局部波动下欧式quanto期权的展开公式

（4.18）使用（4.17），后者变成[h（YT）]=Eh（YT）+ Ehh（1）（YT）Y1，Ti+Eh（1）（YT）Y2，T+ E“h（2）（YT）Y1，T#+误差，（4.19）欧式QUANTO选项13的展开公式，其中误差=Eh（1）（YT）ZYη3，T（1- η） dη（4.20）+E（年初至今）- YT）Zh（3）（ηYT+（1- η） YT）（1- η） dη（4.21）+E“h（2）（YT）（年初至今）- YT）- Y1，T#. （4.22）让我们将错误中的每个术语分别绑定。第一项（4.20），使用（4.2）和i=2（在Lemma 4.1中）以及Cauchy–Schwarz不等式，通过Eh（1）（YT）ZYη3，T（1- η） dη≤ckh（1）（YT）kMMT。（4.23）第二项（4.21）的处理与前一节相同。我们记得YT-YT=R0，YT=RYη1，Tdη，并将k=2的引理B.2应用于V=（R0，YT），这样我们可以编写（R0，YT）Zh（3）ηYT+（1- η） 年初至今(1 - η） dη=ZEhh（3）ηYT+（1- η） 年初至今（R0，YT）i（1- η） dη=ZEhh（1）ηYT+（1- η） 年初至今Vηi（1- η） dη。（4.24）使用Lemmata 4.1和B.1中的Lpestimates，我们很容易地显示出K（R0，YT）k2,2p≤c（百万吨），（4.25）hencekVηkp≤cMλinf（1）- ρ)MMT。（4.26）因此，我们可以推断E（R0，YT）Zh（3）ηYT+（1- η） 年初至今(1 - η） dη≤捷克克朗（1）ηYT+（1- η） 年初至今kdηMM（λinf（1- ρ） ）T.（4.27）至于第三项（4.22），让我们首先更明确地表示（YT-YT）-Y1，T.我们定义（η）=YηT- 年初至今（4.28）14 J.HOK、P.NGARE和A.Papapantoleonan进行了一次二阶泰勒展开，大约0到getf（η）=f（0）+f（1）（0）η+f（2）（0）η+ηZ（η- t） f（3）（t）dt（4.29），其中f（0）=f（1）（0）=0 f（1）（η）=2Yη1，T（YηT- YT）f（2）（0）=2Y1，Tf（2）（η）=2Yη2，T（YηT- YT）+（Yη1，T）f（3）（0）=6Y1，TY2，Tf（3）（η）=2Yη3，T（YηT- YT）+3Yη1，TYη2，T.（4.30）设置η=1 in（4.29），我们得到（YT- YT）=Y1，T+Z（1- η)Yη3，T（YηT- YT）+3Yη1，TYη2，Tdη。

（4.31）将（4.31）替换为（4.22），并使用Fubini定理，我们得到h（2）（YT）Z（1- η)Yη3，T（YηT- YT）+3Yη1，TYη2，Tdη=Z（1- η） E类h（2）（YT）（Yη3，T（YηT- YT）+3Yη1，TYη2，T）dη=Z（1- η） E类h（1）（YT）Vηdη, （4.32）对于最后一个等式，我们应用了引理B.2的分部积分公式，其中v=Yη3，T（YηT-YT）+3Yη1，TYη2，t对于k=1。现在应用Cauchy–Schwartz不等式，我们得到以下误差估计E“h（2）（YT）（年初至今）- YT）- Y1，T#≤ckh（1）（YT）kZkVηkdη，（4.33），而Lemmata 4.1和B.1中的Lpestimates产量，对于p≥ 1，thatkV k1,2p≤cMMT（4.34）和kVηkp≤cMλinf（1）- ρ)MMT。（4.35）因此，第三个误差项（4.33）通过E“h（2）（YT）（年初至今）- YT）- Y1，T#≤ckh（1）（YT）kMλinf（1）- ρ)MMT。（4.36）最后，再次使用λinf≤cMand 1≤(1-ρ） ，通过重新组合（4.23）、（4.27）和（4.36）中的所有估计值，三阶误差可以估计如下：|误差|≤ckh（1）（YT）k+Zkh（1）（ηYT+（1- η） YT）kdη×Mλinf（1）- ρ)MMT。（4.37）欧洲QUANTO选项的扩展公式154.3。希腊系数的计算。本小节致力于计算定理3.6的二阶展开式中的修正项。三阶展开式的类似推导推迟到附录C中。修正项以代理模型（回忆定义3.3）周围支付函数的希腊语表示，我们提供了一个有用的引理用于计算。引理4.4。设θ为连续（或分段连续）函数，f为满足假设的函数。

然后它保持住了\'\'fTZλtdWLtTZξtθtdt= ω（α，θ）Tgf（YT）+ω（λ，θ）Tgf（YT），（4.38）E\'\'fTZλtdWLtTZγtθtdt= ω（β，θ）Tgf（YT）+ρω（σλ，θ）Tgf（YT），（4.39）E\'\'fTZλtdWLtTZY1，tθtdt=ω（α，αy，θ）T+ω（β，αz，θ）Tgf（YT）+ω（λ，αy，θ）T+ω（α，λyλ，θ）Tgf（YT）（4.40）+ω（λ，λyλ，θ）Tgf（YT）+ρω（σλ，αz，θ）Tgf（YT），E\'\'fTZλtdWLtTZZ1，tθtdt= ω（β，βz，θ）Tgf（YT）+ρω（σλ，βz，θ）T+ω（β，λσz，θ）Tgf（YT）（4.41）+ρω（σλ，λσz，θ）Tgf（YT），E\'\'fTZλtdWLtTZξtθtdt=ω（λ，θ）T+2ω（α，α，θ）Tgf（YT）+2ω（λ，α，θ）T+ω（α，λ，θ）Tgf（YT）（4.42）+2ω（λ，λ，θ）Tgf（YT），E\'\'fTZλtdWLtTZγtθtdt=ω（σ，θ）T+2ω（β，β，θ）Tgf（YT）+2ρω（σλ，β，θ）T+ω（β，σλ，θ）Tgf（YT）（4.43）+2ρω（σλ，σλ，θ）Tgf（YT），E\'\'fTZλtdWLtTZξtγtθtdt=ω（α，β，θ）T+ω（β，α，θ）Tgf（YT）+ω（λ，β，θ）T+ω（β，λ，θ）Tgf（YT）（4.44）+ρhω（λσ，θ）Tgf（YT）+ω（σλ，α，θ）T+ω（α，σλ，θ）Tgf（YT）+ω（λ，σλ，θ）T+ω（σλ，λ，θ）Tgf（YT）i，其中'f（x）=fy+RTαtdt+x, 而过程ξ和γ分别在（4.47）和（4.48）中定义。16 J.HOK、P.NGARE和A.PAPAPANTOLEONProof。等式是通过使用It^o公式进行艰苦的计算，然后依次应用引理4.2和4.3推导出来的。为了简洁起见，省略了细节。4.3.1. 二阶近似的希腊系数。（4.8）中的E[h（1）（YT）Y1，T]提供了二阶展开的修正项，我们现在的目标是明确这一点。让我们回顾方程式（3.15）–（3.19），即Y1，t=Yηtη|η=0和Z1，t=Zηtη|η=0和Remark3.5，它们共同产生y1，T=TZξTαy，tdt+TZγTαz，tdt+TZξTλy，tdWLt，（4.45）Z1，T=TZγTβz，tdt+TZγTσz，tdWXt，（4.46）ξT=Yt- y=tZαsds+tZλsdWLt，（4.47）γt=Zt- z=tZβsds+tZσsdWXt。（4.48）让我们也引入移位的支付函数'h（i）（x）=h（i）y+TZαtdt+x, 对于i∈ N、 （4.49）那么我们得到了ehh（1）（YT）Y1，Ti=E(R)h（1）TZλtdWLtTZξtαy，tdt+ E(R)h（1）TZλtdWLtTZγtαz，tdt+ E(R)h（1）TZλtdWLtTZξtλy，tdWLt.

（4.50）通过应用Lemmata 4.3和4.4，我们得到(R)h（1）TZλtdWLtTZξtαy，tdt= ω（α，αy）Tgh（YT）+ω（λ，αy）Tgh（YT），（4.51）E(R)h（1）TZλtdWLtTZγtαz，tdt= ω（β，αz）Tgh（YT）+ρω（σλ，αz）Tgh（YT），（4.52）E(R)h（1）TZλtdWLtTZξtλy，tdWLt= ω（α，λyλ）Tgh（YT）+ω（λ，λyλ）Tgh（YT）。（4.53）更具体地说，第一个等式后面紧跟着（4.38），第二个等式后面紧跟着（4.39）。对于第三个等式，我们应用第一个引理4.3，然后（4.38）。欧式QUANTO期权17的展开公式最后，通过收集所有项，通过下面的（4.54）传递到初始参数，并将它们写成ρ中的二阶多项式，我们得到（3.27）。ω（α，αy）T=ω（λ，λyλ）T+ρω（λ，λyσ）T+ω（λσ，λyλ）T+ ρω（λσ，λyσ）T，ω（β，αz）T=ρω（σ，λσz）T，ω（λ，αy）T=-ω（λ，λyλ）T- ρω（λ，λyσ）T，ω（α，λyλ）T=-ω（λ，λyλ）T- ρω（λσ，λyλ）T，ω（λσ，αz）T=-ρω（σλ，λσz）T.（4.54）5。数值实验本节致力于数值实验，并将quanto期权的二阶和三阶展开式与“市场”近似进行比较。5.1. 时间齐次双曲局部波动模型。我们考虑时间齐次双曲局部波动模型，其中远期伦敦银行同业拆借利率和远期外汇汇率的SDE由（2.2）和（2.5）提供，而系数λ（·，y）和σ（·，z）在时间上是齐次的，其形式为：λ（y）：=νL1.- βL+βLβL+（βL- 1） βLqy+βL（1- y）- βLy, （5.1）σ（z）：=νX1.- βX+βXβX+（βX- 1） βXqz+βX（1- z）- βXz, （5.2）式中，νLandνX（均为严格正）表示波动性水平，而βLandβX（均为[0，1]中的值）表示偏斜参数。

该模型对应于βL=βX=1的Black-Scholes模型，并且当βLorβX6=1时，隐含波动率表面呈现出倾斜。它由J¨ackel（2008）引入，其行为类似于CEV（恒定方差弹性）模型，并已在Bompis和Hok（2014）中用于数值实验。该模型的优点是，零不是一个可达到的边界，当潜在的伦敦银行同业拆借利率或外汇利率接近零时，可以避免CEV模型中存在的一些数值不稳定性；参见Andreasen和Andersen（2000）。虽然有界性和椭圆度的假设没有完全满足，但我们有理由期望我们的近似公式对于该模型仍然有效，并应用定理3.6和3.7。另一方面，看涨期权的回报确实满足平滑性假设，因为回报在任何地方都可以与履约水平的扭结区分开来，并且呈指数增长。随后的数值实验表明，尽管一些理论假设不令人满意，但导出的近似值在这种情况下表现良好。5.2。欧式全托期权定价的市场近似。常见的市场实践是使用带quanto漂移修正的Black-Scholes类型公式分析评估欧洲quanto看涨期权/看跌期权。更准确地说，对于到期日为T、罢工和付款日期为T的caplet，市场近似值由cm（T，K）=δB（0，T）提供ey公司-qTΦ（d）- ekΦ（d）, （5.3）式中，q=ρλimp（T，ATM）σimp（T，ATM），k=ln k，Φ是标准正态分布的cdf，d=y- k- ρλimp（T，ATM）σimp（T，ATM）T+λimp（T，k）Tλimp（T，k）√T、 （5.4）d=d- λimp（T，k）√T，（5.5），其中λimp（T，ATM），σimp（T，ATM）分别是远期伦敦银行同业拆借利率和到期的外汇远期利率的ATM隐含波动率，而λimp（T，k）是18 J.HOK，P.NGARE和A。

PAPAPANTOLEONforward伦敦银行同业拆借利率（LIBOR rate with strike k）。这种方法类似于Christoffersen和Jacobs（2004）或Romo（2012）中考虑的“从业者”Black-Scholesmodel。观察到当ρ=0.5.3时，近似公式（5.3）通过构造变得精确。二阶和三阶展开的比较结果以及市场近似值。5.3.1. 一组参数。使用以下参数值进行数值实验：L=6%、X=1、νL=8%、βL=0.3、νX=15%和βX=0.5。它们被选择为与市场价值相比较，参见Hull and White（2000）和Ng and Sun（2008）。为了说明这一点，图5.1和图5.2分别显示了远期伦敦银行同业拆借利率的隐含波动率和使用这些参数生成的各种到期日的远期外汇利率。它们代表了利率和外汇市场中通常观察到的偏斜。定价的挑战部分来自远期伦敦银行同业拆借利率和外汇汇率之间相关参数ρ的选择，因为其水平在市场上无法直接观察到，并且对定价有重大影响，如图5.3所示。在实践中，其水平要么由交易者选择，要么使用历史数据进行估计。Boenkost和Schmidt（2003）的经验分析表明，估计的相关性取决于基础利率和考虑的货币对。一般来说，ρ不太大，属于该区域[-0.2, 0.2]. 销售该产品的交易员可以通过采用较低或负相关水平，以保守的方式选择其水平（较高的售价），因为期权价格随ρ下降。

出于这些原因，为了测试我们的公式，我们考虑了相关水平ρ∈ [-0.5, 0.5].为了使测试更全面，我们考虑了各种相关的到期日（1年、6年、10年和15年）和罢工（范围随到期日的增加而增加）。这大致涵盖了货币期权和非常货币期权的全部内容。5.3.2. 基准。通过使用欧拉格式离散扩散过程，使用蒙特卡罗方法计算模型价格基准。选择蒙特卡罗（MC）路径数和离散化步骤数，使95%的密度区间在2个基点以内。5.3.3. 精确试验结果如图5.4、5.5、5.6和5.7所示。以下观察结果来自这些测试及其说明：一般来说，长达15年的测试结果表明，二阶和三阶近似公式提供了非常好的精度。表5.1给出了各种相关值的一些统计数据（绝对差异的平均值和最大值）。二（三）阶近似公式的最大平均误差为2.8（2.2）bps，相关值等于-0.5. 二阶（三阶）近似的最大误差约为14（8.4）bps。与二阶近似公式相比，三阶近似公式具有更好的精度，这是意料之中的。市场近似公式也提供了良好的精度；统计见表5.2。这是因为该公式对于ρ=0是精确的，这在相关参数相当小的情况下会产生良好的精度。事实上，marketapproximation公式的最大平均误差为3.3个基点，相关值等于-0.5.

市场近似值的最大误差约为12.6个基点。为了比较不同的方法，让我们提到，当量子效应的影响变得重要时（即ρ=±0.5），三阶近似值的精度优于市场近似值（见图5.4和5.7），而二阶近似值和市场近似值的精度是可比的。对于减少的量子效应（即ρ=±0.2），三阶近似值和市场近似值的精度相似。实际上，在ρ的极限情况下→ 0，市场近似值通过构造变得精确。我们的扩展公式的主要优点是为欧洲QUANTO期权19提供了误差扩展公式的精确估计，该公式与期权的到期日（T）、局部波动函数的水平和曲率（Mand M）以及QUANTO影响（ρ）直接相关。0.230.240.240.250.260.260 0.05 0.1 0.15Libor隐含vol Strike T=100.210.230.250.270.290.31-0.02 0.03 0.08 0.13 0.18Libor隐含vol Strike T=150.230.280.330.380.430.480.530.580.630.680 0 0.05 0.1 0.15Libor隐含vol Strike T=10.230.250.270.290.310.330.35-0.02 0.03 0.08 0.13Libor隐含vol Strike T=6图5.1。对于各种到期日，远期伦敦银行同业拆借利率隐含波动率由参数SL=6%、νL=8%、βL=0.3生成。相关性平均值（二阶）最大值（二阶）平均值（三阶）最大值（三阶）-0.5 0.00028 0.00141 0.00022 0.00084-0.2 0.00014 0.00074 0.00006 0.00020.2 0.00007 0.00041 0.00004 0.000170.5 0.00007 0.00035 0.00003 0.00011表5.1。绝对差异的平均值和最大值统计，对于考虑的各种相关值，相关平均值（市场近似值）最大值（市场近似值）-0.5 0.00033 0.00126-0.2 0.00005 0.000180.2 0.00006 0.000270.5 0.00023 0.00087表5.2。

绝对差异的平均值和最大值统计，对于各种相关值，请参考Pendix A。引理证明3.9证明。让我们写下cbs（y）=e-∑（T）~CBS（y）（A.1）20 J.HOK、P.NGARE和A.PAPAPANTOLEON0.130.140.150.160.170.180.190.20.55 0.75 0.95 1.15 1.35FX隐含Vol Strike T=10.120.130.140.150.160.180.5 1 1 1.5 2FX隐含Vol Strike T=60.110.130.140.150.160.170.180.5 1 1 1 1.5 2 2.5 3FX隐含Vol Strike T=100.100.110.120.130.140.150.160.160.170.180.190.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5FX隐含Vol Strike T=15图5.2。不同到期日的外汇远期利率隐含波动率，参数X=1，νX=15%，βX=0.5。0.010.0150.020.0250.03-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6价格相关性ATM quanto期权价格0.0150.020.0250.030.0350.04-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6货币quanto期权价格中的价格相关性0.0080.0130.0180.023-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6货币quanto期权价格中的价格相关性图5.3。相关参数ρ对货币内（K=4%）、ATM（K=6%）和货币外（K=8%）期权价格的影响。式中▄CBS（y）=eyΦ（d）- ekΦ（d）（A.2）欧洲QUANTO期权的扩展公式21-0.00004-0.000020.000000.000020.000040.000060.000080.05 0.1 0.15误差走向Rho=-0.5，T=1 2阶近似值3阶近似值市场近似值-0.00030-0.00020-0.000100.000000.000100.000200.000300 0.05 0.1 0.15误差走向Rho=-0.5，T=6个第二订单近似值第三订单近似值市场近似值-0.00080-0.00060-0.00040-0.000200.000400.000600.000800 0.05 0.1 0.15个错误打击Rho=-0.5，T=10个第二订单近似值第三订单近似值市场近似值-0.00200-0.00150-0.00100-0.000500.000500.001000.001500 0.05 0.1 0.15个错误打击Rho=-0.5，T=15第二订单近似值第三订单近似值市场近似值图5.4。

当ρ=-0.5.当▄k=k+σ（T），d=y-k+∧（T）p∧（T），d=d-p∧（T）。（A.3）对于n=1，我们得到yCBS（y）=eyΦ（d）。对于n≥ 2，我们对乘积eyΦ（d）应用莱布尼兹公式。附录B.MALLIAVIN演算我们首先介绍了MALLIAVIN演算的一些定义和符号，详情请参见Bally、Caramellino和Lombardi（2010）或Nualart（2005），然后为MALLIAVIN导数的Lpestimates和部分公式积分提供了两个引理。让我们写出WL=ρWX+p1- ρfWL，其中（fWLt）0≤t型≤这是一个独立于（WXt）0的布朗运动≤t型≤T、 考虑二维布朗运动的Malliavin演算（gWL，WX）。设DitF，i=1，2，表示随机变量F wrt在时间t对布朗运动i的Malliavin导数，类似地，对于高阶导数，其中例如di，jt，tF=DitDjtF。在正则性假设（R）下，使用Nualart（2005），我们知道对于任何t≤ T，任意η∈ [0，1]和任意p≥ 1，我们有（Yηt，Zηt）∈ D4，p，（Yη1，t，Zη1，t）∈ D3，p，（Yη2，t，Zη2，t）∈ D2，pand（Yη3，t，Zη3，t）∈ D1，p.任何时刻的存在都很容易确定，参见Priouret（2005）或Nualart（2005）。我们重点研究了SDEs系统的Malliavin可微性及其Lpestimates。22 J.HOK、P.NGARE和A。