近似最优随机寿命的简单显式公式

（2.12）为便于将来使用，我们注意到^π（α，ρ）是自相似的，也就是说，对于α>0，一个具有^π（α，ρ）=α^π（1，αρ），（2.13）的约定为0×∞ = 使用新建立的符号，（2.4）和（2.5）中的形式最优控制可以写成π*（t，x）=π（1，R（t，x）），（2.14a）π*（t，x）=^π（1- PVt/x，R（t，x））。（2.14b）此外，^π（α，ρ）的自相似性产生π*（t，x）=（1+PVt/x）π*（t，x+PVt），π*（t，x）=（1- PVt/x）π*（t，x- PVt）。根据我们在第2.1.2.3小节中的分析，这在经济上并不奇怪。存在与唯一捐款世界的优势在于，它衡量自然单位的投资——用累计资金。此外，它在数学上表现得更好，因为它可以转化为一个严格的抛物型拟线性波，其性质虽然涉及数学，但在专业文献中已被很好地理解。定理2.4。假设ui>r，对于某些i∈ {1，…，d}，（2.15）初值问题（2.4–2.8）有一个唯一的经典解，属于1,2（[0，T]×（0，∞)). 对应的最大化子π*（t，x）和π*（2.14）中的（t，x）具有xπ的性质*（t，x），分别为。xπ*（t，x），在x上局部Lipschitz连续，在t上均匀，在[0，t]×[0，∞).证据1） 困难的部分是将问题重新表述为可以建立严格抛物线的形式。我们遵循Kilianov\'a和Sevˇcoviˇc（2013）的策略，其关键结果总结在命题a.2中。从方程（A.6）开始，通过对数变换x从（2.4a）中正式获得→ ez，v（t，x）→ u（t，z）。暂时同意命题A.2的假设，我们从（A.3）中建立了辅助函数ρ（t，z）的存在性和性质。随后，从ρone通过（A.5）u构造（A.6）的解，进一步性质为1-uzz/uz=ρ。

因此，间接风险规避系数R（t，x）=-xvxx/vx=ρ（t，ln x）属于C1,2（[0，t]×（0，∞)).2） 现在很容易看出，v（t，x）=u（t，ln x）是HJB方程（2.4a）的唯一经典解，并且类似于Sev（t，x）=v（t，x- PVt）是HJB方程（2.5a）的唯一经典解。3） 为了引用命题A.2，仍需证明在定理2.4的假设下，函数g（ρ）=f（1，ρ）=supπ≥0,π1≤1π(u - r1）-ρπ∑π>，具有性质为0<infρ的局部Lipschitz连续导数∈(0,γ]-g（ρ）≤ supρ∈(0,γ]-g（ρ）<∞. （2.16）Vila和Zariphopoulou（1997）研究了一个相关的约束优化问题。他们的证明清楚地表明，对这个问题进行严格的数学处理在技术上是很困难的。我们遵循Kilianov\'a和Sevˇcoviˇc（2013）中提出的另一种攻击路线，这使得我们能够大大浓缩技术论点。因为区域A={π∈ Rd：π≥ 0, π1 ≤ 1} 是紧凑的，一个hassupπ∈Aπ∑π><∞, （2.17）Milgrom和Segal（2002）指出，g在（0，∞) g（ρ）=-^π(1, ρ)Σ^π(1, ρ)>. （2.18）（2.17）和（2.18）的组合证明了（2.16）中的右侧不等式。根据Klatte（1985，定理2），^π（1，ρ）是ρ的局部Lipschitz连续函数，因此gis也由（2.18）Lipschitz连续。需要说明的是infρ∈(0,γ)-g（ρ）>0，（2.19），其中对于某些i∈ {1，…，d}是必需的。不等式（2.19）通过引理A.1.4）中的精细估计成立，以建立xπ的局部Lipschitz性质*（t，x）注意xπ*（t，x）=x^π（1，R（t，x））。（2.20）我们在步骤3）中已经证明了^π（1，.）局部Lipschitz连续且sinceR（t，x）∈ C1,2（[0，T]×（0，∞)) 该声明如下。

类似的论点适用于toxπ*（t，x）。5） 对于启发式策略π（i）=π（i）（t，x），i∈ {0，1，2，3}，情况更简单，因为π（i）是（t，x）的显式函数，得到的偏微分方程是线性的。对数变换z=ln x，u（t，z）=v（t，ez）将初值问题（2.7）转换为0=u（i）t+u（i）zye公司-z+r+π（i）（u- r1）-π（i）∑π（i）>+u（i）zzπ（i）∑π（i）>，（2.21a）u（i）（T，z）=ez（1-γ)1 - γ. （2.21b）根据引理A.1，方程（2.21a）对于i是严格抛物线的∈ {0, 1, 2, 3}. 经典C1,2解的存在源自标准线性偏微分方程理论（Ladyzhenskayaet al.，1968，定理III.12.1，Lieberman，1996，定理5.14）。6） 在γ=1的情况下，我们取U（x）=limγ→1x1-γ-11-γ=ln x，步骤1）–5）中的论证用u（i）（T，z）=u（T，z）=z.2.4进行。如果π（t，ω）是渐进可测的（Fleming and Soner，2006，定义IV.2.1），则最优值是可容许的控制（0≤ π1 ≤ 1.- 对于（2.6）中的W，PV/W，dWtWt=（r+π（u- r1）dt+πσdBt。（2.22）观察到SDE（2.22）对于紧致集0中的值的任何渐进可测π都有唯一的强解≤ π1 ≤ 1（Fleming和Soner，2006年，方程式IV.2.4之后的段落）。比较原理得出估计值| v（t，x）|≤ eC（T-t） x1-γ/ |1 - γ|对于γ>0，γ6=1，并根据γ选择适当的C>0。对于γ∈ （0，1）验证定理（Fleming and Soner，2006，推论IV.3.1）直接得出π*（t，Wt）是最优马尔可夫控制策略。

由于Fleming和Soner（2006）中的定理IV.3.1要求值函数由内生状态变量的正幂支配，对于γ>1，我们将传递给W-1谁读了SWTDW-1t=-W-1tdWt+W-2td[宽，宽]t=πΣπ>- r- π(u - r1）dt公司- πσdBt。因此，根据弗莱明和索纳（2006）W中的附录D-1任何m>0“sup0的满意度≤t型≤TW公司-1t！m#<∞.这意味着v（t，Wt）是（D）类过程（Jacod和Shiryaev，2003，定义I.1.46）和任何可容许策略π的局部超鞅，因此是asupermartingale（Karatzas和Kardaras，2007，附录3）。对于最优策略π，它是一个局部鞅，因此是一个真鞅（Jacod和Shiryaev，2003，命题I.1.47）*（t，Wt），因此对于γ>1，仍然是非最优马尔可夫策略。最后，对于γ=1，其中U（x）=lnx。根据比较原理，解v（t，x）满足估计lnx≤ v（t，x）≤ ln x+C（T- t） 对于合适的选择C>0。根据It^o公式ln Wt=r+π（u- r1）-πΣπ>dt+πσdBtand因此v（t，Wt）是（D）类过程。再一次，这意味着π*（t，Wt）是一种最优马尔可夫策略。最优性结果总结在以下定理中。定理2.5。回想一下（2.4）中的形式值函数v、（2.9）中相应的风险规避函数R以及最优策略π*in（2.14a）。以下陈述成立。1） （2.4）的解v是相应最优控制问题的值函数，即满足v（0，x）=supπ（ν）∈AxEt公司1.- γ（ДTST）1-γ. （2.23）2）对于任何x≥ 0有一个唯一的过程W满足dwt=（y+rWt）dt+Wtπ*（t，Wt）dStSt公司- r1dt,W=x.3）在（2.23）中的最优策略满足φit=π*i（t，Wt）WtSit，i∈ {1，…，d}Дt=e-rtWt（1- π*（t，Wt）1），且ДS=W。3、经济分析和数值稳健性3.1。说明性示例考虑引言中描述的资产回报对数正态模型。

下面我们展示了一个与发达经济体的股票和公司债券市场广泛一致的风格化模型，以供说明。在数值上，我们将采用r=1%的无风险回报率和漂移u=2%（代表债券回报）、u=10%（代表股票回报）、波动率分别为5%、25%和相关性-0.05的两种风险资产，得出协方差矩阵∑=0.0025-零点零零零六二五-0.000 625 0.0625.投资期限设定为T=40年。我们使用了累积贡献过程Yt=t/t，因此累积贡献被归一化为1。目前的框架提供了能够分析和比较各种非线性贡献率结果的方法，但为了简洁起见，我们这里不考虑它们。表1：启发式策略π（i），i=0，1，2和最优策略π的确定性等价物和内部收益率*.γCE（0）IRR（0）CE（1）IRR（1）CE（2）IRR（2）CE*内部收益率*2 2.2584 3.64%3.3353 5.16%3.3353 5.16%3.6501 5.50%5 1.9720 3.08%2.0153 3.17%2.0153 3.17%2.1782 3.49%8 1.6872 2.42%1.6872 2.42%1.7510 2.58%1.8164 2.74%；低，γ=2，中等（γ=5），高（γ=8）。我们报告了竞争策略在确定性等价财富和确定性等价内部收益率方面的效用。为了获得（2.9）中的函数R（t，x），我们使用Kilianov\'A和_Sevˇcoviˇc（2013）的方法来解决拟线性二阶Cauchy问题（A.3）。解ρ（t，z）=R（t，ez）在笛卡尔网格[0，40]×上计算[-12，6]，时间步长为0.01，空间步长为0.001，左边界条件为Robin型，右边界条件为Neumann型，使用内置的inMatlab函数pdepe。

然后，通过将特征线法应用于起始值为x的线性偏微分方程（A.5），数值求解初值问题（2.4∈ {e-10，e-9, . . . , e-5}. 这些结果随后通过x中的线性回归外推tox=0。最优控制π*通过（2.12）和（2.20）获得。3.2. 启发式策略π（1）和π（2）让我们从比较最优策略π的性能开始*, 如上所述，使用重新缩放的萨缪尔森策略π（0）进行数值计算，从方程（1.5）显式计算。表1显示π*对于中低风险规避水平，显著优于天真策略，而对于高风险规避水平，则表现相对温和。为了更好地了解跑赢大市的来源，我们首先分析了福利损失相对较小的情况γ=8。我们在表2中报告了最佳投资组合权重π*（t，Wt）来自累计储蓄（手头现金）Wt。