局部波动下欧式quanto期权的展开公式

然后，Yt服从正态分布，我们可以导出（2.8）中定义的quanto caplet价格的闭合公式。实际上，使用随机微积分的标准结果，我们得到了thatYT=y-∧（T）- ∑（T）+TZλ（T，y）dWLt，（3.5），其中∧（T）=TZλ（T，y）dt，∑（T）=ρTZλ（T，y）σ（T，z）dt。（3.6）因此，正如Brigo和Mercurio（2006）所述，quanto caplet的价格由以下Black-Scholes型公式给出：QCBS（T，K）=δB（0，T）EeYT公司- K+= δB（0，T）CBS（y）（3.7），其中CBS（y）=ey-∑（T）Φ（d）- ekΦ（d），（3.8），其中Φ表示标准正态分布的cdf，k=ln k，d=y- k- ∑（T）+∧（T）p∧（T），d=d-p∧（T）。(3.9)3.2. 一般动力学下的展开式。本小节的目的是在我们考虑伦敦银行同业拆借利率和外汇汇率的一般本地波动率动态时，提供近似quanto期权价格的扩张公式。首先，让我们介绍一些符号和一些假设，以推导这些公式。假设（Rn）。对于某些n，波动率函数λ（·，y）和σ（·，z）分别属于y和z类∈ N、 此外，这些函数及其导数是一致有界的。让我们引入以下常数λ：=max1≤我≤nsup（t，y）∈[0，T]×R|iyλ（t，y）|，Mσ：=max1≤我≤nsup（t，z）∈[0，T]×R|izσ（t，z）|（3.10）Mλ：=最大{Mλ，sup（t，y）∈[0，T]×R |λ（T，y）|}，Mσ：=最大{Mσ，sup（T，z）∈[0，T]×R |σ（T，z）|}（3.11）6 J.HOK，P.NGARE，和A.PAPAPANTOLEONand alsoM：=最大{Mλ，Mσ}，M：=最大{Mλ，Mσ}。（3.12）让我们用H表示函数空间，其增长率最大为指数。换句话说，如果| h（x）|，函数h属于h≤ cec | x |，对于任意x，对于两个正常数cand c。此外，让h（k）表示函数h的第k阶导数。我们将根据支付函数的平滑度来分离分析，并区分两种情况：假设。

支付函数h属于C∞（R，R），紧支撑实值有限可微函数空间。假设。支付函数h几乎处处可微。此外，h和h（1）属于h。备注3.1。第一个假设对应于（理想化的）平滑支付函数，而第二个假设对应于看涨期权和看跌期权。在实际市场中，远期伦敦银行同业拆借利率和远期外汇利率之间的相关性通常不是很大。例如，Boenkost和Schmidt（2003）的实证研究发现其价值在[-0.2, 0.2]. 因此，以下假设与实际市场数据一致。假设（RHO）。远期伦敦银行同业拆借利率和远期外汇利率之间的相关性并不完美，即|ρ|<1。（3.13）为了在误差估计中进行微元分析，我们依赖于平滑特性，这些特性不是由支付函数提供的，而是由基础随机模型的规律提供的；这与Malliavin微积分有关。以下关于远期伦敦银行同业拆借利率波动率的椭圆度假设与假设（R）相结合，即n=4的假设（Rn），保证了充分的平滑性。假设（ELL）。

远期伦敦银行同业拆借利率λ的波动性不会消失，对于正恒量，其波动性为1≤kλk∞λinf≤ CE，（3.14），其中kgk∞= sup（t，y）∈[0，T]×R | g（T，y）|和λinf=inf（T，y）∈[0，T]×R |λ（T，y）|。我们现在考虑以下“代理”或“Black-Scholes”流程：dYt=α（t，y，z）dt+λ（t，y）dWLt，y=y，dZt=β（t，z）dt+σ（t，z）dWXt，z=z，hWL，WXi=ρ，（3.15），并为η引入一系列参数化过程（yη，zη）∈ [0，1]，通过SDEs系统：dYηt=αt、 ηYηt+（1- η） y，ηZηt+（1- η） zdt+λt、 ηYηt+（1- η） y型dWLt，Yη=Y，dZηt=βt、 ηZηt+（1- η） zdt+σt、 ηZηt+（1- η） zdWXt，Zη=Z，hWL，WXi=ρ。（3.16）设置η=1，我们在（3.2）中恢复了局部波动率模型的动力学，因为Yt=Yt和Zt=Zt，而对于η=0，我们在（3.15）中恢复了Black-Scholes代理。假设（R）得出，对于任何t∈ [0，T]，η（Yηt，Zηt）是相对于η的cw；参见Bell（2006）或Kunita（1997）。

设置Yηi，t=iYηtηi，Zηi，t=iZηtηi and通过欧式QUANTO期权7的直接展开公式，SDEs微分（3.16），我们得到dZη1，t=（ηZη1，t+Zηt- z） [βzdt+σzdWXt]，dYη1，t=[（ηYη1，t+Yηt- y） αy+（ηZη1，t+Zηt- z） αz]dt+（ηYη1，t+Yηt- y） λydWLt，（3.17），yη1,0=Zη1,0=0，和dZη2，t=（2Zη1，t+ηZη2，t）[βzdt+σzdWXt]+（ηZη1，t+Zηt- z） [βzzdt+σzzdWXt]，dYη2，t=（2Yη1，t+ηYη2，t）[αydt+λydWLt]+（2Zη1，t+ηzη2，t）αzdt+2（ηYη1，t+Yηt- y） （ηZη1，t+Zηt- z） αyzdt+[（ηYη1，t+Yηt- y） αyy+（ηZη1，t+Zηt- z） αzz]dt+（ηYη1，t+Yηt- y） λyydWLt，（3.18），yη2,0=Zη2,0=0，和dZη3，t=（3Zη2，t+ηZη3，t）[βzdt+σzdWXz]+3（2Zη1，t+ηZη2，t）（ηZη1，t+Zηt- Z） [βzzdt+σzzdWXt]+（ηZη1，t+Zηt- Z） [βzzzdt+σzzzdWXt]，dYη3，t=（3Yη2，t+ηYη3，t）[αydt+λydWL]+（3Zη2，t+ηZη3，t）αzdt+3（ηYη1，t+Yηt- Y） （2Yη1，t+ηYη2，t）[αyydt+λyydWLt）]+3（ηZη1，t+Zηt- Z） （2Zη1，t+ηZη2，t）αzzdt+3[（ηYη1，t+Yηt- Y） （2Zη1，t+ηZη2，t）+（ηZη1，t+Zηt- Z） （2Yη1，t+ηYη2，t）]αyzdt+3[（ηYη1，t+Yηt- Y） （ηZη1，t+Zηt- Z） αyyz+（ηYη1，t+Yηt- Y） （ηZη1，t+Zηt- Z） αzzy]dt+（ηYη1，t+Yηt- Y） αyyydt+（ηZη1，t+Zηt- Z） αzzzdt+（ηYη1，t+Yηt- Y） λyyydWLt，（3.19），Yη3,0=Zη3,0=0。这里，我们使用以下简写符号表示SDE系数的一阶导数αx=αx（t，y，z）y=ηyηt+（1-η） y，z=ηzηt+（1-η） z，x∈ {y，z}，λy=λy（t，y）y=ηyηt+（1-η） y，βz=βz（t，z）z=ηzηt+（1-η） z，σz=σz（t，z）z=ηzηt+（1-η） z，（3.20）和类似的高阶导数。现在让我们介绍一下这种方法的主要工具，它们是随机变量的展开式和quanto期权围绕已知值的支付函数。为了保持符号简单，我们设置了Yi，t=iYηtηi |η=0，Zi，t=iZηtηi |η=0。然后，通过在0附近执行y的泰勒展开，我们得到y=y+Y1，T+Y2，T+ZYη3，T（1- η） dη。

（3.21）（3.15）中代理模型的动力学得出，YTis是一个具有均值和方差qvt的高斯随机变量，其中mt=y+TZα（t，y，z）dt，VT=TZλ（t，y）dt。（3.22）8 J.HOK、P.NGARE和A.Papapantoleon现在对（3.4）中h（YT）附近的收益进行泰勒展开，我们得出以下形式的公式：E[h（YT）]=E[h（YT）]+修正项+误差。（3.23）第一项E[h（YT）]构成了前导阶贡献，这是明确已知的（通过类似于（3.7）的分析公式，用于支付函数h），但仅作为近似值不够精确。因此，在续集中，我们将推导修正项，以达到更好的精度。这些修正条款表示为期权价格公式（3.7）的希腊组合。因此，所有这些项的数值计算都很简单，计算成本相当于分析公式（3.7）。3.3. 定义和符号。在提供主要结果之前，让我们介绍一些将在续集中使用的定义和符号。定义3.2（积分运算符）。积分算子ω定义如下：对于任何可积函数l，设置ω（l）Tt=t的TZtludu（3.24）∈ [0，T]。类似地，对于可积函数（l，l）和t∈ [0，T]设置ω（l，l）Tt=ω（lω（l）T·）Tt=TZtl1，rTZrl2，sdsdr.（3.25）这可以很容易地迭代定义ω（l，l，···，ln）Tt=ω（lω（l，···，ln）T·）Tt。定义3.3（希腊语）。设h是一个适当的支付函数（这样下面的表达式才有意义）。我们准备好了，因为我≥ 0，ghi（YT）=我iEh类年初至今+=0。（3.26）备注3.4（通用常数）。我们使用符号A≤cB声明≤ cB，其中c是一个正常数，取决于模型参数、M、T、Ce和其他宇宙常数。

常数c可能会随着行的变化而变化，但当modelparameters变为0时，常数c仍保持有界。备注3.5（系数符号）。从现在起，系数α、β、λ、σ及其导数将在初始值（y，z）处进行评估，即当我们写α、β、λ、σ时，我们指的是α（·，y，z）、β（·，z）、λ（·，y）、σ（·，z），其导数也同样适用。当我们想强调它们对时间的依赖性时，有时也会使用下标t。3.4. 主要结果。我们现在准备陈述这项工作的主要结果，这些结果提供了围绕代理模型的期权价格的二阶和三阶展开式，从而得出了（3.23）中的精确公式。证明推迟到第4节。定理3.6（价格的二阶展开）。假设条件（R）、（S）、（ELL）和（RHO）有效。然后，期权价格的二阶展开式为：E[h（YT）]=E[h（YT）]+ω（λ，λyλ）Tgh（YT）-gh（YT）+gh（YT）+ρgh（YT）[ω（λσ，λyλ）T+ω（λ，λyσ）T+ω（σ，λσz）T]-gh（YT）[ω（λσ，λyλ）T+ω（λ，λyσ）T]+ρgh（YT）ω（λσ，λyσ）T- gh（YT）ω（λσ，λσz）T+ 错误（3.27）欧洲QUANTO选项9的扩展公式另外，误差估计由| error |提供≤ckh（1）（YT）k+Zkh（1）（ηYT+（1- η） YT）kdηMλinf（1）- ρ） MMT。（3.28）定理3.7（价格的三阶展开）。假设条件（R）、（S）、（ELL）和（RHO）有效。

然后，期权价格的三阶展开式为：E[h（YT）]=E[h（YT）]+Xj=1γ0，j，Tghj（YT）+Xi=1γi，Tρi+误差，（3.29），其中γ0,1，T=（A1，T- A2，T- A3，T）-B1，T-（B2，T+B3，T）γ0,2，T=-A1，T+（A2，T+A3，T）+B1，T+（B3，T+B2，T）+C33，T+C32，Tγ0,3，T=A1，T- 6B1，T- 2（B3，T+B2，T）-C32，T- 3C33，Tγ0,4，T=3B1，T+B2，T+B3，T+C32，T+C33，Tγ0,5，T=-3C32，T- 6C33，Tγ0,6，T=C32，T+2C33，T（3.30），带A1，T=ω（λ，λy）TA2，T=ω（λ，λyy）TA3，T=ω（λ，（λy））TB1，T=ω（λ，λy，λy）TB2，T=ω（λ，λ，λyy）TB3，T=ω（λ，λ，（λy））TC32，T=ω（λ，λy，λ，λy）TC33，T=ω（λ，λ，λ，λ，λy，λλλy）T.（3.31）附录C中的（C.16）、（C.22）、（C.28）和（C.33）分别提供了系数γi，T，i=1、2、3、4的表达式。此外，误差估计由| error |给出≤ckh（1）（YT）k+Zkh（1）（ηYT+（1- η） YT）kdη毫米（λinf（1- ρ） ）T.（3.32）备注3.8（健全性检查）。设ρ=0，则LIBOR SDE（3.2）中的quanto（漂移）调整消失，我们恢复了Benhamou、Gobet和Miri（2010a）中定理2.1和2.3分别给出的二阶和三阶近似公式。如果ρ6=0，则二阶和三阶展开式（3.27）和（3.29）提供了一些关于量化（漂移）调整对期权价格的影响的信息，即相关性ρ的非多项式函数。考虑一个收益为h（y）=（ey）的看涨期权-ek）+，则上述定理提供了其对数变量价格的近似公式。在这种情况下，E[h（YT）]=CBS（y）对应于（3.7）给出的Black-Scholes价格。为了计算修正项，我们需要计算CBS（y）w.r.t.y的导数。下面是一个有用的引理，可以使用Hermitte多项式系统地计算它们。引理3.9。

让n≥ 1那么我们有国家编目局（y）yn=ey-∑（T）Φ（d）+1{n≥2} Φ（d）n-1Xj=1n- 1j(-1） j-1Hj-1（d）（(R)λ√T）j, （3.33）其中Hj，j∈ N、 表示定义为asHj（x）=(-1） 杰克斯nxn（e-x） ，j∈ N、 （3.34）附录A.10 J.HOK、P.NGARE和A.PAPAPANTOLEON4中提供了证明。分析和证明本节提供定理3.6和3.7中提出的quanto定价展开公式的推导，以及相应误差项的分析。在得到一些初步结果后，第4.2节给出了二阶和三阶展开式的展开公式和相应的误差估计。第4.3节介绍了二阶展开式的希腊语推导，而为了简洁起见，三阶展开式的希腊语细节推迟到附录中。4.1. 辅助结果。我们从一些对后续误差分析有用的结果开始。Lp估计值来源于Benhamou等人（2010a，定理5.1）的工作，因此省略了它们的预测。通常，实随机变量Z的Lp范数由kZkp提供=E[| Z | p]p、 p≥ 引理4.1（Lp估计）。假设条件（R）有效。那么，对于所有p≥ 1 andi=1，2，3，我们有SUPT∈[0，T]，η∈[0,1]kZηt- zkp公司≤厘米√T，支持∈[0，T]，η∈[0,1]kYηt- ykp公司≤厘米√T，（4.1）支持∈[0，T]，η∈[0,1]kZηi，tkp≤cMMiTi+1，支持∈[0，T]，η∈[0,1]kYηi，tkp≤cMMiTi+1。（4.2）重复使用以下引理，以推导定理3.6和3.7中的分析公式。It^o引理在（RTtfsds）zt中的应用得到以下结果。引理4.2。设f为连续（或分段连续）函数，Z为Z=0的连续半鞅。然后TZFTZTDT=TZTZtfsdsdZt=TZω（f）TtdZt。（4.3）下面的引理直接来自Malliavin微积分中的对偶关系（参见。

Nualart（2005，引理1.2.1，p.25）），并通过识别它的^o积分和适用被积函数的Skorohod算子。引理4.3。设u是一个平方可积的渐进可测过程，并假设h满足。那么，对于任何我≥ 0，它保持：ETZutdWαth（i）TZλ（t，y）dWLt= ETZutλ（t，y）dhWα，WLith（i+1）TZλ（t，y）dWLt（4.4）带α∈ {L，X}和h（i）（X）=didxih（X），i∈ N、 此外，如果u和hWα，w是确定性的，那么TZutdWαth（i）TZλ（t，y）dWLt=TZutλ（t，y）dhWα，WLitg▄hi+1（YT），（4.5），其中▄h（x）=h（x- mT）。欧洲QUANTO选项的扩展公式114.2。价格扩张和误差估计。我们现在准备提供展开式推导的详细信息以及相应的误差估计。我们从二阶近似的分析开始，将定理3.6的证明分为几个步骤。首先，我们假设收益h是平滑的，并建立仅依赖于h（1）的误差估计，h（1）是h的一阶导数。为此，我们使用Malliavin演算，并对参数化过程的Malliavin导数进行严密估计。然后，我们可以通过使用密度参数的一系列平滑支付来近似（S）下的h。这最后一步现在是标准的，因此为了简洁起见，我们省略了它。4.2.1. 二阶误差分析。如前一节所述，我们首先对YT进行泰勒展开，即yieldsYT=YT+Y1，T+ZYη2，T（1- η） dη，（4.6），然后对平滑收益h进行另一个泰勒展开，然后取期望值。因此，weobtainE[h（YT）]=E[h（YT）]+E[h（1）（YT）（YT- YT）]+Eh（YT- YT）Zh（2）（ηYT+（1- η） YT）（1- η） dηi.（4.7）使用（4.6），（4.7）可以写成asE[h（YT）]=E[h（YT）]+E[h（1）（YT）Y1，T]+错误。（4.8）其中误差=Eh（1）（YT）R1，YT+ Eh（R0，YT）Zh（2）（ηYT+（1- η） YT）（1- η） dηi（4.9），其中r0，YT=ZYη1，Tdη和R1，YT=ZYη2，T（1- η） dη。

（4.10）使用引理4.1中i=2的（4.2）和Cauchy–Schwarz不等式，估计（4.9）中的第一项为Eh（1）（YT）R1，YT≤ckh（1）（YT）kMMT。（4.11）（4.9）中的第二项由于h（2），需要进行一些额外的工作。我们使用Malliavin微积分中的分部积分公式来编写它，只使用h（1）。为此，我们依赖LemmaB。2并参考附录5.3.3，了解与Malliavin微积分相关的符号。让我们将这个结果应用于V=（R0，YT），这样我们就可以写R0，YTZh（2）ηYT+（1- η） 年初至今(1 - η） dηi=ZEhh（2）ηYT+（1- η） 年初至今R0，YTi（1- η） dη=ZEhh（1）ηYT+（1- η） 年初至今Vηi（1- η） dη。（4.12）12 J.HOK、P.NGARE和A.Papapantole现在使用Lemmata 4.1和B.1中的Lpestimates，我们可以很容易地显示K（R0，YT）k1,2p≤c（MMT）（4.13）和getkVηkp≤c（米√T）（M√T）（1- ρ） λinf√T、 （4.14）因此，我们可以推断|呃R0，YTZh（2）ηYT+（1- η） 年初至今(1 - η） dηi|≤捷克克朗（1）ηYT+（1- η） YT）dηMλinf（1- ρ） MMT。（4.15）因为λinf≤cMand（1-ρ)≥ 1，我们最终获得|错误|≤ckh（1）（YT）k+Zkh（1）ηYT+（1- η） 年初至今kdηMMλinf（1- ρ） T.（4.16）到目前为止，我们仅使用平滑函数h的h（1）来限定误差。为了在h满足的假设下获得类似的误差界，我们可以使用密度或正则化参数通过一系列平滑函数来近似h，如Benhamouet al.（2009，第5.2节，步骤4）。4.2.2. 三阶误差分析。我们再次遵循与二阶情况相同的策略。通过YT的泰勒展开式，我们得到了YT=YT+Y1，T+Y2，T+ZYη3，T（1- η） dη，（4.17），并再次执行泰勒展开以获得平滑收益h，并取期望值weobtainE[h（YT）]=E[h（YT）]+Eh（1）（YT）（YT）- YT）+ Eh（2）（YT）（YT）- YT）+ E（年初至今）- YT）Zh（3）（ηYT+（1- η） YT）（1- η） dη.