美式期权定价的蒙特卡罗方法：半线性

让定理2.5的条件成立。Let（qn）n≥1E（0，∞)d×R是最后一个组分中的Lipschitz。假设（qn）n≥1一致有界于一个函数，该函数的第一个分量为多项式增长，最后一个分量为线性增长。进一步假设LIM supn→ ∞（x，y）→ （x，y）qn（x，y）≤q*（x，y）和lim infn→ ∞（x，y）→ （x，y）qn（x，y）≥q*（x，y）（9）表示所有（x，y）∈ (0, ∞)（t，x）的d×R∈ [0，T]×（0，∞)d、 let（Yt，x，n）n≥1be suchthatYt，x，ns=Es[e-rTg（Xt，Xt）+ZTse-ruqn（Xt、xu、eruYt、x、nu）du），示例见下文。对于s∈ [t，t]，并设置Vn（t，x）：=ertYt，x，nt。然后，（Vn）n≥1以n的形式指向V→ ∞.证据与QNADMIT关联的每个BSDE都会提交一个唯一的解决方案（Yt、x、n、Zt、x、n）∈S×L，表明VN是连续粘度溶液的标准值- L^1- qn（·，Д）=0在[0，T）×（0，∞)dandД（T，·）=g开（0，∞)d、 此外，（Vn）n≥由于（qn）n上的一致多项式增长假设，1具有（一致）多项式增长≥1、见例【16】。根据稳定性和（9），参见例[2]，可以得出松弛的limsup V*和liminf V*of（Vn）n≥1分别为（4）的子解和超解。根据提案2.6，V*≤ 五、≤ 五、*因此，这三种职能之间是平等的。因此，在平滑过程中，我们回到了基本上解决BSDE的问题。在接下来的两部分中，我们将提出两种方法。第一个步骤是将q平滑为一个平滑函数qnto，我们应用了[8]中的局部多项式近似过程。这使得我们可以使用纯正向蒙特卡罗方法，基于分支过程来估计Vn。在第二种方法中，我们只在q的定义中添加一个独立的噪声，这也有平滑它的效果，然后使用一个非常简单的算法版本【8】。

正如我们的数值实验所示，第一种方法非常不稳定，而第二种方法非常有效。3.1局部多项式近似和分支过程给出命题3.2，很容易使用最近开发的BSDE蒙特卡罗方法来估计美式期权价格，见【10】及其参考文献。在这里，我们建议使用[8]提出的正向方法，该方法基于使用（理论上）与Picard迭代耦合的分支过程。第一步是近似Heaviside函数H:z 7→{z≥0}通过Lipschitz函数序列（Hn）n≥1并确定qnbyqn：（x，y）7→ c（x）Hn（g（x）-y） 。然后，qnis由映射（x，y）7近似→ 局部多项式形式的qn（x，y，y）：\'qn：（x，y，y）→jXj=1lXl=0aj，l（x）ylφj（y）（10），其中（aj，l，φj）l≤l、 j≤jis满足| aj，l |的连续有界映射族≤ Cl，|φj（y）- φj（y）|≤ Lφ| y- y |和φj |≤ 1，对于所有y，y∈ R、 j≤ jand l公司≤ l、 对于某些常数Cl，lφ≥ （aj，l（x））l的元素≤L应解释为子集Aj上Q的多项式近似系数，其中（Aj）j≤jo将φj作为平滑核形成一个分区，允许一个人以Lipschitz的方式从分区的一部分传递到另一部分，请参见[8]。然后，我们可以考虑BSDE的序列“Yt，x，n，k+1s=Es[e-rTg（Xt，Xt）]+E[中兴通讯-ru qn（Xt、xu、eru Yt、x、n、k+1u、eru Yt、x、n、ku）du），k≥ 1，以“Yt，x，n，1”作为初始优先级（例如er·g（Xt，x））。给定“Yt，x，n，k，”“Yt，x，n，k+1，可使用分支过程（如Kolmogorov-Petrovskiipskunov方程的Feynman-Kac表示）来估计具有多项式驱动程序的BSDE，请参见[13，14]。有关更多详细信息，请参阅[8]。在实践中，我们使用了【8，第3节】中的方法A。我们在维度1中进行数字实验，时间范围为一年，无风险利率设定为6%。

我们考虑了Black和Scholes模型，其中一只股票的波动率为40%。我们为行使isK=40的看跌期权定价。按货币计算，美国期权价格约为5.30，而欧洲期权价格为5.05。考虑到示例2.4，我们取c=rK。我们首先用方差κ为中心的高斯密度平滑驱动程序-2，将其替换为0.5rKe-rterfc（κ* （y）- e-rtg（x）），κ=10。见图3.1。然后，我们应用二次样条逼近。在实际计算中，由于不可能在整个半实线上应用样条逼近，我们将驱动函数的y域限制为[0，40（1- e-0.06)]. 我们将该有界域划分为20个具有相等距离点的区间，并通过为每个区间指定一个二次多项式，在该域上定义一个分段多项式。最后，我们将网格每个点的分段多项式的值和导数与原始函数进行匹配（除了在右端的导数假定为零）。域的截断不会改变计算结果，因为我们的有限域包括看跌期权的最大支付额。所得近似值与图3.1中显示的原始函数无法区分。我们还将[0，T]划分为10个周期。对于x分量中的网格，我们在区间[e]上使用25点均匀空间网格-20, 80].我们首先使用1000条蒙特卡罗路径估计早期练习值。如图3.2所示，结果并不好，这并不能提高模拟次数。结果表明，该算法非常稳定，而且不准确。即使对于大量的模拟路径，它仍然非常不稳定。这并不奇怪。

事实上，如[8]所述，该方法专门用于驱动函数相当平滑的情况，因此局部多项式的系数（aj，l）j，lar很小，而φj的支撑则很大，且不会相交太多。由于我们正在逼近Heaviside函数，因此这些要求都没有得到满足。注意，对于该payoff，常数rK是具有最小绝对值的函数图3.1：y 7的近似值→ 1{y≤0.5}.图3.2：局部多项式近似的分支。上图：早期运动溢价（pde解算器获得的直线，估计的虚线）。下图：早期行使溢价估计错误。3.2驱动程序随机化在第二种方法中，我们扩大了状态空间，以便引入一个独立的可积随机变量 密度为f，z为7→ （1+| z |）f（z）是可积的。我们假设f的支撑内部的形式为（m, M) 具有-∞ ≤ m级< M≤ ∞. 然后，我们定义了随机映射的序列qn（x，y）：=c（x）1{g（x）+n≥y} 以及qn（x，y）：=c（x）n[克（x）+米/n- y] +f（米) - [克（x）+米/n- y] +f（米)- c（x）nZ[克（x）+z/n- y] +f（z）dzso thatqn（x，y）=E[qn（x，y）]对于n≥ 如果c是非负的、连续的且具有多项式增长，则序列（qn）n≥1符合提案3.2的要求。现在我们假设τ是一个独立的指数分布随机变量，密度ρ，累积分布为1-\'F。然后，Yt，x，n定义为比例3.2满足Yt，x，ns=Es“e-rTg（Xt，Xt）(R)F（T- t） {t-t型≤τ}+1{T-t> τ}e-rτqn（Xt，Xt+τ，erτYt，x，nt+τ）ρ（τ）#。这可以看作是一种基于分支的表示，其中粒子以指数时间死亡。当一个粒子在T之前死亡时，我们给它（随机）标记qn（Xt，Xt+τ，erτYt，x，nt+τ）。

就第3.1节的表述而言，这对应于j=1，l=0，用▄qn（x，y）替换a1,0（x）φ（y），并且不使用Picard迭代方案。在有限时间网格π上 [0，T]包含{0，T}，它可以用序列vπn（T，·）=g和vπn（T，x）=E“E来近似-rTg（Xt，Xt）(R)F（T- t） {t-t型≤τ}#（11）+E{T-t> τ}e-rτqn（Xt，xφπt+τ，erτvπn（φπt+τ，Xt，xφπt+τ））ρ（τ）#，其中φπs：=inf{s≥ s：s∈ π} 对于s≤ T表明vπn（φπt，x）逐点收敛于Yt，x，ntasπ的模消失可以通过沿[1，第4.3节]或[12]的直线工作来完成。根据命题3.2，vπnconvergespoint wise to v as |π|→ 0和n→ ∞. 在考虑空间网格时，可以进行类似的分析，这在实践中是必要的。在满足假设2.2要求的函数c中。然后，（11）提供了一个自然的反向算法：给定一个时空网格∏：=（ti，xj）i，j，（11）可用于计算vπn（ti，xj），给定网格中后期已计算的vπnat值，通过用蒙特卡罗对应物替换期望值。现在让我们考虑Black-Scholesmodel中的看跌期权定价问题，如前一节所述。利率为6%，波动率为20%，罢工率为25%。[0，T]的分区π是均匀的，有100个时间步。然而，我们每10个时间步更新vπnonly（并认为两者之间是常数时间）。因此，细网格π仅用于精确逼近ext、xτ乘以Xt、xφπτ。我们在区间使用一个40点等距的空间网格[5，50]。随机变量/n呈指数分布，平均值等于10-100，而τ的平均值为0.6。在图3.3、3.4和3.5中，我们提供了估计价格、估计的早期行使溢价以及相应的相对误差。

统计数据基于50项独立试验。参考值采用关联PDE的隐式方案计算，规则网格在空间上为500点，在时间上为1000点（我们还将在左上图中提供欧式期权价格，以供比较）。为了便于阅读，相对误差被限制在10%或40%。这些图表明数值方法非常有效。股价高于30/35的相对误差并不显著，因为它对应的期权价格非常接近于0。对于10000条模拟路径，在Macbook 2014、2.5 GHz Intel Core i7和4个物理内核上运行R代码，需要12秒钟才能估计出整个价格曲线。接下来，我们考虑第25次和第27次打击的勒死，参见示例2.4。图3.6显示了使用50000条采样路径获得的结果。请注意，我们在这些实验中没有使用任何方差缩减技术。参考文献【1】Nicolas Baradel、Bruno Bouchard和Ngoc Minh Dang。不确定性和贝叶斯参数调整下的最优控制。SIAM Journal onControl and Optimization，56（2）：1038–10572018。[2] 盖伊·巴勒斯。哈密尔顿-雅可比方程的粘度解。1994年【3】阿兰·本索桑和雅克·路易斯·利昂斯。《变量不等式在随机控制中的应用》，第12卷。Elsevier，2011年。[4] Fred E Benth、Kenneth H Karlsen和K Reikvam。美式期权估值的半线性black-andscholes偏微分方程：近似解和收敛性。接口和自由边界，6（4）：379–4042004。[5] Fred E Benth、Kenneth H Karlsen和Kristin Reikvam。美式期权估值的半线性Black和scholes偏微分方程。《金融与随机》，7（3）：277–2982003年。[6] Fischer Black和Myron Scholes。期权定价和公司责任。

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卖出期权，1.000条样本路径。普通线=真值，十字线=估计值。图3.4：使用指示器驱动程序进行分支。卖出期权，10.000条样本路径。普通线=真值，十字线=估计值。图3.5：使用指示器驱动程序进行分支。卖出期权，50000条样本路径。普通线=真值，十字线=估计值。图3.6：使用指示器驱动程序进行分支。扼杀选项，50000条采样路径。普通线=真值，十字线=估计值。