由于X+ A、 我们看到了∈ X′+。通过严格的正性，这将产生大于0的ν（Z），然而，这与（13）相矛盾。