美式期权定价的蒙特卡罗方法：半线性

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英文标题：
《Monte-Carlo methods for the pricing of American options: a semilinear
  BSDE point of view》
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作者：
Bruno Bouchard (CEREMADE), Ki Chau (CWI), Arij Manai (UM), Ahmed
  Sid-Ali
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We extend the viscosity solution characterization proved in [5] for call/put American option prices to the case of a general payoff function in a multi-dimensional setting: the price satisfies a semilinear re-action/diffusion type equation. Based on this, we propose two new numerical schemes inspired by the branching processes based algorithm of [8]. Our numerical experiments show that approximating the discontinu-ous driver of the associated reaction/diffusion PDE by local polynomials is not efficient, while a simple randomization procedure provides very good results.
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中文摘要：
我们将[5]中证明的看涨/看跌美式期权价格的粘性解特征推广到多维环境下的一般支付函数情况：价格满足半线性反应/扩散型方程。在此基础上，受[8]基于分支过程的算法的启发，我们提出了两种新的数值格式。我们的数值实验表明，用局部多项式近似关联反应/扩散偏微分方程的不连续驱动力是无效的，而简单的随机化程序可以提供很好的结果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Monte-Carlo_methods_for_the_pricing_of_American_options:_a_semilinear_BSDE_point.pdf (1.06 MB)

2022-6-2 19:03:01 上传

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关键词：蒙特卡罗方法 美式期权 期权定价 蒙特卡罗 蒙特卡

美国期权定价的蒙特卡罗方法：半线性BSDE观点Bruno Bouchard*Ki Wai Chau+Arij ManaiAhmed Sid Ali§2018年11月16日摘要我们将[5]中证明的买入/卖出美式期权价格的粘度解特征扩展到多维环境中的一般支付函数的情况：价格满足半线性反应/扩散型方程。在此基础上，受[8]基于分支过程的算法的启发，我们提出了两种新的数值格式。我们的数值实验表明，用局部多项式近似关联反应/扩散PDE的不连续驱动力并不有效，而简单的随机化程序可以提供非常好的结果。关键词：美式期权、粘性解、半线性Black和Scholes偏微分方程、分支方法、BSDE。1简介美式期权是一种金融合同，持有人可以在未来某一特定日期（称为到期日）之前的任何时间行使该合同。行权时，持有人收到的报酬取决于标的资产的价值。把这个问题放在数学背景下，让我们首先考虑一下著名的黑市下的单一股票（无股息支付）市场的情况*巴黎多芬大学（UniversitéParis Dauphine），巴黎国立研究大学（PSL Research University），巴黎塞雷梅德中央研究院（CNRS）。bouchard@ceremade.dauphine.fr.部分由ANR CAESARS支持的B.Bouchard研究（ANR-15-CE05-0024）。+维斯昆德信息中心。K、 W。Chau@cwi.nl勒芒大学风险与保障研究所。arijmanai@gmail.com§加拿大魁北克省拉瓦尔大学数学与统计系。艾哈迈德。锡德·阿里。1@ulaval.caand斯科尔斯设置[6]。

即，让(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是一个带有标准一维布朗运动W的过滤概率空间，让我们对股价过程X asXs=X exp进行建模（r）-σ） （s）- t） +σ（Ws- Wt）, s≥ t、 在风险自然概率下。这里，x>0是时间t的股价，r>0是无风险利率，σ>0是波动率。然后，在t到期的美式期权在t时的无套利价值≥ t由v（t，x）=supτ给出∈T[T，T]E[E-r（τ-t） g（Xτ）]（1）式中，t[t，t]是[t，t]值停止时间的集合，g是支付函数，比如连续函数，参见例如[7]和其中的参考文献。典型示例areg（x）=（（x- K） +，对于看涨期权（K- x） +，对于看跌期权，其中K>0表示履约价格。按构造，V（·，X）≥ 只有当V（·，X）=g（X）时才应行使期权。这导致定义以下两个区域：o连续区域：C={（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : V（t，x）>g（x）}o停止（或运动）区域：S={（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : V（t，x）=g（x）}。这些是将美式期权价格作为自由边界问题的常见公式的基础，该公式已出现在McKean[15]中：V求解C上的热方程型线性抛物问题，等于S上的g，在总是大于g的约束条件下，另一个公式基于Bensoussan和Lions的准变分方法【3】：price求解（至少在粘度解意义上）准变分部分微分方程（min（rν- 磅/英寸，英寸- g） =0，在[0，T）×（0，∞)Д（T，·）=g，开（0，∞)其中LBS是与X关联的Dynkin运算符：LBS=t+rxD+σxd，其中D和Dare是雅可比算子和黑森算子。在本文中，我们重点讨论了另一个可在[5]中找到的公式，另请参见[4]及其参考文献。

美式期权估价问题可以用固定域上的半线性Black和Scholes偏微分方程组来描述，即：（r- LBSД=q（·，Д），在[0，T）×（0+∞)Д（T，·）=g，开（0，∞)（2） 式中，q是非线性反应项，定义为q（x，Д（t，x））=c（x）H（g（x）- ^1（t，x））=如果g（x）<Д（t，x）c（x）如果g（x），则为0≥ ν（t，x），其中c是特定的现金流函数，例如，对于看跌期权，c=rK，His是Heaviside函数。注意，如果我们考虑经典解，由于y的不连续性，这个半线性Black和Scholes方程没有意义→ q（x，y）。必须从不连续粘度溶液的角度考虑，参见Crandall、Ishii和Lions【11】。也就是说，即使V是连续的，上解性质也应该用q的下半连续包络来表示，下解性质则相反。这尤其意味着，对于同一个操作符，上下分辨率属性没有定义。尽管如此，由于y的特殊单调性→ q（x，y），文献[5]证明，在Black和Scholes模型中，（2）的唯一解中的美式期权价格具有适当的意义。在这项工作中，我们首先将[5]的特征从（2）扩展到一般支付函数和一般市场模型，见第2节。在此基础上，我们提出了两种数值格式。一般思想有助于（形式上）将（2）的解V确定为倒向随机微分方程Y=e的解（Y，Z）-rTg（XT）+ZT·e-rsq（Xs、ersYs）ds-ZT·ZsdWsby e-r·V（·，X）=Y。在第一种算法中，我们遵循Bouchardet等人的方法。

[8] 并通过局部多项式近似非线性驱动因子q，以便能够应用基于Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov方程的Feynman-Kac表示的纯正向分支过程的扩展版本，参见【13，14】。不幸的是，我们的数值实验表明，该算法非常不稳定，见第3.1节。在第二种算法中，我们不试图用局部多项式逼近q，而是用c（X）1{g（X）代替q（X，er·Y），用噪声对其进行适当的正则化+≥er·Y}，其中 是一个独立的随机变量。当 消失，这提供了一个收敛估计量。对于 给定，使用Bouchard等人[8]的方法和（随机）多项式（t，x，Y，Y）7估计相应的Y→ c（x）1{g（x）+≥erty}和只能消亡的粒子（不创建任何子级）。该算法非常精确，请参见第3.2.2节非线性抛物方程表示。从现在起，我们采用Ohm 作为[0，T]上从0开始的Rd值连续映射空间，赋予维纳测度P。我们让W表示正则过程，让（Ft）T≤t完成过滤。给定t∈ [0，T]和x∈ (0, ∞)d、 我们考虑一个有d只股票的金融市场，其价格过程Xt，xevolves根据toXt，x=x+Z·trXt，xsds+Z·tσ（s，Xt，xs）dWs（3），其中r∈ R是一个常数，即无风险利率，σ：[0，T]×（0，∞)d7级→Rd×dis是一个矩阵值函数，假定它的第二个分量是连续的和统一的。我们还假设'σ：（t，x）∈ [0，T]×（0，∞)d7级→ 诊断[x]-1σ（t，x）在其第二分量中一致为Lipschitz且有界，其中diag[x]表示第i个对角线入口等于x的第i个分量的对角线矩阵。

这意味着Xt，Xt在（0，∞)dwhenever x公司∈ (0, ∞)d、 我们还假设P是唯一的（等价的）概率测度，其下的e-r(·-t） Xt，xis a（局部）鞅，对于（t，x）∈ [0，T]×（0，∞)d、 然后，给定一个连续的payoff函数g：（0，∞)d→ R、 对于多项式增长，带payoff g的美式期权的价格由v（t，x）=supτ给出∈T[T，T]E[E-r（τ-t） g（Xt，xτ）]，其中t[t，t]是[t，t]值停止时间的集合。参见【7】。备注2.1。（t，x）∈ [0，T]×Rd+7→ V（t，x）是连续的，多项式增长遵循上述假设下的标准估计。特别地，集合{（t，x）∈ [0，T]×Rd+：V（T，x）=g（x）}闭合。本节的目的是证明V是非线性抛物方程的粘性解rν- L^1- q（·，Д）=0在[0，T）×（0，∞)dД（T，·）=g开（0+∞)d、 （4）对于适当的反应函数q，在（0，∞)d×R。在上面，L表示与（3）相关的Dynkin运算符：LД（t，x）=对于平滑函数，tИ（t，x）+hrx，DД（t，x）i+Tr[σ>DД]（t，x）。更准确地说，我们定义了函数q byq（x，y）=如果g（x）<yc（x）如果g（x）≥ y、 （x，y）∈ (0, ∞)d×R，其中c是满足以下假设2.2的可测映射。应该清楚的是，这种假设只是为了简单起见。还要注意的是，可以免费增加adividend费率。假设2.2。地图c：（0，∞)d7级→ R+是多项式增长的连续函数。此外，g是r的粘度亚溶液- L^1- 在{（t，x）上c=0∈ [0，T）×（0，∞)d： V（t，x）=g（x）}。在提供此类函数c的示例之前，让我们先做一些重要的观察。备注2.3。首先，{（t，x）∈ [0，T）×（0，∞)d： V（t，x）=g（x）} {x∈ (0, ∞)d： g（x）>0}如果在[0，T）×（0，∞)d、 这在实践中是典型的情况（例如，因为g是非负的，并且在[0，T]上g（X）>0的概率是正的）。

特别地，如果g是Con{g>0}，那么可以选择c=[rg-Lg]+在{g>0}上。其次，如果g是凸的，那么它不能在不是C的点上被C函数从上面触及，这意味着在验证上述假设2.2时，可以忘记一些奇点。在第3节中，weshall建议使用基于蒙特卡罗的数值方法来计算V。然后，我们可以尝试在选择c时最小化估计量的方差。然而，选择函数c似乎很自然，因此g实际上是rν的粘度解-L^1-在{（t，x）上c=0∈ [0，T）×（0，∞)d： V（t，x）=g（x）}。在第3节的数值研究中，这一选择与具有最小绝对值的c相一致，这在直觉上应该对应于使蒙特卡罗估计量的方差最小化的c。我们将方差最小化问题的理论研究留给未来的研究。示例2.4。让我们考虑以下示例，其中“σ”是具有第i行的常数矩阵“σi”。用K<K固定K，K，K>0。对于d=1和a put g:x∈ (0, ∞) 7.→ [K]-x] +，函数c由常数rK给出。这是[5]中治疗的病例之一对于d=1和扼流g:x∈ (0, ∞) 7.→ [K]- x] ++[x- K] +，函数c可以是任何等于rKon（0，K）且等于-rKon（K，∞), 每当V>0时对于d=2和a，采用算术平均值g:x∈ (0, ∞)7.→ [K]-Xi=1xi]+，我们可以取c=rK对于d=2和a，放在几何平均值g:x上∈ (0, ∞)7.→ [K]-√xx]+，c可作为asx∈ (0, ∞)7.→ [rK-（k’’σk+k’’σk- 2h‘σ，’σi）√xx]+。由于q是不连续的，我们需要在不连续算子的粘性解的意义下考虑（4）。更准确地说，让q*和q*表示q的上下半连续包络。

我们说，下半连续函数v是（4）的粘度上解，如果它是Rν的粘度上解- L^1- q*[0，T）×（0，∞)dД（T，·）=g开（0+∞)d、 类似地，如果上半连续函数v是粘度子解Rν，则它是粘度子解（4）- L^1- q*[0，T）×（0，∞)dД（T，·）=g开（0+∞)d、 我们说，一个连续函数是（4）的粘性解，如果它既是粘性超解又是粘性亚解，那么我们有以下美式期权价格的特征，这将[5]的结果推广到了我们的上下文中。回顾备注2.1或备注2.5。设c如假设2.2所示。那么，V是（4）的粘度溶液。它具有多项式增长。证据我们只是遵循[5]的论点。a、 首先请注意，V≥ g、 所以那Q*（·，V）=0。因此，supersolutionproperty相当于rν的上解- [0，T）×（0，∞)dandД（T，·）=g开（0+∞)d、 这是标准的。b、 固定（t，x）∈ [0，T]×（0，∞)d平滑函数Д，使得（t，x）在[0，t]×（0，∞)自由度V- 和（V）- ^1）（t，x）=0。如果T=T，则定义所需结果成立。现在我们假设t<t。如果（t，x）属于开集C：={V>g}，回想备注2.1，那么可以找到一个[t，t]值的停止时间τ，使得（·∧ τ、 Xt，x·∧τ) ∈ C、 根据动态规划原理，参见例[9]，即ν（t，x）≤ Ehe公司-r（τε-t） 其中τε：=τ∧ （t+ε）表示ε>0。然后，标准参数导致0≥ rИ（t，x）- LИ（t，x）=rИ（t，x）- L^1（t，x）- q*（x，Д（t，x））。现在我们假设（t，x）∈ S：={V=g}。特别是，Д（t，x）=V（t，x）=g（x），因此q*（x，Д（t，x））=q*（x，V（t，x））=c（x）。

自V起≥ g、 （t，x）也是g的最大值- ^1和Д满意度0≥ rИ（t，x）- L^1（t，x）- c（x）=r（t，x）- L^1（t，x）- q*（x，Д（t，x）），根据假设2.2。这种粘度溶液特性可以用[5]中的比较原理来补充。结合定理2.5，证明了V是（4）多项式增长的唯一粘性解。请注意，这是使用q的一个重要结果*而不是q.命题2.6。让定理2.5的条件成立。设v和w分别为（4）的上、下解，具有多项式增长。那么，v≥ w在[0，T]×（0，∞)d、 证明。我们修改了[5]的论点。通常，在用（t，x）7代替v时，可以假定r>0，而不损失一般性→ e-ρtv（t，x）和w by（t，x）7→e-ρtw（t，x）对于某些ρ>| r |。修复p≥ 1和C>0，使得| v（t，x）|+| w（t，x）|≤C（1+kxkp）表示所有（t，x）∈ [0，T]×（0，∞)d、 集合ψ（t，x）：=e-（t，x）的κt（1+kxk2p）∈ [0，T]×（0，∞)d、 对于一些足够大的κ，ψ是-[0，T）×（0，∞)d、 这是可能的，因为σ是有界的。设置φεn（t，x，y）：=w（t，y）- v（t，x）- nkx公司- yk2p- λψ（t，y）-εQdi=1xi-n的εQdi=1yi≥ 1，ε>0，（t，x，y）∈ [0，T]×（0，∞)2d，且给定λ>0。假设SUP[0，T]×（0，∞)2d（w-v） >0。然后可以找到εo, λ>0和δ>0，使得SUP[0，T]×（0，∞)2dφεn≥ δ、 对于ε∈ (0, εo) 和n≥ 1.（5）显然，φεn在[0，t]×（0，∞)2d。此外，从标准参数来看，（tεn，xεn，yεn）收敛到一些（tn，xn，yn）∈ [0，T]×Rd+asε→ 0，可能沿子序列，和thatlimε→0（εQdi=1（xεn）i+εQdi=1（yεn）i）=0，limn→∞nkxn公司- ynk2p=0，（6）limε→0（w（tεn，yεn），v（tεn，xεn））=（w（tn，yn），v（tn，xn））（7）limn→∞yn=^y，对于某些^y∈ Rd+，（8）可能沿子序列，参见例如[7，定理4.5的证明]和[11]。结合Ishii引理，参见。

[11] ，利用v，ψ和w的上下解性质，我们得到了0≥r（w（tεn，yεn）- v（tεn，xεn））- q*（yεn，w（tεn，yεn））+q*（xεn，v（tεn，xεn））- O（nkxεn- yεnk2p）- ηnε，其中，由于（6）的左侧，ηnε→ 0为ε→ 0，对于所有n≥ 1、在（6）的右侧，讨论就在其上方，以及（7），发送ε→ 0然后n→ ∞ 导致0≥lim支持→∞{r（w（tn，yn）- v（tn，xn））- q*（yn，w（tn，yn））+q*（xn，v（tn，xn））}和thereforelim infn→∞{q*（yn，w（tn，yn））- q*（xn，v（tn，xn））}≥ rδ乘以（5）。回想一下，c是非负的，w（tn，yn）- v（tn，xn）≥ δ乘以（5）。如果沿子序列，所有n的g（xn）>v（tn，xn），则q*（yn，w（tn，yn））-q*（xn，v（tn，xn））≤ c（yn）-c（xn）表示所有n，导致自c（xn）以来的矛盾-c（yn）→ 0作为n→ ∞ （回忆（6）和（8）），r>0。如果，沿着子序列，g（xn）≤ v（tn，xn）表示所有n，然后是g（yn）≤ v（tn，xn）+δ/2≤ w（tn，yn）- δ/2对于所有足够大的n，且上述liminf也是非正的。这也是一种矛盾。3蒙特卡罗估计（4）的解形式上与解（Y，Z）相关∈ S×Lof thebackward随机微分方程=e-rTg（XT）+ZT·e-rsq（Xs、ersYs）ds-ZT·ZsdWsby e-r·V（·，X）=Y。在上面，sde指出了适应过程ξ的空间，使得E[sup[0，T]kξk]<∞ lde注意到可预测过程ξ的空间，使得E[RTkξtkdt]<∞.备注3.1。注意，如果（Y，Z）满足上述BSDE，则Y=E[E-rTg（XT）+中兴通讯-rsq（Xs、ersYs）ds）。在c=rg的情况下- Lg，on{（t，x）∈ [0，T）×（0，∞)d： V（t，x）=g（x）}，这对应于早期行使溢价公式。回顾假设2.2，参见【5，第6节】。实际上，由于q不是连续的，所以上述BSDE不是适定的。然而，为了进行数值近似，可以对其进行平滑处理。下面，我们写Es[·]来表示给定Fs，s的期望≤ T提案3.2。