再保险网络中的最优风险分配

据我们所知，POD甚至是最小的PDS超类。我们需要下面的定理。定理2.11。设X=（X，…，Xn）和Y=（Y，…，Yn）是具有公共PDS copula C的两个随机向量。然后是Xi≤icxYi，i=1，n意味着PNI=1Xi≤icxPni=1Yi。证据根据命题2.4 b）存在随机变量zi，因此Xi≤stZi公司≤Cxyi对于i=1，n、 设它们为随机向量Z=（Z，…，Zn）与copulaC的边值。从定理2.9可以得出Pni=1Xi≤stPni=1Zi，根据[13]中的推论3.5，得出pni=1Zi≤cxPni=1Yi。因此，命题2.4b）再次得出了该陈述。常见的PDS copula是获得此结果的最温和的假设。下一个示例表明，削弱POD的依赖性概念是不可能的。这是[19]中示例4.7的简化版本，他们在略有不同的上下文中使用了它。例2.12。设n=2。我们通过离散密度（Y=Y，Y=Y）Y=0 Y=1 Y=3 Y=4y=0y=1确定随机向量Y=（Y，Y）的分布。很容易检查Y是否为POD。然而，它不是PDS sinceP（Y>0 | Y=1）=1>0=P（Y>0 | Y=3）。让我们用f（0）=0，f（1）=f（3）=2，f（4）=4和setX=（Y，f（Y））定义一个递增函数f。那么，X和Y具有相同的copula，参见推论2.7。此外，根据命题2.4 c），Xi≤icxYi，i=1，2，但Y+Y≤icxX+X.3。优化问题我们考虑一个经济体，有n家保险公司，连续编号为i=1，n、 还有一家再保险公司。【4】中的研究证明了单一再保险人的合理性。假设保险人i承担由非负随机变量Xi建模的总风险∈ 五十、 这些风险被解释为在固定期限结束时，根据各自保险公司出售的保单提出的保险索赔而产生的贴现损失。

请注意，这些风险不一定是独立的。每个保险公司都使用平移不变性和正均质性风险度量ρi评估其风险，稍后将具体说明。为了减少自行承担的风险，保险公司i可以将一部分（Xi）让与再保险人。保留风险由Rfi（Xi）=Xi给出- fi（Xi）。我们假设N.B–AUERLE和A.GLAUNERthat f，fn：R+→ R+在增加，而fi（x）≤ x代表所有x∈ R+和所有i=1，n、 此外，为了排除道德风险，留存损失函数Rf，Rfn：R+→ 假设R+也在增加。我们通过c={f:R来定义容许的让渡损失函数集+→ R+| f（x）≤ x个x个∈ R+和f，rf都在增加}。注意，C中的函数尤其是Lipschitz连续函数，因为Rfincreasing导致tof（x）- f（x）≤ x个- 所有0的X≤ x个≤ x、 考虑到所有分出的风险，再保险人按照保费原则π：L对其进行定价→考虑个人风险的依赖结构。然后，再保险人根据合理的分配规则确定每个保险人应支付的金额。定义3.1。对于给定的保费原则π和总让渡风险Y，线性泛函ψπ（·，Y）：L→ψπ（Y，Y）=π（Y）的R称为保费分配规则。也就是说，保险人i必须支付再保险费ψπfi（Xi），Pnj=1fj（Xj）. 设置如图1所示。XXX RIXXX图1。具有一个再保险人和n个保险人的经济中的最优再保险问题。保险人i将fi（Xi）的原始风险Xi转让给fi（Xi）。我们对宏观经济最优的风险分配感兴趣，即使所有保险公司的总资本要求最小化。保险公司的偿付能力（或风险）资本可防止因重大意外损失而破产。

鉴于所有资本要求都代表了所承担的风险，这样的最佳配置可以被视为金融稳定方面的理想经济状态。Ximodelsinsurer i因保险索赔而产生的贴现损失，固定期限结束时再保险后的贴现净损失由留存损失减去保险人在该期间的保费收入πi（Xi）加上再保险成本和资本成本得出：Lossi=Rfi（Xi）- πi（Xi）+ψπfi（Xi），nXj=1fj（Xj）+ rCoC·ρi（Lossi）。（3.1）资本成本定义为一些资本成本率Rc乘以资本要求ρi（Lossi）。我们为所有保险公司假设统一的资本成本率RCoC。净损失的简要描述（3.1）可追溯到【18】。应用ρ离子两面性，利用平移不变性和正同质性，得出保险人的资本要求ρi（Lossi）=1- rCoC公司ρiRfi（Xi）- πi（Xi）+ψπfi（Xi），nXj=1fj（Xj）.因此，最小化目标为：sminnxi=1ρi（Lossi）s.t.f，fn公司∈ C、 （3.2）再保险网络中的最优风险分配7作为目标函数的严格单调变换，有必要考虑留存风险的资本要求加上总再保险保费的总和xi=1ρiRfi（Xi）+ ψπfi（Xi），nXj=1fj（Xj）=nXi=1ρiRfi（Xi）+ πnXi=1fi（Xi）！。因此，我们将研究最优再保险问题minnxi=1ρiRfi（Xi）+ πnXi=1fi（Xi）！s、 t.f，fn公司∈ C、 （3.3）在下文中，我们假设保险公司使用风险范围值作为风险度量，即对于i=1，n它保持ρi=RV aRαi，βi，其中αi，βi≥ 0使得0<αi+βi≤ 1、作为金融业中使用最广泛的两个风险度量指标，作为风险价值和预期缺口的超类，风险价值区间是获得涵盖大多数实际相关情况的结果的自然选择。

请注意，我们要求参数之和绝对为正，以避免出现有限资本要求的情况。4、有限维优化问题的简化4.1。案例1：保险公司使用风险价值。在本节中，我们考虑所有保险公司使用风险价值的特殊情况，即β=···=βn=0。让ρi=V aRαi和αi∈ （0，1）.此外，对于再保险人的保费原则，我们假设（A1）：再保险人的保费原则与通常的随机顺序一致，即π（X）≤ π（Y）每当X≤X、Y的stY∈ 五十、 为了将（3.3）降低到有限的维度，以下类别的再保险协议（即分保损失函数）起着关键作用。定义4.1。函数f:R+→ R+给定byf（x）=min{（x- a） +，b}=（x- （a）+- （十）- （a+b））+，a，b≥ 0被称为具有免赔额a和上限b的分层再保险协议。在退化情况下b=∞f（x）=（x- a） +被称为停止损失再保险协议。请注意，所有这些功能都属于C。从经济上讲，分层再保险意味着该保险人涵盖了所有超过免赔额的损失，但将其责任限制在最大b。如何将（3.3）降低到有限维度，是构建分层再保险，其至少与给定的、任意分保的损失功能有关的目标函数值。对于每个保险人，i=1，n设一个让渡损失函数fi∈ C给出并定义hfi:R+→ R+byhfi（x）=明尼苏达州x个-V aRαi（Xi）- fi（V aRαi（Xi））+, fi（V aRαi（Xi））o.（4.1）这些是具有免赔额的分层再保险协议V aRαi（Xi）- fi（V aRαi（Xi））上界fi（V aRαi（Xi））。它持有hfi∈ C表示i=1，n、 提案4.2。假设（A1）并设f，fn公司∈ C可以是任意放弃的损失函数。ThennXi=1V aRαiRhfi（Xi）+ πnXi=1hfi（Xi）≤nXi=1V aRαiRfi（Xi）+ πnXi=1fi（Xi）.8 N.B–AUERLE和A.GLAUNERProof。让我∈ {1，…，n}是任意的。

通过插入，我们得到hfi（V aRαi（Xi））=fi（V aRαi（Xi））。函数hfi、fiare在C中，因此Rhfi、RFI是递增和连续的。因此，V aRαi的性质（见命题2.2）意味着V aRαiRhfi（Xi）= RhfiV aRαi（Xi）= V aRαi（Xi）- hfi公司V aRαi（Xi）= V aRαi（Xi）- 金融机构V aRαi（Xi）= RfiV aRαi（Xi）= V aRαiRfi（Xi）. （4.2）现在，我们显示hfi（x）≤ 所有x的fi（x）∈ R+。由于RFI增加，所有x≤V aRαi（Xi）thatfiV aRαi（Xi）- fi（x）≤ V aRαi（Xi）- x、 重新安排和使用该fi≥ 0 givesfi（x）≥x个- V aRαi（Xi）+fiV aRαi（Xi）+= hfi（x），其中等式因x而成立≤ V aRαi（Xi）。对于x≥ V aRαi（Xi）我们有hfi（x）=fiV aRαi（Xi）≤ fi（x），因为fi在增加。因此，我们显示了hfi（x）≤ 所有x的fi（x）∈ R+表示HFI（Xi）≤stfi（Xi）。（4.3）由于我是任意的，定理2.9 yieldsnXi=1hfi（Xi）≤stnXi=1fi（Xi）。由（A1）得出πnXi=1hfi（Xi）≤ πnXi=1fi（Xi）. （4.4）（4.2）和（4.4）共同得出该主张。定理4.3。让所有保险公司使用参数α，…，的风险价值，αnand假设（A1）。无论其各自风险X…之间的依赖结构如何，xn最优再保险问题（3.3）与有限维问题minnxi=1ai+π具有相同的最优值nXi=1min{（Xi- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}s、 t.0≤ 人工智能≤ V aRαi（Xi），i、 （4.5）此外，如果，是（4.5）thenfi（x）=min{（x）的最优解- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}，i=1，nis是（3.3）的最佳解决方案。证据让我∈ {1，…，n}，ai≤ V aRαi（Xi）和fi（x）=min{（x- ai）+，V aRαi（Xi）- ai}。然后是fi∈ C和自V aRαiRfi（Xi）= RfiV aRαi（Xi）= A（3.3）中的目标函数减少到（4.5）。因此，（4.5）的最小值至少与（3.3）的值一样大。另一方面，命题4.2得出（3.3）的最小值至少与（4.5）的最小值一样大。

因此，最优值相等，下面的语句如下。再保险网络中的最优风险分配9备注4.4。注意，在定理4.3的设置中，当π是Lipschitz连续w.r.t.上确界范数时，总是存在最优解。这是因为目标函数是Lipschitz连续的w.r.t.任何RN范数，并且在紧集上最小化。因子λ>0的存在使得λπ变为平移不变，这是π的Lipschitz连续性的一个有效条件。此外，注意作为π参数的随机变量是有界的。4.2. 案例2：保险公司使用一般风险范围值。本节介绍了至少一家保险公司使用带正参数β的风险范围值时的一般情况。因此，有一个l∈ {1，…，n}使得ρi=RV aRαi，βi，βi>0，i=1，lρi=RV aRαi，βi=V aRαi，βi=0，i=l+1，n、 在这种情况下，我们需要更有力的假设，尤其是关于单个风险的依赖结构的假设。如果这些风险表现出某种负相关性，那么显然最好将这些风险集中在再保险人的投资组合中。更有趣、更现实的是某种积极依赖的情况。例如，它是自然灾害的结果。这里我们假设（A2）：再保险人的保费原则与递增凸阶一致，即π（X）≤ π（Y）每当X≤X、Y的icxY∈ 五十、 （A3）：随机向量X：=（X，…，Xn）有一个PDS copula。让f，fn公司∈ C被赋予承保人的让渡损失职能。对于所有i=1，定义分层再保险协议kfi:R+→ R+，kfi（x）=明尼苏达州x个-V aRαi+βi（Xi）- fi（V aRαi+βi（Xi））+, Mio，（4.6），其中Mi∈ [选择fi（V aRαi+βi（Xi）），fi（V aRαi（Xi））]以使RV aRαi，βi（fi（Xi））=RV aRαi，βi（kfi（Xi））。请注意，kfi∈ C表示i=1。

，n.提案4.5。分层再保险协议对所有i=1、…、，n、 此外，对于i>l，它与第4.1节的分层再保险协议hfiof相同。证据对于kfito，我们必须证明Mi∈ 【fi（V aRαi+βi（Xi）），fi（V aRαi（Xi））]的存在使得RV aRαi，βi（fi（Xi））=RV aRαi，βi（kfi（Xi））。首先，我们考虑更简单的情况i>l。这里，βi=0，因此Mi=fi（V aRαi（Xi））。现在，让我≤ l、 独立于Miit holdsRV aRαi、βi（kfi（Xi））≤ RV aRαi，βi（Xi）<∞自Xi以来∈ 五十、 此外，Mi7→ kfi（V aRs（Xi））是每个s的连续函数。Hencewe获得了Mi7的连续性→ RV aRαi，βi（kfi（Xi））=βiZαi+βiαikfi（V aRs（Xi））ds。（4.7）自fi以来∈ C、 所有x的Rfiimplies的单调性≥ V aRαi+βi（Xi）thatfi（x）≤ x个- V aRαi+βi（Xi）+fi（V aRαi+βi（Xi））=x个-V aRαi+βi（Xi）- fi（V aRαi+βi（Xi））+（4.8）因此，对于Mi=fi（V aRαi（Xi）），它遵循（4.8）和V aRαi的性质，V aRαi ithatRV aRαi，βi（fi（Xi））=βiZαi+βiαiV aRs（fi（Xi））ds=βiZαi+βiαifi（V aRs（Xi））ds10 N.B–AUERLE和A.GLAUNER≤βiZαi+βiαikfi（V aRs（Xi））ds=βiZαi+βiαiV aRs（kfi（Xi））ds=RV aRαi，βi（kfi（Xi））。（4.9）相反，对于Mi=V aRαi+βi（fi（Xi）），它保持srv aRαi，βi（kfi（Xi））=V aRαi+βi（fi（Xi））≤ RV aRαi，βi（fi（Xi））。（4.10）鉴于（4.7）与（4.9）和（4.10）的连续性，中值定理确保了Mi的存在∈ [fi（V aRαi+βi（Xi）），fi（V aRαi（Xi））]如下所述：RV aRαi，βi（fi（Xi））=RV aRαi，βi（kfi（Xi））。再保险协议可用于降低所有保险人的总资本要求。提案4.6。假设（A2），（A3），设f，fn公司∈ C可以是任意放弃的损失函数。ThennXi=1RV aRαi，βiRkfi（Xi）+ πnXi=1kfi（Xi）≤nXi=1RV aRαi，βiRfi（Xi）+ πnXi=1fi（Xi）.证据首先，让我∈ {1，…，l}。保留损失函数Rfi（x）=x- fi（x）和Rkfi（x）=x- kfi（x）随着fi、kfi的持续增加∈ C

因此，根据V aRαi的性质和kfiRV aRαi、βi的定义Rfi（Xi）=βiZαi+βiαiV aRs（Xi）- fi（V aRs（Xi））ds=RV aRαi，βi（Xi）- RV aRαi，βifi（Xi）= RV aRαi，βi（Xi）- RV aRαi，βikfi（Xi）=βiZαi+βiαiV aRs（Xi）- kfi（V aRs（Xi））ds=RV aRαi，βiRkfi（Xi）. （4.11）我们已经从（4.8）中知道，对于x≥ V aRαi+βi（Xi）fi（x）≤x个-V aRαi+βi（Xi）- fi（V aRαi+βi（Xi））+=:^kfi（x）。由于kfi（x）=min{kfi（x），Mi}和Zαi+βiαifi（V aRs（Xi））ds=Zαi+βiαikfi（V aRs（Xi））ds，（4.12），通过选择Mi，存在x∈ [V aRαi+βi（Xi），V aRαi（Xi）]，因此fi（x）≤ kfi（x）代表x∈ [V aRαi+βi（Xi），x]fi（x）≥ kfi（x）代表x∈ （x，V aRαi（Xi）]。（4.13）现在让我们~ U（[αi，αi+βi]）。然后通过（4.12）E[fi（V aRU（Xi））]=E[kfi（V aRU（Xi））]。（4.14）这与（4.13）充分证明了命题2.4 c）的假设，因此我们有KFI（V aRU（Xi））≤icxfi（V aRU（Xi））。（4.15）类似于（4.8）一个获得的SKFI（x）≤ 0的fi（x）≤ x个≤ V aRαi+βi（Xi）（4.16）再保险网络中的最优风险分配11，随着FII的增加，它从（4.13）kfi（x）开始≤ x的fi（x）≥ V aRαi（Xi）。（4.17）接下来，让V~ U（[0，1]）。然后是Xi~ F-1Xi（1- V）=V aRV（Xi）和随后的EH（kfi（Xi）- d） +i=Eh（kfi（V aRV（Xi））- d） +i=Z[0，αi）∪（αi+βi，1）（kfi（V aRv（Xi））- d） +dv+Zαi+βiαi（kfi（V aRv（Xi））- d） +dv=Z[0，αi）∪（αi+βi，1）（kfi（V aRv（Xi））- d） +dv+βiEh（kfi（V aRU（Xi））- d） +我≤Z[0，αi）∪（αi+βi，1）（fi（V aRv（Xi））- d） +dv+βiEh（fi（V aRU（Xi））- d） +i=Eh（fi（V aRV（Xi））- d） +i=Eh（fi（Xi）- d） +i，其中不平等是由（4.15）、（4.16）和（4.17）引起的。因此我们有kfi（Xi）≤icxfi（Xi）。我们现在考虑剩下的指数。让我∈ {l+1，…，n}。从命题4.2和命题4.5的证明可以看出，我们有kfi（Xi）=hfi（Xi）≤icxfi（Xi）也适用于这些指数。对于所有i=1，函数Kfian和fiare在C中，即递增和连续。因此，通过（A2），随机向量skf（X）：=kf（X）。

，kfn（Xn）和f（X）：=f（X），fn（Xn）具有与X=（X，…，Xn）相同的PDS copula。因此，根据定理2.11nXi=1kfi（Xi）≤icxnXi=1fi（Xi）。（4.18）最后，（4.11）以及π与（A3）增加的凸阶和（4.18）一致的事实得出了这个断言。这一节的主要结果在下一个定理中给出。该证明遵循命题4.6，与定理4.2的证明方式相同。定理4.7。在假设（A2）、（A3）下，最优再保险问题（3.3）与有限维问题minnxi=1ai+lXi=1RV aRαi，βi具有相同的最优值（Xi）- 人工智能- bi）++ πnXi=1min{（Xi- ai）+，bi}！s、 t.0≤ 人工智能≤ V aRαi+βi（Xi），i=1，nai+bi≥ V aRαi+βi（Xi），i=1，l（4.19）bi=V aRαi（Xi）- ai，i=l+1，n、 此外，如果a，an，b，bn是（4.19）thenfi（x）=min{（x）的最优解- ai）+，bi}，i=1，nis是（3.3）的最佳解决方案。备注4.8。注意，在定理4.7的设置中，当π为Lipschitz连续且对于所有i=1，…，存在最优解，n它保持αi>0或Xibounded。我们有∈ [0，V aRαi+βi（Xi）]和bi∈ [0，V aRαi（Xi）]。注意，V aRαi+βi（Xi）<∞ 因为我们从一开始就要求0<αi+βi，而V aRαi（Xi）<∞ 当且仅当αi>0或Xibounded时成立。因此，目标函数在紧集上最小化。此外，π是Lipschitz continuousw。r、 t.上确界范数，并应用于有界随机变量。最后，对于单调的平移不变风险测度ρ，我们得到了自（x- c）+≤ x++| c |ρ（（x- d） +）-12 N.B–AUERLE和A.GLAUNERρ（（X- c） +）≤ ρ（（X- c） ++| c- d |）+- ρ（（X- c） +）=| c- d |。因此RV aRαi，βi（Xi）- 人工智能- bi）+Lipschitz在ai中是连续的，这意味着结果。什么时候社会最优对个人也是最优的？当我们选择n=1时，优化问题（3.3）减少了tominρRf（X）+ πf（X）s、 t.f.公司∈ C

（5.1）这个问题可以解释为个人保险公司寻求最优再保险的问题：Rf（X）是留存风险，使用风险度量ρ和π进行评估f（X）是再保险人收取的保费。在本节中，我们将讨论通过求解（3.3）得到的社会最优解与通过求解（5.1）得到的每个单个公司的最优再保险待遇i=1，n、 5.1。π是期望值溢价原则。当π是期望值保费原则，即π（X）=（1+θ）e[X]和θ时，出现了两个最优再保险条约重合的明显情况≥ 这里我们得到πnXi=1fi（Xi）=nXi=1πfi（Xi）这意味着全局优化问题会分解为局部优化问题。注意π不是平移不变的。5.2. 共单调性和共单调添加剂π。另一个简单的例子是当风险X，Xnhave the upper Fr'echet copula andπis comonotone additive（Xnhave the upper Fr'echet copula，π是一个单子加法）。Wangpremium原则是例如科莫酮添加剂（参见例[24]）。对于风险X∈ l定义为π（X）=（1+θ）Z∞g（SX（x））dx，其中g：[0，1]→ [0，1]随着g（0）=0和g（1）=1的增加，是失真函数和θ≥ 在这个设置中，我们再次得到πnXi=1fi（Xi）=nXi=1πfi（Xi）因为fiare在增加，所以保留copula。5.3. 独立风险和指数溢价原则π。假设风险X，Xnare独立，π是指数溢价原理，即π（X）=γlogE[EγX]其中γ>0是风险敏感性参数。在此设置中，我们再次获得πnXi=1fi（Xi）=nXi=1πfi（Xi）这意味着全局优化问题会分解为局部优化问题。对于其他应用，π也称为熵风险度量。再保险网络中的最优风险分配135.4。