合格投资者最优投资组合的存在性、唯一性和稳定性

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英文标题：
《Existence, uniqueness and stability of optimal portfolios of eligible
  assets》
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作者：
Michel Baes, Pablo Koch-Medina, Cosimo Munari
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In a capital adequacy framework, risk measures are used to determine the minimal amount of capital that a financial institution has to raise and invest in a portfolio of pre-specified eligible assets in order to pass a given capital adequacy test. From a capital efficiency perspective, it is important to identify the set of portfolios of eligible assets that allow to pass the test by raising the least amount of capital. We study the existence and uniqueness of such optimal portfolios as well as their sensitivity to changes in the underlying capital position. This naturally leads to investigating the continuity properties of the set-valued map associating to each capital position the corresponding set of optimal portfolios. We pay special attention to lower semicontinuity, which is the key continuity property from a financial perspective. This \"stability\" property is always satisfied if the test is based on a polyhedral risk measure but it generally fails once we depart from polyhedrality even when the reference risk measure is convex. However, lower semicontinuity can be often achieved if one if one is willing to focuses on portfolios that are close to being optimal. Besides capital adequacy, our results have a variety of natural applications to pricing, hedging, and capital allocation problems.
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中文摘要：
在资本充足率框架中，风险度量用于确定金融机构为通过给定的资本充足率测试而必须筹集和投资于预先指定的合格资产组合的最低资本额。从资本效率的角度来看，重要的是要确定一组合格资产的组合，这些资产可以通过筹集最少的资本来通过测试。我们研究了这种最优投资组合的存在性和唯一性，以及它们对基础资本状况变化的敏感性。这自然会导致研究集值映射的连续性属性，该映射与每个资本头寸以及相应的最优投资组合集相关联。我们特别关注下半连续性，这是从财务角度来看的关键连续性。如果测试基于多面体风险度量，则始终满足此“稳定性”属性，但一旦我们离开多面体，即使参考风险度量是凸的，它通常也会失败。然而，如果一个人愿意专注于接近最优的投资组合，通常可以实现较低的半连续性。除了资本充足率，我们的结果对定价、对冲和资本配置问题也有各种自然的应用。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Existence,_uniqueness_and_stability_of_optimal_portfolios_of_eligible_assets.pdf (359.46 KB)

2022-6-2 13:44:24 上传

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关键词：合格投资者 投资组合 稳定性 投资者 存在性

合格资产最优组合的存在性、唯一性和稳定性苏黎世ETH Michel BaesDepartment of Mathematics，Switzerlandmbaes@math.ethz.chPablo科赫·梅迪纳，科西莫·穆纳里安金融保险中心和瑞士苏黎世大学金融研究所，瑞士巴勃罗。koch@bf.uzh.ch，科西莫。munari@bf.uzh.chJanuary2018年3月摘要在资本充足性框架中，风险度量用于确定金融机构必须筹集和投资预先指定的合格资产组合的最低资本量，以通过给定的资本充足性测试。从资本效率的角度来看，重要的是通过筹集最少的资本来确定合格资产组合的集合，以通过测试。我们研究这种最优投资组合的存在性和唯一性，以及它们对潜在资本头寸变化的敏感性。这自然会导致研究集值dmap的连续性属性，该集值dmap与每个资本头寸以及相应的最优投资组合集相关联。我们特别关注下半连续性，这是从财务角度来看的关键连续性。如果测试基于多面体风险度量，则该“稳定性”属性总是令人满意的，但一旦我们脱离多面体，即使参考风险度量是凸的，它通常也会失败。然而，如果一个人愿意专注于接近最优的投资组合，通常可以实现较低的半连续性。

除资本充足率外，我们的结果在定价、对冲和资本配置问题上有各种自然应用。关键词：资本充足率、风险度量、最优合格资产、下半连续性。数学学科分类：91B30，91B321简介本论文研究的是一类集值映射，它在数学金融的几个领域中发挥着自然而重要的作用。出于不确定性，我们介绍了我们的数学设置，重点是一个特定的应用领域，即资本充足率。与其他财务问题的联系如下图所示。监管机构要求金融机构持有充足的资本金，以保护负债持有人在发生严重未预期损失时免受违约风险的影响。机构发行的资本基础是否由监管资本充足率测试确定，监管资本充足率测试通常基于价值风险（巴塞尔协议2-3，偿付能力2）或预期缺口（Ba sel 4，瑞士偿付能力测试）。与此测试相关的是一个风险度量或资本要求规则，该规则确定了一个机构为了通过监管机构y测试而必须筹集的最低资本额。然而，这一最低数额将取决于一旦筹集资金后如何进行投资。因此，只有在规定了一组可接受的投资后，风险度量作为确定资本要求的规则才有意义。根据Artzner等人（1999）在总结论文中描述的原始框架，大部分关于风险度量的文献都是明确或隐含的，该募集资金以现金形式持有，或投资于单一预先指定的交易资产，使用Artzner等人（2009）的语言，我们称之为合格资产。

值得强调的是，只有在该金额实际投资于合格资产的情况下，筹集由风险度量确定的资本金额才能确保机构的可接受性。正如Artzner等人（2009年）和最近的Farkas等人（2015年）所指出的，将投资选择限制在单一合格资产上，而不是允许对多个有效资产组合进行投资是有效的，因为这通常会导致更高的资本要求。请注意，较低的资本要求并不意味着该机构的安全性较低。事实上，该机构继续满足相同的资本充足率标准。只是，如果允许更多的投资选择，就需要更少的资本来提高每个可接受性。从数学角度来看，资本充足率测试由资本头寸的接受集表示。在建模过程中，首先指定资本头寸空间X（通常为随机变量空间）。X的每个元素表示公司在预先指定的未来日期（时间1）的资本（资产减去负债）。从监管角度来看，可接受的资本头寸集合由合适的集合a表示 X，称为验收集。因此，资本状况为X的公司∈ 如果且仅当X属于A，则认为X资本充足。如果金融机构的资本状况不可接受，则管理层需要采取补救措施以达到可接受程度。本文考虑的补救措施是筹集新资本（时间为0），并将其投资于N个无摩擦和流动交易资产的投资组合S=（S，S），SN=（SN，SN），称为合格资产。对于任何i∈ {1, . . .

，N}数量Si∈ R表示时间0和Si时第i项资产的一个单位的价格∈ X表示同一资产的一个单位在时间1的支付。我们用M表示X的向量子空间，由上述payoffs跨越，即M=span（s，…，SN）。空间M被称为合格支付空间。M中的每个元素都可以被视为合格资产可计量组合的支付。如果一个价格定律成立，那么每个产生相同回报的投资组合都有相同的初始价格，那么可以定义一个定价函数π：M→ R通过设置π（Z）=NXi=1λiSi，对于任何λ∈ Rn使得Z=NXi=1λiSi。为通过规定的可接受性测试，需要筹集并投资于合格支付组合的最低资本金额由风险度量ρ：X表示→定义为ρ（X）=inf{π（Z）；Z∈ M、 X+Z∈ A} 。根据定义，数量ρ（X）可以作为资本要求进行自然的操作解释。Artzner等人（1999年）提出的风险措施构成了上述资本要求功能的原型，对应于最简单的管理行动形式，即筹集资本并将其投资于单一合格资产。据我们所知，多资产框架的扩展首先在F¨ollmer和Schied（2002）中讨论，随后在Fritelli和Scandolo（2006）Artzner etal中讨论。（20 09）和Farkas等人（2015）的更全面研究。最优合格报酬本文研究集值映射E:X=> 定义byE（X）={Z∈ MX+Z∈ A、 π（Z）=ρ（X）}。集合E（X）包括所有合格的支付，以确保以最低成本接受头寸X。地图E将被称为最优支付地图，E（X）中的每个支付都将被称为X的最优支付。

在本报告中，我们还从运营角度解决了以下关键的理论问题：o是否存在最佳回报。是否列出了合格资产的最佳回报？这相当于评估E是否不是空值最优薪酬的唯一性。如果存在最优薪酬，它们是唯一的还是管理层有多种选择？这相当于评估E是否将唯一薪酬与每个职位相关联最优收益的稳定性。如果存在多个最优收益，选择特定投资组合的稳健性如何？更具体地说，我们感兴趣的是：（1）评估在基础位置发生轻微扰动后，最优配置是否仍接近最优；（2）确保最优配置的精度随着基础位置的近似程度而增加。这相当于研究E的适当连续性性质：（1）对应于下半连续性，（2）对应于上半连续性接近最优支付的稳定性。如果最优回报的选择不稳健，我们能否通过放宽最优条件，并以略高于最优的成本考察合格资产组合的可接受性来增强稳健？这一问题具有实际意义，因为在应用中，人们会接受对偏离光学性的一定公差。如果没有回答上述问题，任何资本要求分析都是不完整的。从理论角度来看，如果不回答这些问题，就等于是在研究一个优化问题，只关注目标函数的最优值，而不关注解集的结构。

从实践的角度来看，找到这些问题的答案至关重要，因为要使资本制度有效运作，必须确保管理者知道他们可以采取哪些行动来满足资本要求，并且这些行动对于错误估计是稳健的。定价、套期保值和资本配置的应用上述问题与数学金融的其他各种领域相关。在不完全市场定价的背景下，其中元素X∈ X被解释为不可复制金融合同的支付，数量ρ(-十） =inf{π（Z）；Z∈ M、 Z- 十、∈ A} 可以自然地视为价格（从卖家的角度）。在这种情况下，acceptanceset A的元素表示可接受的复制错误。如果A是X的正元素集（providedX是部分订购的），那么我们可以获得标准的超级复制价格。如果A还包含非积极因素，因此impe-rfect superreplication可能是可接受的，那么我们将在可接受风险下的好交易定价框架内；参见Cochrane和Saa Re quejo（2000）、Carr等人（2001）和Jaschke andK¨uchler（2001）。这种定价方法最近在Madan和Cherny（2010）开发的二次曲线融资框架中再次受到关注。我们还参考了Arai和Fukasawa（2014）。本文研究的风险度量自然会在一系列与套期保值相关的风险最小化问题中产生一个lso。要看到这一点，让X是一个包含常数的随机变量空间，并假设X∈ X表示给定的未来风险敞口。

然后，可以将ρ重写为ρ（X）=inf{ρA（X- Z+π（Z））；Z∈ M} ，其中ρA:X→R是由ρA（X）=inf{m定义的简单（基于现金的）单一资产风险度量∈ RX+m∈ A} 。这表明ρ（X）可以解释为风险指数k的最低水平，由ρA衡量，在该水平下，我们可以通过建立合格资产组合来确保风险敞口X。还要注意ρ（X）=inf{ρA（X- Z）- π（Z）；Z∈ M} ，表明ρ可以表示为ρa和-π（通过设置π（X）=-∞ 无论何时X/∈ M） 。关于通过风险最小化进行套期保值的详细讨论以及在此背景下的错误卷积的作用，我们参考了B arrieu和El Karoui（2009年）及其参考文献。例如，Jouini等人（2008年）和Filipovi\'c和Svindland（2008年）研究了风险度量s的错误卷积。我们还参考了R¨uschendorf（2013）中的全面讨论。最后，我们强调ρ形式的泛函最近已在资本分配和系统风险的背景下进行了研究。在这种情况下，人们将X的元素解释为d维区域向量，其中组件代表d金融实体（不同的公司、单个公司的子公司、不同的办公桌）的资本头寸。类似地，M的元素被解释为d维随机向量，由合格的支付组成（原则上可以考虑合格资产的不同空间，包括不同的组成部分），π由各个定价函数的总和给出。在这些规范下，数量ρ（X）=inf（dXi=1πi（Zi）；（Z，…，Zd）∈ M、 （X+Z，…，Xd+Zd）∈ A） 代表必须在系统的各个实体之间以合法资产组合的形式筹集和分配的最小资本量，以确保可接受性。

Biagini等人（2015年）研究的系统性风险度量具有上述形式。Feinstein et al.（2017）在系统风险框架中引入的有效现金不变分配规则也与上述功能相关。Molchanov和Cascos（2016年）使用了多种多变量位置的接受集。Hamelet等人（2013年）处理了与基于预期短缺的独立可接受性相对应的特殊情况。Armenti等人（2017年）对多变量s-hortfall风险进行了深入研究。我们的贡献虽然风险度量本身的属性已经受到了详细的审查，但上述四个问题在风险度量文献中还没有得到系统的解决。在使用单变量头寸风险度量进行套期保值和资本配置的背景下，建立了各种结果，即最优支付的存在性（精确性）和唯一性；见Barrieu和El Karoui（20 09）及其参考文献。本文全面讨论了一般位置空间的存在性和唯一性，从而也包括了多元情况。然而，据我们所知，这篇论文最重要也是最新颖的贡献在于对稳定性这一关键问题的研究。这个问题构成了一个典型的非优化问题，更具体地说是在参数优化子领域；参见e.g.B ank et al.（1983）及其参考文献。

在这里，可以通过关注约束集映射f:X来描述问题=> 定义为f（X）={Z∈ MX+Z∈ A} 。风险度量ρ和最优支付图E可以用图F表示为ρ（X）=inf{π（Z）；Z∈ F（X）}和E（X）={Z∈ F（X）；π（Z）=ρ（X）}。因此，风险度量ρ对应于极值函数和最优支付映射E到最优集映射。最优集映射连续性性质的研究是参数优化中经常出现的一个主题，它被称为定性稳定性或摄动分析。众所周知，在稳定性或连续性的各种概念中，下半连续性的性质是最具挑战性的。不幸的是，事实证明（少数）关于下半连续性的标准结果都不能应用于我们的设置；se e备注5.8。然而，从财务角度来看，关键属性恰恰是下半连续性，因为它确保了基础头寸的小扰动不会导致最优投资组合结构的显著变化。为了解决稳定性问题，我们不得不开发各种新的结果，利用我们的最优集映射的特殊结构。本文的结构如下。在第2节中，我们将介绍底层模型空间并列出一些相关示例。在第3节中，我们讨论了最优支付映射的基本性质。第4节讨论了最优支付的存在性和唯一性问题。尤其是，位置4.2和推论4.4强调了存在与不存在（可扩展）好交易之间的联系。第5节专门讨论稳定性问题。在重点讨论了外半连续和上半连续之后，我们对下半连续的关键性质进行了全面的讨论。