再保险网络中的最优风险分配

单个风险度量值为风险值，π为Lipschitz，常数为1。当所有保险公司用风险价值衡量其留存风险时，我们从定理4.3中了解到，它有助于找到有限维优化问题的最优解（a，…，an）（minnxi=1ai+πnXi=1min{（Xi- ai）+，V aRαi（Xi）- 哎}！s、 t.0≤ 人工智能≤ V aRαi（Xi），i=1，n、 （5.2）为了获得最优保险协议，fi（x）=min{（x- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}，i=1，n、 以下命题表明，可以独立于特定的copula和边际分布X=（X，…，Xn）以及再保险公司使用的特定保费原则，获得一般解。提案5.1。如果所有保险公司都使用风险价值和π满意度（A1），并且是常数为1的Lipschitz，则（4.5）的最优解为（a，…，an）=（0，…，0），因此再保险处理fi（x）=min{x，V aRαi（Xi）}，i=1，是（3.3）的最优解。证据让我们用q（a，…，an）=nXi=1ai+π来表示目标函数nXi=1min{（Xi- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}.我们证明了Q是增加的，这意味着断言。首先，注意函数min{（x-ai）+，V aRαi（Xi）- ai}在aifor all x中减少∈ [0, ∞), i=1，n、 由于前提π满足（A1），q（a，…，an）：=πnXi=1min{（Xi- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}是递减函数。现在让0≤ a=（a，…，an）≤ （b，…，bn）=b分量。用k·k表示上确界范数，用k·k表示L-范数。我们有Q（a，…，an）≤ Q（b，…，bn）<=> q（a，…，an）- q（b，…，bn）≤nXi=1bi- 人工智能<=> |q（a，…，an）- q（b，…，bn）|≤ kb- ak，（5.3），其中最后一个等效值保持不变，因为q是递减的≤ b、 因此，有必要显示（5.3）。让我∈ {1，…，n}是任意的。

对于x≥ V aRαi（Xi）它保持0≤ 最小{（x- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}- 最小{（x- bi）+，V aRαi（Xi）- bi}=V aRαi（Xi）- 人工智能- V aRαi（Xi）+bi=bi- ai（5.4）和x<V aRαi（Xi）0≤ 最小{（x- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}- 最小{（x- bi）+，V aRαi（Xi）- bi}=x个- 人工智能- x+bi=bi- ai，bi≤ xx号- 人工智能- 0≤ bi公司- 哎，哎≤ x<bi0- 0≤ bi公司- ai，x<ai。（5.5）14 N.B–AUERLE和A.GLAUNERIt遵循| q（A，…，an）- q（b，…，bn）|≤nXi=1min{（Xi- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}- 最小{（Xi）- bi）+，V aRαi（Xi）- bi}≤nXi=1kmin{（Xi- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}- 最小{（Xi）- bi）+，V aRαi（Xi）- bi}k≤nXi=1bi- ai=kb- ak，正好是（5.3）。第一个不等式是由π的Lipschitz连续性引起的，第二个是由三角不等式引起的，最后一个是由（5.4）、（5.5）引起的。注意，每个单调和平移不变的保费原则都是常数为1的Lipschitz。定理5.1意味着社会最优与个人最优相一致。5.5. 事情不同的情况。在如此多的例子表明社会最优值与个人最优值一致之后，人们可能会想，如果不是这样的话，例子会是什么样子。因为我们想从分析的角度讨论这种情况，而不仅仅是从数值的角度，所以我们会做出一些假设来简化模型。提案5.2。假设ρ=…=ρn=ρ，ρ为正齐次和共单调可加，π为正齐次和次可加，X，Xnare具有相同的分布和对称的copula。然后，每当最优再保险协议f*, . . . , f*n∈ C存在，存在对称解f*= . . . = f*n=f*.证据让我们表示f的目标函数，fn公司∈ C byQ（f，…，fn）=nXi=1ρiRfi（Xi）+ πnXi=1fi（Xi）！假设（f*, . . . , f*n） 是最佳解决方案。我们将显示（f*, . . .

f*) withf公司*（x） ：=nPni=1f*i（x）也是最优的。首先，不难看出，由于我们的假设，Q是对称的，即Q（f，…，fn）=Q（fσ（1），fσ（n）），其中σ是数字1，…，的任何置换，n、 因此，我们得到了π的正齐次可加性和ρthatQ（f）的正齐次可加性和共单调可加性*, . . . , f*n） =n！XσQ（f*σ(1), . . . , f*σ（n））=n！Xσρ（X- f*σ（1）（X））+…+ρ（Xn- f*σ（n）（Xn））+π（f*σ（1）（X）+…+f*σ（n）（Xn））=Xσρ（n！X）-nf*σ（1）（X））+…+ρ（n！Xn）-nf*σ（n）（Xn））+π（n！f*σ（1）（X）++nf*σ（n）（Xn））≥ ρ十、-nXσf*σ（1）（X）+ . . . + ρXn公司-nXσf*σ（n）（Xn）再保险网络中的最优风险分配15+πnXσf*σ（1）（X）++nXσf*σ（n）（Xn）= ρ十、- f*（十）+ . . . + ρXn公司- f*（Xn）+ πf*（十） +…+f*（Xn）= Q（f*, . . . , f*).因此，使用f*对于所有保险公司来说，再保险协议也是最优的。为了证明社会和个人的最佳状态是如何不同的，我们考虑了相同分布的二元风险，例如定期人寿保险。由于ρ和π的正均质性，我们可以假设所有保险公司的伯努利分布。描述此类风险依赖结构的标准方法是伯努利混合模型：我们假设单个风险可以分解为一个共同的经济（或系统）风险因素z∈ （0，1）和独立的特质成分，即letX，Xn | ZID~ 箱子（1，Z）。作为风险度量，对于i=1，…，我们采用ρi=V aRα，n和一大类Wang保费原则π（X）=（1+θ）Z中的任意保费原则∞g（SX（x））dx，具有凹畸变函数g。它保持sv aRα（Xi）=（1，α<E[Z]0，α≥ E[Z]对于i=1，n、 排除一般情况，我们假设α<E[Z]。我们的示例完全符合命题5.2的假设。因此，有必要考虑最优再保险问题的对称解（3.3）。

根据定理4.3，我们必须解出min na+πnXi=1min{（Xi- a） +，1- a} 哦！使0≤ 一≤ 1、设置N=Pni=1Xi。很容易看出P（N=k）=nk公司Rzk（1- z） n个-kdFZ（z）=：pn，k。显式计算保费原则，得出πnXi=1min{（Xi- a） +，1- a} ！=(1 - a） πnXi=1Xi！=(1 - a） （1+θ）Z∞g（SN（x））dx=（1- a） （1+θ）nXk=1gnXj=kpn，j因此，如果1>（1+θ）nnXk=1g，则完全放弃所有风险是社会最优的nXj=kpn，j另外，不购买再保险。考虑到单个最优值（n=1），一个获得相应的割让条件1>（1+θ）g（p1,1）=（1+θ）g（E[Z]）。16 N.B–AUERLE和A.Glauersion g是凹的，我们有nNxk=1gnXj=kpn，j≤ g级nnXk=1nXj=kpn，j（5.6）=g新西兰∞SN（x）dx= g级东北[北]= g（E[Z]）。无论何时（5.6）是严格的，都可能发生这样的情况，即一个理性的个体保险人保留全部风险，即使社会最优的割让。参考文献【1】Albrecher，H.、J.Beirlant和J.L.Teugels。再保险：精算和统计方面，约翰·威利父子公司，奇切斯特，2017年。[2] Arrow，K.《不确定性与医疗福利经济学》。《美国经济评论》，53（5），941973，1963。[3] Asimit、A.V.、A.M.Badescu和A.Tsanakas。保险集团的最佳风险转移。《欧洲精算杂志》第3（1）期，第159-190页，2013年。[4] Boonen、T.J.、K.S.Tan和C.Zhuang。最佳再保险保险中代表性再保险人的作用：数学与经济学70196-2042016。[5] 确定最佳止损再保险金额的尝试。《第16届国际精算师大会交易》，1597-610，1960年。[6] Balb\'as、A.、B.Balb\'as和A.Heras。具有一般风险度量的最优再保险。保险：MathematicsandEconomics 44（3），374-3842009。[7] B？auerle，N.和A？M？uller。随机顺序和风险度量：一致性和界。

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