近似最优随机寿命的简单显式公式

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Simple Explicit Formula for Near-Optimal Stochastic Lifestyling》
---
作者：
Ale\\v{s} \\v{C}ern\\\'y and Igor Melicher\\v{c}\\\'ik
---
最新提交年份：
2019
---
英文摘要：
  In life-cycle economics the Samuelson paradigm (Samuelson, 1969) states that the optimal investment is in constant proportions out of lifetime wealth composed of current savings and the present value of future income. It is well known that in the presence of credit constraints this paradigm no longer applies. Instead, optimal lifecycle investment gives rise to so-called stochastic lifestyling (Cairns et al., 2006), whereby for low levels of accumulated capital it is optimal to invest fully in stocks and then gradually switch to safer assets as the level of savings increases. In stochastic lifestyling not only does the ratio between risky and safe assets change but also the mix of risky assets varies over time. While the existing literature relies on complex numerical algorithms to quantify optimal lifestyling the present paper provides a simple formula that captures the main essence of the lifestyling effect with remarkable accuracy.
---
中文摘要：
在生命周期经济学中，萨缪尔森范式（Samuelson，1969）指出，最佳投资是由当前储蓄和未来收入现值组成的终身财富中的恒定比例。众所周知，在存在信贷约束的情况下，这种模式不再适用。相反，最优生命周期投资产生了所谓的随机寿命划分（Cairns et al.，2006），因此，对于低水平的累积资本，最好是充分投资于股票，然后随着储蓄水平的增加，逐渐转向更安全的资产。在随机寿命中，不仅风险资产和安全资产之间的比率会发生变化，而且风险资产的组合也会随着时间的推移而变化。虽然现有文献依赖于复杂的数值算法来量化最佳寿命，但本文提供了一个简单的公式，以显著的精度捕捉到寿命效应的主要本质。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
PDF下载：
--> Simple_Explicit_Formula_for_Near-Optimal_Stochastic_Lifestyling.pdf (487.14 KB)

2022-6-2 20:38:02 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Quantitative Optimization accumulated Constraints performance

近似最优随机寿命的简单显式公式，*, Igor MelicherˇcikbaCass商学院，伦敦大学城市，106 Bunhill Row，London EC1Y 8TZ，UKbDepartment of Applied Mathematics and Statistics，Comenius University Bratislava，84248Bratislava，Slovakiabstractin life cycle economics，萨缪尔森范式（Samuelson，1969）指出，最佳投资是由当前储蓄和未来收入现值组成的终身财富中的恒定比例。众所周知，在存在信贷约束的情况下，这种模式不再适用。相反，最优生命周期投资产生了所谓的随机寿命划分（Cairnset al.，2006），因此，对于低水平的累积资本，最好投资于股票，然后随着储蓄水平的增加逐渐转向更安全的资产。在随机寿命中，风险资产和安全资产的比率不仅会发生变化，而且风险资产的组合也会随着时间的推移而变化。虽然现有文献依赖复杂的数值算法来量化最佳生活方式，但本文提供了一个简单的公式，能够以极高的精度捕捉生活方式影响的主要本质。关键词：金融、最优投资、随机生活方式、萨缪尔森范式、电力效用2010 MSC:90C20、90C39、35K55、49J201。引言运筹学从两个角度分析了养老金融资。第一部分着眼于养老金计划整体资产负债管理的实用方法（Sodhi，2005；Mulvey et al.，2008）。第二种方法旨在描述养老金计划中个人成员从早期工作到退休的风险和无风险投资的最佳组合（Cairnset al.，2006；Zhang和Ewald，2010）。

第二个流由和通知*通讯作者电子邮件：ales。塞尔尼。1@city.ac.ukEmail地址：igor。melichercik@fmph.uniba.sk（Igor Melicherˇc'ik）预印本于2019年12月23日在《欧洲运筹学杂志》上被接受，出版版本见10。1016/j.埃约尔。2019. 12. 032本作品根据《知识共享署名-非商业性-非商业性-非衍生化4.0国际许可证》获得许可，该许可证涉及到关于有约束的最优投资和消费的更广泛文献（Zariphopoulou，1994；Vila和Zariphopoulou，1997；Xia，2011；Nutz，2012；Kilianov\'a和ˇSevˇcoviˇc，2013）。与达成最佳养老金投资组合所需的大量数学和数字复杂性相比，明显缺乏易于实施但不损害投资者福利的组合规则。对此类规则的实际需要是非常重要的，但学术界尚未满足这一需求，尽管已有五年的研究。Ayres和Nalebu ff（2013）在一篇独立的文章中提出了生命周期投资组合分配的简单启发式规则，并评估了他们的福利，而没有分析他们的最优性。本文深入了解了如何弥合最佳性和易实施性之间的差距。考虑一个具有d个风险资产的模型，其动力学由随机微分方程（SDE）dStSt=udt+σdBt，（1.1）给出，其中B是d个不相关的布朗运动，u∈ Rd，∑=σ>∈ Rd×不规则。进一步假设存在价值为S=ert的无风险资产。在时间0开始工作并在时间T退休的个人，按每单位时间确定的费率缴纳养老金。养老金基金经理的任务是代表个人对这些供款进行投资，以最大化养老金计划终值的预期效用。

为了便于跟踪，通常考虑公式γ（x）=x1的效用函数-γ1 - γ, γ > 0, γ 6= 1.分析可以扩展到γ=1，U（x）=ln x，我们当然会这样做。我们寻求最优投资计划π*求π*= arg最大π≥0, π1≤1E【Uγ（WT）】受（1.2a）dWt=（rWt+yt）dt+πtWt影响dStSt公司- r1dt. （1.2b）此处WT表示累计储蓄，π表示投资于风险资产的比例。参数γ反映了个人账户的风险规避，由于其易处理性，我们的结果已被安联在斯洛伐克个人养老金账户客户可用的电子表格建模器中采用。按照惯例，π是行向量，而S、u和1是列向量。持有人对π施加的限制反映了养老基金面临的典型制度约束。除了对风险资产的卖空限制外，π≥ 0，存在一个信贷约束，阻止基金经理以未来供款的价值借款，π1≤ 1、众所周知，在没有π约束和贡献（yt=0）的情况下，最优投资策略由π给出*=(u - r1）>∑-1γ=arg maxπ∈Rdπ（u- r1）-γπΣπ>. （1.3）在优化问题（1.2）的背景下，我们需要考虑一种神经固定比例策略π（1）=arg maxπ≥0,π1≤1π(u - r1）-γπΣπ>. （1.4）假设（1.3）中的权重严格为正。作为风险规避γ的函数，最优权重π（1）不再等于根据杠杆约束π1调整的（1.3）风险组合≤ 1，由公式π（0）=（u）给出- r1）>∑-1最大值（（u- r1）>∑-11, γ).

（1.5）相反，对于低水平的风险规避参数γ，π（1）中的相对权重会随着γ的降低而发生变化，从而导致对风险较高资产的替代。有人可以合理地预期，策略（1.4）将提供完全最优投资策略的令人满意的启发式近似值。然而，数值实验表明，最优投资的特征变化比方程（1.4）所建议的更为显著。模拟捕获了养老金金融中一种称为随机寿命划分的现象，这是凯恩斯等人（2006）创造的一个术语，早期将累积储蓄投资于股票，然后随着退休时间的临近和储蓄总额的增加，逐渐将投资转为债券和安全存款是最佳选择。因此，最优策略表现为，对于低水平的累积资金，风险规避系数较低。因为完全最优策略π*在（1.2）中，必须通过动态规划进行数值计算，因为它是时间和累计储蓄Wt的非线性函数，乍一看，很难明确描述寿命效应的特征。在本文中，我们指出，对于生活方式的影响，有一个很好的启发式近似值，由一个不亚于方程（1.4）的明确公式给出。为了得出正确的寿命公式，必须采用萨缪尔森的投资权重观（1.3）。

当个人储蓄计划能够以无风险利率借贷和投资时，r Samuelson（1969）和更明确的Hakanson（1970）指出，如果风险投资来自终身养老金财富Wt=Wt+PVt，则供款的存在不会影响固定比例策略（1.3），式中，Pvt是截至时间t的所有未来养老金缴款的现值。如果我们用πt表示风险投资在终身养老金财富Wt中的比例，则信贷约束πt1≤ 1转化为πt1≤ αt，其中αt=WtWt（1.6）是已累计储蓄与终身养老金的比率。观察到在萨缪尔森世界中，启发式策略π（1）对应于π（1）（αt）=αtπ（1）。还可以观察到，如果权重之和π（1）1严格小于1，那么对于所有αt，π（1）（αt）中的权重之和将严格小于αt∈ （0，1），这不太可能是最优的。因此，我们还考虑了改进的启发式π（2）（αt）=minαtπ（1），1π（1），对应于手头现金投资比例π（2）（αt）=π（1）maxπ（1）1，αt. （1.7）然而，本文的关键突破是通过直接在萨缪尔森世界中制定一种以π（3）（αt）=arg maxπ的形式的神经策略来实现的≥0,π1≤αtπ（u- r1）-γπ∑π>，当以累积储蓄Wt的比例表示时，产生π（3）（αt）=π（3）（αt）αt=arg maxπ≥0,π1≤1π(u - r1）-αtγπ∑π>。（1.8）我们表明，与π（1）和π（2）（αt）不同，策略π（3）（αt）是完全最优策略的最佳近似，因此，对于希望为客户提供生活方式选择的养老金计划提供者来说，它可以作为一个简单的经验，同时也可以指定这种生活方式是最优的。为了进一步减少应用的障碍，我们分析了π（3）对αtf的显式依赖性（对于给定的绑定约束集）。

例如，假设约束π≥ 0不具有约束力，近似最优策略π（3）的形式为π（3）（αt）=（u- r1）>∑-1γαt+>σ-1>Σ-1分钟1.-(u - r1）>∑-1γαt，0. （1.9）注意，非负性约束对αt的约束足够小，此时，对于典型参数值，公式指示所有累计储蓄投资于股票。有趣的是，1>∑-1/1>Σ-11是classicalMarkowitz最小方差投资组合。公式（1.9）抓住了生活方式影响的主要本质，概括地说，代表了我们论文的主要概念贡献。它不仅显示了作为固定风险规避的αt函数的投资组合组成的变化，还清楚地表明，当没有未来的贡献可考虑时（αt=1），投资组合组成将随着γ的减小而变化。根据该公式，如果累积资金水平较低，风险厌恶程度较低，且有效风险厌恶程度等于αtγ，则接近最优的投资比例确实表现为风险厌恶程度较低。本文的组织结构如下。第2节介绍了我们所称的“萨缪尔森变换”，将一个具有渐进供款的模型与一个等价模型联系起来，在该模型中，所有资本都是预付款的，但在如何投资资本方面存在额外的限制。我们回顾了数学理论，该理论保证在有贡献的世界中存在最优策略，并且在没有贡献但有投资约束的世界中也通过萨缪尔森链接存在最优策略。在第3节中，我们提供了竞争策略的经济分析，包括福利影响和投资组合权重。我们通过彻底的稳健性分析来结束这一部分。第4节结束。2、理论2.1。萨缪尔森变换我们用Yt=Rty（u）du表示截至并包括时间t的累计养老金缴款。

假设函数y在[0，T]上是确定的、非负的和不可捕捉的。所有资产（包括无风险资产）的价格过程由S=（S，S1:d）决定。我们假设S1:dis是一个几何布朗运动，其漂移如方程（1.1）所述，而St=Ert表示无风险存款利率为r的银行账户。无风险借款除外。进程pvt=ZTte-r（u-t） dYu，是该时期内所有供款在时间t的现值（t，t）。定义2.1。我们说，Д是价格过程S和累计供款Y的一种自我融资策略，写∈ Θ（S，Y），如果Θ是可预测的，S–可积的，并且ΘS+ZtΘudSu+Yt=ΘtSt。我们用Θx（S，Y）表示所有自我融资策略的集合，初始资本为x，Θx（S，Y）={Д∈ Θ（S，Y）：ΘS=x}。考虑以下交易策略的转变→ Д：Д1：dt=Д1：dt，（2.1）Дt=Дt+e-rtPVt。（2.2）我们称（2.1–2.2）萨缪尔森变换。使用Geman et al.（1995）的数字变化技术可以很容易地看出，Samuelson变换是Θx（S，Y）和Θx+PV（S，0）之间的一对一映射。我们现在可以把注意力转向一种情况，即不再可能用未来的捐款借款。定义2.2。考虑任意的自我融资策略∈ Θx（S，Y）具有任意贡献过程Y。假设≥ 0和S≥ 0、我们定义了投资于可用风险资产的比例向量π（Д），即πi（Д）=νiSiνS，i∈ {1，…，d}，使用约定0/0=0。提案2.3。假设S≥ 0.Samuelson变换是Ax={^1之间的一对一映射∈ Θx（S，Y）：π（Д）≥ 0, π(φ)1 ≤ 1} ，andAx+PV={Д∈ Θx+PV（S，0）：π（Д）≥ 0, π(φ)1 ≤ 1.- PV/ДS}。（2.3）证明。

π(φ) ≥ 0∧ π(φ)1 ≤ 1.<==> ^1S≥ 0∧ ^11:d≥ 0<==> ^1S≥ PV公司∧^11:d≥ 0<==> π(φ) ≥ 0∧ π(φ)1 ≤ 1.- PV/ДS.命题2.3阐明了经典塞缪尔森范式与无风险借款与未来供款之间的联系。虽然在经典情况下，风险比例之和是无约束的，但在（2.3）中，对风险资产投资的总比例存在随机约束。风险比例不得超过1- PV/^1S inSamuelson的世界无贡献。从经济角度来看，风险投资只能从过去的贡献和过去的资本收益中融资。下面，我们将研究这种约束如何影响风险资产的杠杆率和相对投资比例。2.2. Hamilton–Jacobi–Bellman方程在本小节中，我们将最优投资策略与两个Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程的解联系起来。孪生表示在证明存在性和唯一性（第2.3小节）和证明最优性（第2.4小节）中非常重要，但最重要的是，它为接近最优的策略提供了经济动机（第3.3小节）。为简洁起见，下面我们考虑一个恒定的贡献率y。我们首先正式写出世界上有贡献的偏微分方程（PDE），0=supπ≥0,π1≤1vt+vx（y+（r+π（u- r1）x）+xvxxπ∑π>，（2.4a）v（T，x）=x1-γ1 - γ. （2.4b）Vx和Vxx的术语来源于（1.2b）中累积储蓄的动力学。在萨缪尔森的没有贡献的世界中，相应的HJB方程读数为s0=supπ≥0,π1≤1.-PVt/xvt+xvx（r+π（u- r1））+xvxxπ∑π>，（2.5a）v（T，x）=x1-γ1 - γ、 （2.5b）对应终身养老金财富动态dynamicsdWt=rWtdt+πtWtdStSt公司- r1dt.

（2.6）类似地，与启发式策略π（i）对应的值函数∈ 有贡献的世界中的{0，1，2，3}被正式给出为0=v（i）t+v（i）x的解y型+r+π（i）（u- r1）x+xvxxπ（i）∑π（i）>，（2.7a）v（i）（T，x）=x1-γ1 - γ、 （2.7b）其中π（i）被视为（t，x）的固定函数，如引言所示。在萨缪尔森世界中，我们可以得到策略π（i）的类似偏微分方程，0=v（i）t+xv（i）x（r+π（i）（u- r1））+xv（i）xxπ（i）∑π（i）>，（2.8a）v（i）（T，x）=x1-γ1 - γ. （2.8b）这两组方程是等效的，因为初值问题（2.4）的每一个C1,2解通过变换v（t，x）=v（t，x）生成（2.5）的C1,2解- PVt）。相反，（2.5）的任何C1,2解通过v（t，x）=v（t，x+PVt）得到（2.4）的C1,2解。（2.7）和（2.8）之间的对应关系相同。如果我们暂时接受（2.4），则。（2.5），允许最优控制π*, 响应。π*, （2.4）和（2.7）之间也存在某种关系，如果用π代替*对于（2.7）中的π（i），可以得到（2.4）的解。将π（i）替换为π时，（2.5）和（2.8）之间存在相同的对应关系*.在我们检查最优控制之前，将风险规避系数与每个间接效用联系起来是有帮助的，R（t，x）=-xvxx（t，x）vx（t，x），（2.9）R（t，x）=-xvxx（t，x）vx（t，x）。（2.10）最优投资组合策略与以下确定性均值方差效用f有关：[0，∞) × (0, ∞) → R、 有风险投资约束α和风险规避ρ，f（α，ρ）=supπ≥0,π1≤απ(u - r1）-ρπΣπ>. （2.11）由于π的严格凸性和优化区域的紧性，在确定性问题（2.11）中有一个唯一的优化器，我们表示^π（α，ρ），^π（α，ρ）=arg maxπ≥0,π1≤απ(u - r1）-ρπΣπ>.