受观测延迟影响的隐藏事件数建模

图8显示了3个案例研究的最大似然估计：报告保险延误动态151.001.251.501.751 2 3 4 5 6 7 8 10111213141516171819202122232425262728293031月日多重复制效应（a）发生日期1.01.11.21.3月1日2月3日4月6月7月8日9月11日12月10日多重复制效应（b）发生日期0.000.250.500.751.00无国家节假日假日非官方假日假日类型乘数效应（c）报告假日0.80.91.0一月二月三月四月五月六月七月八月九月十月十一月十二月多重效应（d）报告月延迟=0延迟=1延迟=2延迟=3延迟=4延迟=5延迟=6延迟>=7百万T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽T宽weekMultiplicativeEffect（e）一周的报告日0.000.050.100.150.200.250 100 200 300 400 500索赔发生后的延迟天数乘法效应（f）延迟图8：报告暴露参数exp（γ）在（10）中95%置信区间的最大似然估计。（10）中的报告暴露参数exp（γ）。结合这些点估计值，我们绘制了95%置信区间，该区间源自γ的Fisher信息矩阵。图8a显示了事故发生当月的影响。对于每月第一或第十五天发生的事故，报告风险较低，这意味着这些天发生的事故有更长的报告延迟。这3个案例研究：保险16中的报告延迟动态很可能是数据质量问题的结果。

长时间延迟报告索赔的被保险人可能不再记得相应事故的确切发生日期，从而导致他们在月初（第一天）或月中（第十天）登记发生日期。这导致每月第一个月和第十五个月发生的事件的平均报告延迟增加。同样的影响在本月5日、10日、20日、25日和30日可以看到，程度较轻。报告风险敞口结构中包括两个月的影响。图8b显示了exp（γocc月）的影响，其中考虑了事故发生的月份。这些参数表明，对于年初（1月、2月）左右发生的事故，报告速度较慢，而夏季报告速度较快。图8d显示了报告月份的参数exp（γrep.month）。我们观察到，夏季月份报告的风险敞口有所减少。有点违反直觉，我们发现参数γocc。MonthHandγrep.Monthlarge为在同一日历月内发生和报告的事故相互提供帮助。当综合这些影响时，夏季报告暴露量的减少对于夏季之前发生的索赔最为明显。假日图8c显示了假日对报告风险的影响。在国家节假日几乎没有任何索赔报告，而在非官方节假日（耶稣受难日和新年前夕），报告概率降低了50%以上。这些估计值与图5中的实证分析结果具有相同的重要性。报告星期几我们通过事故发生后经过的时间之间的相互作用，将星期几的影响纳入报告暴露规范（10）- t和报告索赔的一周中的哪一天。

图8e显示了基于事故发生后经过的时间的估计系数分组。对于所有延误，我们注意到周末的报告风险有所减少，周六几乎没有报告，周日几乎没有报告。这种相互作用很重要，因为估计参数在很大程度上取决于所考虑的延迟。例如，周五或周六发生的事故通常在下周一报告，这分别对应于两天和三天的延迟。由于周一是参考水平，其他工作日的固定参数在这些延迟时较低。图8e中最右侧的面板显示了一周中报告日期对延迟超过一周的影响。对于这些较长的延迟，所有工作日（周一至周五）都有类似的报告风险。延迟图8f显示了（10）中报告暴露成分exp（γ延迟）随事故发生后时间的变化。这种影响衡量了特定延迟下的报告概率，从而使随时间变化的报告延迟更像3案例研究：保险中的报告延迟动态17指数分布。我们根据在线附录C的策略预先确定了23个箱子。发生后的前八天，将在单独的箱子中结束。这些短期延迟很重要，因为许多索赔在发生日期后很快就会得到报告。此外，图8f显示，这些延迟的校准效应变化很大。该模型还包含BIN，以捕获准确延迟14、21和31天以及一年后报告的报告概率的增加。报告延迟增加时，箱子大小变大。最后两个垃圾箱【158364】和【370，∞) 让模型捕捉分布的尾部。3.4超时预测我们预测隐藏事件的数量，即。

IBNR索赔计数，遵循第2.3节中概述的策略。由于非参数发生率估计对于最近观察到的事件很少的事件日期是不可靠的，我们提出了一种实用的方法来克服这一缺点。保险公司在计算服务时使用非常特定的评估日期，例如季度末、学期末或财政年度末。通常，计算不会在这些准确的评估日期进行，而是在几天后（即所谓的计算日期）进行。因此，我们利用2004年9月5日之前的数据预测了2004年8月31日隐藏事件的数量。因此，粒度模型预测2004年8月31日将有2012.7宗未报告索赔，而IBNR索赔的真实数量（基于截至2009年8月31日的数据）为2049宗。隐藏事件的未来观察我们的每日模型将2012.7索赔的总IBNR点估计值按未来报告日期进行拆分。图9a显示了2004年9月和10月针对2004年8月31日之前发生的事故每日报告的索赔估计数。图9a中的虚线表示计算日期。我们不会对计算日期之前的日期进行预测，因为我们观察到了这些数据。该模型准确预测了周末的低报告数量。这是在报告风险敞口模型中添加星期几影响的优点。此外，总体报告模式与观察值非常匹配。图9b按月汇总了这些每日报告计数。该图显示了2004年8月后的前12个月报告的索赔估计数量。在这几个月里，观察到的和预测到的IBNR计数非常相似。隐藏事件数量的演变我们的粒度模型的主要重点是估计IBNR总数。

图10的顶部面板绘制了2003年9月至2004年8月期间每个评估日期未报告索赔的预计数量。每个点的估计值都是一个过期的IBNR估计值，该估计值是根据相应评估日期五天后可用的历史数据校准的粒度模型得出的。我们将这些估计数与2009年8月31日之前根据数据计算的IBNR索赔实际数量进行了比较。我们的模型认识到，在案例研究3中，IBNR计数的趋势是未报告的索赔更多：报告保险延迟动态18050100年9月1日9月15日10月1日10月15日11月1日报告日期报告索赔（a）Daily0300600900年9月2004年11月2004年1月2005年3月2005年7月报告月份报告索赔方法模型（b）monthlyFigure 9：报告事故索赔数量的逾期预测发生在2004年8月31日之前。这些预测与实际报告的索赔数量进行了比较。（a） 预计未来两个月的每日水平。虚线表示最后观察的日期（2014年9月5日）。（b） 下一个十二个月按报告月份汇总的估计数。夏季与冬季相比。该模型还正确预测了由于这一时期的假期，在年初（此处：2004年1月1日）BNR索赔的增加。图10的中间面板显示了预测误差，即IBNR索赔的预测数量与实际计数之间的差异。granularmodel的预测误差集中在零左右，没有大的异常值。图10的底部面板放大了2003年10月和11月的估计日期。

该图显示，星期几参数允许模型准确捕捉BNR计数中的工作日模式。通过聚合数据模型，我们对聚合数据的粒度方法进行了基准测试，即Mack的链梯法Mack（1993），这是索赔保留的行业标准。该方法将时间离散化，并根据发生周期和离散化的报告延迟将观察到的事件聚合到二维表中。然后，泊松广义线性模型（GLM）对事件和报告期对这些聚合记录的影响进行建模。我们研究了两个聚合级别，即基于年度聚合和基于28天网格的聚合。我们参考Huang et al.（2015）更详细地讨论了粒度数据与二维表中聚合数据的保留。图11显示了2003年9月至2004年8月期间在每个日期评估的两种链梯实现下的估计IBNR计数。两种版本的链梯都检测到未报告索赔计数的季节性模式，这与发生过程中的季节性有关。年终假期和IBNR数量的相应增加是报告过程中的年度效应。当季节性周期与离散时间周期重合时，链梯假设考虑了季节性影响。

因此，年度链梯法正确预测了在3个案例研究结束时IBNR计数的增加：报告保险延迟动态1915001750200022502003年10月2004年1月2004年4月2004年7月评估日期未报告的索赔-750-500-25002500 2003年1月2004年4月2004年7月评估日期预测错误16001800200000年10月1日10月15日11月15日12月1日评估日期未报告的索赔数据粒度图10:2003年9月至2004年8月期间每个估价日，通过粒度保留法对总IBNR计数进行的过期预测。使用2009年8月之前的数据，将这些估计值与观测值进行比较。中间面板显示预测和实际IBNR计数之间的差异。底部面板放大了2003年10月和11月的估计值。年，而28天链梯法严重低估了这些日期的IBNR计数。图11的底部面板放大了2003年10月至11月的时间段。28天链梯法检索一周中的哪一天，因为每个箱子的长度是7的倍数，因此包含相同的工作日。每年的链梯法有365天或366天。由于两个箱子的大小都不能被7整除，因此年度链梯法无法识别星期几的影响。这导致系统地高估了周五的IBNR计数，低估了周日的IBNR计数。图11的中间面板显示了预测和实际IBNR计数之间的差异。28天的链梯无法捕捉假期影响，导致每年这个时候出现大量低估。年度链梯总体表现较好，但预测误差对计算储量的星期几很敏感。

同时捕获假日和一周中的某一天的影响需要在每日级别指定一个模型。链梯法假设报告延迟分布和索赔发生期之间是独立的。由于图5和图6表明，该假设无法验证每日水平，因此每日链阶梯将无法很好地执行。我们的粒度方法放弃了这个独立性假设，从而共同解释了这两种现象。3案例研究：保险中的报告延迟动态2015001750200022502003年10月2004年1月2004年4月2004年7月评估日期未报告的索赔-750-500-25002003年1月2004年4月2004年7月评估日期预测错误16001800200010月01日10月15日11月15日12月01日评估日期未报告的索赔数据链阶梯年链阶梯28天图11：总IBNR的超时预测2003年9月至2004年8月期间的每个评估日，按年度和28天链梯法计算。使用2009年8月之前的数据，将这些估计值与观测值进行比较。中间的面板显示了预测和实际IBNR计数之间的差异。下面的面板放大了2003年10月和11月的估计值。3.5情景测试3.5.1调查情景我们通过沿四种不同情景模拟的投资组合来进一步评估我们的方法。Eachscenario从1998年1月1日起从保险组合中生成数据。图12概述了这些数据集的结构。保险人观察计算日期之前报告的索赔（图12中的灰色区域），并预测评估日期尚未报告的索赔数量（图12中的阴影区域）。我们考虑了两个评估日期（2003年12月31日和2004年8月31日），以可视化年终假期对IBNR索赔数量预测准确性的影响。

这四种情景侧重于对IBNR总数有影响的投资组合特征或索赔处理流程。图13显示了四个场景中每个场景的单个模拟数据集的发生、报告和IBNR过程。场景1：基线场景这是基本场景，其他三个场景将略有偏离。保险事件的发生遵循泊松分布3案例研究：保险中的报告延迟动态21报告延迟- Tocurrence date 1998年1月1日评估日期τ计算日期τ+5图12：模拟数据集的结构。我们模拟了1998年1月1日至计算日期之间发生的事故及其相关报告延迟。灰色区域显示用于拟合模型和预测阴影区域的数据，阴影区域由评估日期τ的未报告索赔数量组成。我们对灰色区域和阴影区域的交点进行了完美的预测，因为在该区域可以观察到报告的计数。每个发生日期平均有100起索赔。对于这些事件，报告延迟是沿着第2节中概述的模型规格进行模拟的，即时间变化的报告延迟U的分布遵循对数正态分布，密度fU（U）=Uσ√2πe-·ln（u）-uσ,其中u=0，σ=1。每日报告风险仅取决于报告日期，由αt给出，s=0.10·（0.20）s∈Sat+s∈非官方假日·（0.01）s∈太阳+s∈国定假日，其中周六、周日、国定假日和非法定假日分别是所有周六、周日、国定假日和非法定假日的集合。因此，在周六和非官方假日，报告概率降低了80%，在周日和国家假日，报告概率降低了99%。

这些影响的顺序与探索性数据分析中发现的顺序相同，请参见。g、 第3.1节中的图5，并导致平均报告延迟略超过三周。图13的顶行显示了此基线场景的模拟。middlepanel显示了两种报告制度，其中报告索赔很少的日子对应周末和节假日。场景2：这种场景中的不稳定事件外部原因，如天气，对给定日期发生的事故数量有很大影响。环境3案例研究：保险22中的报告延迟动态可以分为两种状态，一种状态良好，平均每天发生100起事故，另一种状态较差，平均每天发生400起事故。这些状态之间的转换遵循马尔可夫过程，转换矩阵为从/到好-坏0.9 0.1到0.6 0.4！。模型从良好状态开始，然后偶尔移动到不良状态。从这种不良状态恢复到良好状态的可能性很大，平均发生次数较少。图13（lhs）的第二行显示了这种不良状态对发生过程的影响。报告延迟分布如基线场景中所述。情景3：低索赔频率这一情景说明了所发生事故数量大幅减少的影响。发生过程采用泊松分布建模，日均两次索赔。使用基线方案中的报告模型。此场景在图13的底部一行显示。我们观察到，少量的事故会导致IBNR过程中更大的波动性。场景4：在线报告在这种场景中，保险公司引入了在线索赔报告工具。该在线工具于2003年1月1日推出，增加了周末和节假日的报告数量。