负债情况下的财富分配。福克-普朗克的描述

TOSCANIOn集合（ε+∞) 我们有（3.18）ddtZ∞εf logfgdv=Z∞εlogfgv（vf）-fg公司v（vg）dv+Z∞εlogfgv[（v-1） f]-fg公司v[（v- 1） g]dv。使用恒等式f/g=（vf）/（vg），当v∈ (ε, +∞), 分部积分给出（参见[23]中命题25的证明）（3.19）Z+∞εlogvfvgv（vf）-vfvgv（vg）dv=logfgv（vf）-fg公司v（vg）+∞ε-Z+∞εvfvlogfgdv。如果f（v，t）对于某些δ>0的矩有2+δ阶界，则边界项的贡献很容易消失。实际上，给定p，q共轭指数，即1/p+1/q=1logfgv（vf）=fg公司1/qlogfgvgvf1/季度v（vf）≤ Cq（vg）1/qp（vf）1/pv.在前面的不等式中，我们定义CQ=supfg公司1/qlogfg,这是有界的，因为f/g≤ 1/α. 此外，通过H"older不等式，当p/q≤ δ/2ZR（vf）1/pdv=ZR（vf）1/p（1+v）1/q（1+v）-1/qdv≤ZRv（1+v）p/qf dv1/pZR（1+v）-1dv1/季度≤ C、 因此，一旦p/q≤ δ/2，光滑函数vg和（vf）1/pare可积，以及（3.20）limv→ ∞（vg）1/q（vf）1/pv= 类似的参数可以用来证明（3.21）limv→ ∞fg公司v（vg）=0。在另一个极值点上，选择p=q=2给出logfgv（vf）≤ 2C（vg）1/2（vf1/2）v= 2Cvg1/2v一层/二层v+f1/2！.然后，考虑到f和g都是光滑的，f1/2∈ L（R），一个获得（3.22）limv→ 0（vg）1/2（vf）1/2v= 0、债务存在时的财富分配。A福克-普朗克D描述15和（3.23）limv→ 0fgv（vg）=0。现在让我们考虑（3.18）中的第二个积分。

首先在区间上按部分积分（ε，1- ε） ，并使用恒等式f/g=（v- 1） f/[（v- 1） g]我们得到（3.24）Z1-εεlogfgv[（v- 1） f]-fg公司v[（v- 1） g]dv=logfg（v- 1） f级- （五）- 1） f级1.-εε=fglogfg（v- 1） g级- （五）- 1） f。1.-εε因此，因为数量（f/g）log（f/g）从上到下一致有界imv→ 1.fglogfg（v- 1） g级- （五）- 1） f级= 0、此外，sincelimv→ 0f（v）g（v）=α，我们得到LimV→ 0对数f（v）g（v）（v）- 1） f（v）- （五）- 1） f（v）= f（0）（1+对数α）。这意味着logfgv[（v- 1） f]-fg公司v[（v- 1） g]dv=-f（0）（1+logα）相似计算+∞logfgv[（v- 1） f]-fg公司v[（v- 1） g]dv=0。对不同的片段进行分组，我们得出结论：Jensen–Shannon熵Hα（f（t），f∞) 在时间上是非递增的。我们证明了OREM 11。设f（v）是满足（2.21）的R中的光滑概率密度，并且当δ>0时，其高达2+δ的力矩是有限的。然后，对于任何0<α<1，Jensen–Shannon熵Hα（f（t），f∞) 福克-普朗克方程（1.2）的解相对于平衡解是单调非递增的，下面的衰减保持（3.25）Hα（f（t），f∞) = Hα（f，f∞) -Ztf（0，s）ds-ZtZ+∞vf（v，s）vlogf（v，s）g（v，s）dv ds。3.4. 海林格距离的单调性。第二个有趣的函数是海林格距离，它沿着福克-普朗克型方程的解单调递减。对于r上定义的任何给定概率密度对f和h，海林格距离dH（f，h）为[38]（3.26）dH（f，h）=锆pf（v）-ph（v）dv.16 M.TORREGROSSA和G。

Toscanin如下，与（3.17）中定义的Jensen-Shannon熵的定义类似，我们将定义，对于0<α<1，f和h的α-Hellinger距离为（3.27）dH，α（f，h）=ZRpf（v）-pαf（v）+（1- α） h（v）我们将研究福克-普朗克方程（1.2）的解f（v，t）和平衡态密度f之间的α-海林格距离平方的时间演化∞（v） ，即f（v，t）和g（v，t）之间的海林格距离的平方）=αf（v，t）+（1- α） f级∞（v） 。如第3.3节所述，我们将假设初始密度f（v）（以及相应的解f（v，t））是光滑的，并且有足够的有界矩。此外，由于后面的大多数计算与第3.3节的计算类似，我们将仅概述差异。为了计算α-海林格距离s平方的演化，我们首先要注意Z-∞pf（v）-pαf（v）+（1- α） f级∞（五）dv=1.-√αZ-∞f（v，t）dv。因此，根据（2.23），负半直线中的质量不能增加，并且（1-√α） >0，α-Hellinger距离相对于域v的平方部分≤ 0在时间上是非递增的。在集合上（ε+∞) 我们有（3.28）ddtZ∞ε（pf-√g） dv=Z∞ε1.-rgf公司v（vf）+1-sfg！v（vg）dv+Z∞ε1.-rgf公司v[（v- 1） f]+1-sfg！v[（v- 1） g]dv。使用恒等式f/g=（vf）/（vg），当v∈ (ε, +∞), 分部积分给出（参见[23]中命题25的证明）（3.29）Z+∞ε1.-svgvf！v（vf）+1-svfvg！v（vg）dv=1.-svgvf！v（vf）+1-svfvg！v（vg）+∞ε-Z+∞εvpfgvlogfgdv。与Jensen-Shannon熵单调性的证明一样，如果f（v，t）对于某些δ>0具有3+δ阶有界的动量，则（3.29）中的边界项在单位处的贡献很容易消失。

实际上，按照第3.3节的pro选择p=q=2就足够了。在另一个极值点上，考虑到f和g都是光滑的，并且f1/2∈ L（R），一个获得（3.30）limv→ 0（vg）1/2（vf）1/2v= 0、债务存在时的财富分配。福克-普朗克描述17，由于f/g有界，（3.31）limv→ 0sfgv（vg）=0。现在让我们考虑（3.28）中的第二个积分。首先在区间上按部分积分（ε，1- ε） ，并使用恒等式f/g=（v- 1） f/[（v- 1） g]我们得到（3.32）Z1-εε1.-rgf公司v[（v- 1） f]+1-sfg！v[（v- 1） g]dv=（五）- 1） （f+g）- 2（v）- 1） pfg公司1.-εε.亨塞利姆夫→ 1.（五）- 1） （f+g）- 2（v）- 1） pfg公司= 0，andlimv→ 0（五）- 1） （f+g）- 2（v）-1） pfg公司= -f（0）1.-√α.这意味着（五）- 1） （f+g）- 2（v）- 1） pfg公司dv=f（0）1.-√α.然后给出类似的计算+∞（五）- 1） （f+g）- 2（v）- 1） pfg公司dv=0。将不同的片段分组，我们得出结论，α-海林格距离的平方在时间上是不递增的。我们有定理12。设f（v）是R满足g（2.21）中的光滑概率密度，因此当δ>0时，其高达3+δ的矩是有限的。然后，对于任何0<α<1，α-Hellin-ger距离dH，α（f（t），f∞) 在福克-普朗克方程（1.2）的解和平衡解之间，通常是非递增的，下面的衰变保持（3.33）dH，α（f（t），f∞) = dH，α（f，f∞)-ZtZ+∞vpf（v，s）g（v，s）vlogf（v，s）g（v，s）dv ds。请注意，与Jensen–Shannon熵不同，v=0点的解的行为不会进入熵产生的表达式。正如我们将在下一节中看到的那样，海林格距离的单调性可以与詹森-香农熵的单调性相结合，以获得衰减，而α-海林格距离的速率不为零。3.5. α-Hellinger距离的衰减。

一般来说，很难获得詹森-香农熵熵熵产生的精确下界。主要障碍在于，与[35]中处理的情况不同，初始值的支持与稳态的支持相一致，这里没有将定理11中的相对熵产生（3.25）与海林格距离（3.27）联系起来的切尔诺夫型不等式[15、28、23]（参见[26、23]）。尽管如此，我们仍然可以借助18 M.TORREGROSSA和G.TOSCANIto Cherno fff不等式来获得α-Hellinger距离的收敛结果。感谢他们的身份（3.34）fvlogfg= fg级vg公司-fvf=(1 - α） αgg级vg公司-f∞vf∞f∞fg，上界f=α·αf≤αg，Jensen-Shannon熵的熵产生的积分部分可以限定为（3.35）Z∞vf（v，s）vlogf（v，s）g（v，s）dv=（1- α） αZ∞vg（v，s）vlogg（v，s）f∞（五）f∞（v） f（v，s）g（v，s）dv≥(1 - α） αZ∞vg（v，s）vlogg（v，s）f∞（五）f∞（v） g（v，s）dv=（1- α） αZ∞vf∞（v） “”vsg（v，s）f∞（五）#f∞（v） g（v，s）dv=（1- α） αZ∞vf∞（v） “”vsf公司∞（v） g（v，s）#dv。关于（3.35）中的最后一个等式，我们参考[23，26]。我们现在可以应用Chernoff不等式和权重，其形式如【23】所示。定理13（【23】）。设X是密度为f的随机变量∞（v） ，v∈ 我 R、 其中概率密度函数f∞满足差异平等（3.36）v（κ（v）f∞) + （五）- m） f级∞= 0，v∈ 一、 如果函数φ在I上是绝对连续的，且φ（X）具有一定的方差，则（3.37）V ar[φ（X）]≤ Eκ（X）[φ′（X）]等式当且仅当φ（X）在X中是线性的。我们应用定理13，I=R+，κ（v）=σ/（2λ）v，密度f∞（v） ，这是指（3.36）在R+中保持不变。此外φ（v）=sf∞（v） g（v）。债务存在时的财富分配。

A福克-普朗克D描述19By（3.37）（3.38）Z∞κ（v）f∞（v） “”vsf公司∞（v） g（v，s）#dv≥Z∞“sf∞（v） g（v，s）-Z∞旧金山∞（w） g（w，s）f∞（w） dw#f∞（v） dv=kh（s）kL“1-Z∞q'h（v，s）f∞（五）#.在（3.38）中，我们定义了（3.39）h（v，s）=f∞（v） g（v，s）和'h（v，s）'h（v，s）=h（v，s）kh（s）kL给出的R+上的概率密度。请注意，由于定义f∞（v） /克（v，s）≤ 1/(1 -α） ，通过Cauchy–Schwartz不等式1=Z∞f∞（v） dv=Z∞f∞（v） pg（v，s）pg（v，s）dv≤ kh（s）k1/2LZ∞g（v，s）dv1/2，适用于所有s≥ 0它保持（3.41）1≤ kh（s）kL≤1.- α.另一方面，如[26]所证明的，对于任何给定的概率密度对f，g（3.42）1-Z∞pf（v）g（v）dv≥dH（f，g）。总之，我们得出，在R+上，Jensen–Shannon entropysatis的熵产生为下限（3.43）Z∞vf（v，s）vlogf（v，s）g（v，s）dv≥ασ4(1 - α） λdH（h（s），kh（s）kLf∞（s） ）。注意，在（3.43）中，系数与时间无关。代入（3.25），（3.43）意味着Z∞dH（h（s），kh（s）kLf∞（s） ）ds≤ασ2(1 - α） λHα（f，f∞).因此，s方程{dH（h（t），kh（t）kLf∞（t） ）}t≥0包含一个子序列{dH（h（tn），kh（tn）kLf∞（tn））}n≥0这样，作为n→ ∞, 田纳西州→ ∞, 和（3.44）limn→∞dH（h（tn）、kh（tn）kLf∞) = 0.20 M.TORREGROSSA和G.TOSCANINow，考虑对于任何给定的非负L-函数p（v）和q（v），v∈ R它容纳（3.45）ZR | p（v）- q（v）| dv=ZRpp（v）-pq（v）·pp（v）+pq（v）dv≤锆pp（v）-pq（v）dv1/2·锆pp（v）+pq（v）dv1/2≤dH（p，q）ZR（p（v）+q（v））dv1/2=√2 dH（p，q）（kpkL+kqkL）1/2。因此，使用（3.41）我们得到Zr | h（tn）- kh（tn）kLf∞| dv≤1.- αdH（h（tn），kh（tn）kLf∞),即序列{h（tn）的L-收敛到零- kh（tn）kLf∞}n≥这意味着我们可以从上面的时间序列中提取一个子序列，仍然用tn表示，例如在这个子序列上（v，tn）- kh（tn）kLf∞（五）→ R+中的0 a.s。自f起∞（v） >0，v∈ R+，它保持SF∞（v） kh（tn）kLg（v，tn）→ R+中的1 a.s.或，samef是多少∞（v） kh（tn）吉隆坡- g（v，tn）→ 0 a.s。

在R+。在R+上积分，并通过定理10Z回顾∞g（v，tn）dv→Z∞f∞（v） dv=1，表示（3.46）limn→∞kh（tn）kL→ （3.44）和（3.46）的有效性意味着（3.47）limn→∞dH（h（tn），f∞) = 确实（3.48）dH（h（tn），f∞)= dH（h（tn）、kh（tn）kLf∞)+1.- kh（tn）kL+2kh（tn）kLf∞)1/2- 1.Z∞phf公司∞dv，andZ∞phf公司∞dv=Z∞旧金山∞g（tn）f∞dv≤√1.- α、 最后，考虑（3.49）dH（h（tn），f∞)=Z∞f∞pg（tn）-pf公司∞!dv=Z∞f∞g（tn）pg（tn）-pf公司∞dv≥Z{f∞≥g（tn）}pg（tn）-pf公司∞dv。债务存在时的财富分配。A福克-普朗克描述21由于（3.45），我们从（3.49）中获得（3.50）dH（h（tn），f∞) ≥Z{f∞≥g（tn）}（f∞- g（tn））dv。考虑到f和∞g（tn）是概率密度函数，它保持（3.51）Z{f∞≥g（tn）}（f∞- g（tn））dv=kg（tn）- f∞吉隆坡。此外，因为对于a>b>0（a- （b）≤ 一- b、 很容易得到不等式（3.52）dH（g（tn），f∞)≤ 千克（tn）- f∞吉隆坡。将所有这些不等式分组，我们最终得到（3.53）dH（h（tn），f∞) ≥千克（tn）- f∞吉隆坡≥dH（g（tn），f∞).因此，沿着子序列{tn}n≥0（3.54）limn→∞dH（g（tn），f∞) = 画→∞dH，α（f（tn），f∞) = 然而，根据定理12，序列dH，α（f（t），f∞), t型≥ 0是单调非递增的。这意味着随着时间的推移，整个序列收敛到零。定理14。设f（v）是R中满足（2.21）的光滑概率密度，并且当δ>0时，其高达3+δ的力矩是有限的。然后，对于0<α<1，福克-普朗克方程（1.2）的解收敛到平衡密度f∞在α-Hellingerdistance中。定理14具有重要的后果。

首先，鉴于不平等- gkL公司≤ 2dH（f，g），对于任何一对概率密度f，g，我们得到，对于0<α<1（1- α） ZR | f（v）- g（v）| dv=ZR | f- （αf（v）+（1- α） g（v））| dv≤ dH，α（f，g）。因此，在定理14的相同条件下，α-海林格距离收敛到零意味着福克-普朗克方程（1.2）的解向平衡密度的L-收敛。此外，如文献[35]引理3.3所证明的，只要收敛限制在L.推论15，初值的光滑性条件就可以放弃。设f（v）是满足（2.21）的R中的概率密度，并且当δ>0时，其高达3+δ的矩是有限的。然后，福克-普朗克方程（1.2）的解收敛到平衡密度f∞在L.22 M.TORREGROSSA和G.TOSCANI4。结论本文研究的福克-普朗克方程（1.2）是一个有用且一致的模型，用于研究人口财富分布的时间演化，即使在部分代理人可能负债的现实情况下也是如此。如果人口的总平均财富为正，则表明正财富半线中支持的唯一平衡密度仍然吸引着任何密度，部分质量位于负半线上。与文献[35]中研究的情况不同，在L-范数中显示了对平衡密度的收敛，这里，仅根据基于傅立叶的度量（相当于弱*-措施的趋同。对相对熵泛函（Jensen–Shannon熵[30]和α-Hellinger距离）的时间演化进行了大量研究，结果表明，这些泛函在时间上是单调无增量的，并且可以耦合以在α-Hellinger距离内无速度收敛，从而在L。

一个仍然悬而未决的挑战性问题是能够确定解相对于L-范数的衰减速度。致谢这项工作是在INdAM（国家高等数学研究所）国家数学物理小组（GNFM）的活动范围内完成的，部分得到了2015年PA5MP7“变分法”MIUR-PRIN赠款的支持。参考文献【1】A.Arnold、P.Markowich、G.Toscani和A.Unterrieter，关于Fokker-Planck型方程的凸Sobolev不等式和平衡收敛速度，Common。部分差异。方程式。，26: 43–100, 2001.[2] L.Baringhaus和R.Grübel，关于随机凸组合的一类特征化问题，Ann。仪器统计员。数学49: 555–567, 1997.[3] F.Bassetti和E.Perversi，Kaclike动力学方程在Wasserstein met rics中收敛到Equalibrium的速度，电子。J、 概率。，18: 1–35, 2013.[4] F.Bass etti、L.Ladelli和D.Matthes，一类一维链式方程的中心极限定理，Probab。理论关系。字段，150:77–109，2011年。[5] F.Bassetti和G.Toscani，《赌博动力学模型中的显式平衡》，Phys。修订版。E，81:0661152010。[6] F.Bassetti和G.Toscani，《社会经济相互作用双线性动力学模型中的显式平衡》，ESAIM：Proc。《调查》，47:1-16，2014年。[7] M.Bisi，市场经济的一些动力学模型。Unione垫。Ital。，10: 143"U-158, 2017.[8] M.Bisi、G.Spiga、a和G.Toscani，《具有财富再分配公社的保守经济的动力学模型》。数学Sci。，7: 901–916, 2009.[9] J.F.Bouchaud和M.Mézard，《简单经济物理模型中的财富凝聚》，a，282:536–5452000。[10] M.J.Cáceres和G.Toscani，《线性化快速微分方程长时间行为的动力学方法》，J.Statist。物理。，128: 883–925, 2007.债务存在时的财富分配。

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