一种具有持久链接和特定节点潜在连接的动态网络模型

RAS算法通常用于解决从边缘数据中估计非负矩阵的问题，由于其计算速度快、数值稳定性好和代数简单，因此优于其他方法。在第2.1小节中，我们将RAS算法推广到时变参数的情况。算法的主周期为N×T时间。广义RAS算法收敛所需的迭代次数与原始算法类似，不是确定性的。然而，我们在数值上观察到，当N为O（102÷3）时，需要O（100÷1）iter。最大化步骤（第3行和第4行）所需的操作数通常是一个更复杂的问题。学习αtakes O（N）步，每个αij一步，每个步骤进行T+1运算，T个单积分的数值计算，找到函数的零。学习Φ需要N个步骤，每个Φi一个步骤，但每个步骤需要一个不确定的循环次数，以便求解等式2.18中的积分方程组。平均而言，当T为O（10）时，每个步骤需要O（101÷2）个周期。每个c循环进行3×T运算，即3×T单积分的数值e求值。最后，EM算法收敛的迭代次数不是确定的，但我们在数值上观察到，它在系统的大小上是非常恒定的。表1显示了EEM算法平均收敛所需的时间。公式2.19中的问题可以用RAS算法解决，其中矩阵iseγi+γj1+eγi+γjand的通用条目边际数据由度序列表示。T=100 T=200 T=500 T=1000χij0.28 0.21 0.16 0.10αij0.29 0.19 0.12 0.08表2。作为时间序列长度T函数的DAR（1）模型参数估计的平均绝对相对误差。

我们对DAR（1）模型进行了100次模拟。Nθtiφ0，iφ1，iσiSSI 100 0.30 0.58 0.46 0.69EM 100 0.22 0.13 0.13 0.06SSI 200 0.20 0.31 0.27 0.31EM 200 0.10 0.10 0.05表3。在无向网络的情况下，TGRG模型参数估计的平均绝对相对误差。我们设定T=200，并对模型进行100次模拟。我们将所提出的期望最大化算法（EM）与单快照推理（SSI）进行了比较。Nθt，out（in）iφout（in）0，iφout（in）1，iσout（in）iSSI 100 0.31 0.59 0.47 0.71EM 100 0.23 0.12 0.12 0.0 6SSI 200 0.21 0.33 0.29 0.33EM 200 0.10 0.11 0.10 0.0 5表4。在分布式网络的情况下，TGRG模型参数估计的平均绝对相对误差。我们设定T=200，并模拟模型100次。我们将所提出的期望最大化算法（EM）与单快照推理（SSI）进行了比较。3、蒙特卡罗模拟在将我们的方法应用于实际数据之前，我们运行蒙特卡罗模拟来研究所提出的估计方法在应用于无向和有向网络时的性能。根据所描述的模型和随机选择的静态参数生成数据。在无向网络的情况下，DAR（1）模型参数在单位间隔内均匀采样。对于TGRG，我们有足够的φ1，i~ U型(-1，1），σi~ U（0，1）和φ0，i~ N（0，1）。对于DAR-TGRG，αij~ U（0，1）。对于bo-th模型，时变参数θt遵循等式1.4的平稳AR（1）过程。我们用所提出的期望最大化（EM）算法对模型进行了估计，并将结果与单快照推理（SSI）进行了比较。对于每个模拟，我们估计每个节点的ΦiF。我们还获得了ForDAR TGRG模型Nαij的估计值，each可能的节点偶（i，j）的估计值。对于这两个模型，我们推断出潜变量的时间序列{θti}t=0,1，。。。，Ti=1，。。。，N

我们对每个模型进行100次模拟。在评估拟议估计方法的有效性时，我们报告了参数估计的平均绝对相对误差。平均值是通过对节点和模拟次数进行平均得到的。对于时变参数，我们还考虑绝对相对误差的时间平均值。对于有向网络的情况也进行了类似的研究，但对于每个无de，我们有两个属性，θt，outian和θt，ini，因此有两组静态参数Φ≡ {Φout，Φin}。对于DAR-TGRG模型，我们得到N（N- 1） αij的估计值，每个可能的有序节点对一个。αijθtiφ0，iφ1，iσiSSI 0.22 0.29 0.27 0.18 0.22EM 0.18 0.14 0.15 0.10 0.06表5。无向网络中DARTGRG模型参数估计的平均绝对相对误差。我们将EM算法与单快照推理SSI进行了比较。我们设定N=200，T=200，并模拟模型100次。αijθt，out（in）iφout（in）0，iφout（in）1，iσout（in）iSSI 0.22 0.30 0.28 0.18 0.23EM 0.17 0.14 0.14 0.10 0.0 5表6。有向网络情况下DARTGRG模型参数估计的平均绝对相对误差。我们将EM算法与单一快照推断SSI进行了比较。我们设定N=200，T=200，并模拟模型100次。^αij-αijαij-1 0 1 20.51.5^φ1，i-φ1，iφ1，i-1-0.5 0 0.5 10.51.52.53.5^σi-σiσi-1-0.5 0 0.5 1t0 10 20 30 40 50-2-1.5-1-0.50.5模拟数据Siem^φ0，i-φ0，iφ0，i-1-0.5 0 0.5 10.51.52.5图1。左图：估计αij、φ0、i、φ1、i和σi的相对误差密度。我们比较了EM方法（实线）和SSI（虚线）。右面板：将一般θt的最新动力学与根据EM和SSI推断的θt进行比较。表2、3、4、5和6总结了模拟结果。

在表2中，我们展示了公式1.2中DAR（1）过程的最大似然估计结果。其余的表显示，EM方法的性能大大优于单快照推断SSI。此外，我们还发现，EM和SSI的平均绝对相对误差随着节点数N的增加而下降，因为观测数随着N的增加而增加，而参数数则随着N的增加而线性增加。图显示了在无向网络情况下，通过应用EM和SSI估计方法，DAR-TGRG模型静态参数相对误差的估计密度。SSI导致对静态参数Φi的有偏估计，而用所提出的方法得到的估计是无偏的。为了便于说明，在图1的右面板中，我们展示了典型的采样器化和时变参数θti的估计。显然，使用EM trackT=300 T=500 T=1000θti0.13 0.1 3 0.12αij0.13 0.1 0 0.08φ0、i0.10 0.0 9 0.07φ1、i0.09 0.0 8 0.07σi0.05 0.0 4 0.04推断的值见表7。通过EM算法估计的DAR-TGRG模型参数的平均绝对相对误差。网络没有定向。我们设置N=200，模拟的数量等于100。φ1，i0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.080.10.120.140.160.180.20.220.24DAR-TGRGDAR（1）图2。αij的估计值的平均绝对相对误差（MARE）是时变参数θti的自回归系数φ1的函数。在无向网络情况下的DAR-TGRG模型模拟中，αij、φ0、i和σi随机抽样，而φ1、i等于所有i。我们比较了通过EM方法对DAR-TGRG模型（实线）进行的αij估计值的优度，以及根据DAR（1）模型（点线）进行的αij的最大似然（ML）估计值。我们设置N=200，T=400。模拟数据相当接近。

表7显示了动态无向图的DAR-TGRG模型参数的平均绝对相对误差如何随时间序列的长度而减小。当链接的动态同时受到链接持久性和动态适应性的影响时，忽略最后一个会导致高估持久性的重要性。为了证明这一点，我们模拟了无向网络的DAR-TGRG模型，取φ1，等于所有时变参数θti。然后，我们根据DAR（1）模型（忽略动态性）和DAR TGRG模型估计αij。图2显示了作为φ1，i函数的两个估计值的αij的平均绝对误差。当该参数较小时，DAR（1）模型和DAR-TGRG模型的性能相当。相反，当动态性由于φ1，i的高值而具有显著的持续性时，DAR（1）模型错误地将其归因于链接持续性，该链接持续性现在相对于DAR TGRG模型有很大的偏差。4、实证应用：理解银行间市场交易和信贷网络中的链接持久性是具有持久性的动态网络的自然应用案例，就像我们的模型所描述的那样。金融机构每天相互放贷，银行间市场被视为传播系统性风险的重要渠道。

虽然对静态情况有着广泛的认识，但很少有论文讨论银行间网络的动态特性。静态能力模型已被证明可以定量描述φ1的几个拓扑属性，理想地确定节点能力的自相关，从而确定与时变边际相关的链路持久性。电子中间层网络[35，36]，在从有限信息重建电子中间层网络的问题上优于其他网络模型[37，38]，并为银行间市场的系统性风险分析提供有用的见解[39]。能力模型描述静态银行间网络的能力表明，两家银行的规模与它们之间是否存在信贷相关。然而，据文献记载，银行间市场网络形成过程中存在记忆效应，这是因为借款人过去多次向贷款人申请贷款，未来更有可能再次与贷款人发生冲突，而不是与其他贷款人发生冲突，而借款人从未（或很少）与其他贷款人发生互动。在本节中，我们对银行间市场数据的动态模型进行了评估，以理清在确定网络未来状态时，适应性和链接持续性的相对重要性。这也将允许进行预测，以预测两家银行之间是否存在信贷关系。4.1. 数据我们调查了来自银行间存款电子市场（e-MID）的数据，这是一个银行以特定期限和/或抵押品相互发放贷款的市场。银行间贷款的一个重要组成部分是一周或更短的到期日，其中大多数是隔夜贷款。e-MID是欧元区的一个电子市场，1990年为意大利里拉交易在意大利成立，1999年以欧元计价。

根据欧洲中央银行2007年2月发布的《2006年欧元货币市场研究》，电子货币中介占欧元区联合国货币市场总营业额的17%。更近的是，电子货币中介的隔夜贷款额显著下降，尤其是在主权债务危机前后. 为了了解银行流动性管理，已经对电子中间层网络进行了彻底的研究，例如[41、42、43]。该数据集包含2012年3月9日至2015年2月27日期间每天所有信用交易的边缘列表。在我们的分析中，我们每周调查一次银行间网络聚合。银行间存款的每个网络快照都是从交易列表中构建的，其中一家银行，即债权人，将贷款转给另一家银行，即借款人，该银行最多在七天内偿还贷款。因此，我们不包括期限超过一周的贷款。然而，我们约占市场总交易量的92%，因为很少有长期信用关系。然后，我们用未加权和定向邻接矩阵描述电子周中网络：a genericelement Atijis 1，如果银行i在T周内至少向银行j借钱T次，否则为0。我们不考虑在所考虑的期限内互动次数少于5%的银行，即在一段时间内，一家银行的信用关系至少持续7周以上。因此，信贷网络由N=98家银行组成。4.2. 估计e-MID中的可用性和链路持久性。我们估计了e-MID网络时间序列上的三种模型。图3显示了不同模型的αijlink参数（左面板）和φ1，jnode参数（右面板）的估计密度。我们看到，与DAR-TGRG模型相比，DAR（1）模型估计的αij参数更大，即链路持久性更大。

类似地，GRG模型估计的φ1，j比完整的DAR-TGRG模型更大，即更大的适应性。因此，完整的模型平衡了两种持久性机制的相对作用。节点度是一个潜在变量，其时间演化不是观察到的，而是根据时间网络模型推断出来的。然而，有意思的是，是否存在与之相关的可观测量。我们表明，对于所考虑的数据集，节点适配性与电子商务银行同业市场中的银行风险敞口相关。事实上，我们观察到数量xt，out（In）i≡ eθt，out（in）ii=1。。。，N根据HTGRG和DAR-TGRG模型的数据估计，在考虑的t周内，与相应银行在e-MID的风险敞口密切相关，见图4左上角的面板。这一结果表明，在给定的时间内，具有较大扩张的银行s是具有较大扩张度θt、out（in）ior的节点。此外，节点的时变性与其银行敞口显著相关（见图4右上角）。最后，在图4的Bottom面板中，我们展示了节点3的这种行为的一个示例，其相关系数为ρxt，st≈ 0.90. 因此，动态能力模型可以被视为一种程序，允许对只有二进制网络信息的银行风险敞口有一些见解。银行i的风险敞口定义为加权网络中节点i的强度。我们将其称为st，out（in）ifor genericnode i。节点out强度对应于e-MID中的银行资产敞口，而节点强度对应于负债。αij0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.51.52.5DAR-TGRGDAR（1）φ1，i-1-0.5 0 0.5 10.51.5TGRGDAR-TGRGmean（TGRG）mean（DAR-TGRG）图3。左面板：通过EM估计的αij在e-MID数据上的分布。

实线表示DAR-TGRG模型，虚线表示DAR（1）模型。右面板：参数φ1的分布，即估算的v ia EM。黑线表示DAR TGRG，而蓝线表示TGRG。虚线表示两种分布的平均值。ρxi，si0 0.2 0.4 0.6 0.8 1DAR-TGRGTGRGρxt，st0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.51.52.5DAR-tgrgtgrgag 2012年2月2013年8月2014年8月2014年2月2015年2月贷款人“3”银行敞口δeθ3的银行敞口，图4。推断xt、out（in）i之间横截面（顶部le-ft面板）和时间（顶部右侧面板）Spearman相关性的密度估计≡ eθt，out（in）i和相应的银行风险敞口stiin e-MID.下面板：与节点“3”的银行风险敞口相比的时变能力示例。参数δ的选择应确保两个时间序列的最大值对应。4.3. e-MID中的链接稳定性和优惠交易。对于像e-MID这样的信贷网络，优惠链接机制反映了银行的存在，这些银行彼此之间优先进行交易。通过将经验观察到的交易关系与假设随机交易的阿努尔假设进行比较，可以发现银行间的偏好交易。Hatzopoulos等人【24】引入了一种统计测试来评估观察到的银行间交易的统计意义，以揭示优先αij-2-10.20.40.60.8图5。根据Hatzopouloset al.【24】中的测试，统计验证链接的分数取决于TGRG-DAR模型中测量链接持久性的估计αij参数值。银行间的信贷关系。

我们应用相同的统计检验表明，e-MID中的优先交易关系与链路稳定性相关。在【24】之后，我们将测试应用于每周汇总的e-MID数据，在每个时间窗口中划分3个维护周期，并针对每个链接（i，j），计算nlbijbank j从i银行借钱的次数。然后，让nlibe表示我向其他银行借钱的次数，让L表示j银行从其他银行借钱的次数。最后，让我们确定在考虑的3个维护期内，系统中银行之间的交易总数。在随机交易的零假设下，NLBIJ服从超几何分布Hnlbij | nli，nbj，NT. Hatzopoulos等人将优先交易与过度表达的链接数联系起来，与随机交易的无效假设有关，即他们使用超几何分布将p值与观察到的数字nlbij联系起来。优惠贸易关系i→ jare根据统计检验，即p值小于阈值0.05A，其中a是Bonferroni校正，以避免由于多重假设检验而产生大量假阳性验证链接（更多详细信息，请参见[24]）。图5显示了参考文献[24]统计测试的拒绝频率，条件是测量TGRG-DAR模型中链路持久性的估计αij参数。这种明显的单调行为表明，链接稳定性在统计学上与根据[24]检测到的偏好交易相关。4.4. 预测链接。最后，我们比较了所提出的网络模型的样本外链接预测性能。我们使用前106周网络观测值进行模型估计，最后50周作为样本外时段。