受观测延迟影响的隐藏事件数建模

新的报告风险成为αt，s=0.10·（0.20）秒∈Sat+s∈非官方假日·（0.01）s∈太阳+s∈节假日<2003年1月1日30.10·（0.50）s∈Sat+s∈非官方假日·（0.20）s∈太阳+s∈节假日>2003年1月1日。该报告模型与基线模型中相同的发生过程相结合，即泊松过程，其持续强度为每天100次索赔。图13的底部一行显示了此场景中的模拟。垂直黑线表示2003年1月1日的断点。在引入在线报告后，我们不再使用零报告的日期。3案例研究：保险中的报告延迟动态243.5.2校准模型：粒度与聚合我们使用三种模型比较隐藏事件计数预测的准确性，即我们模拟数据的精确粒度模型、近似粒度模型和年度聚合数据模型。历史信息（图12中的灰色区域）用于预测IBNR索赔的数量（图12中的阴影区域）。在粒度方法下，这些预测自然扩展到那些尚未观察到的延迟，而在聚合方法中，我们将预测窗口限制到最长的观察延迟。我们认为计算与估值日期之间有五天的差距。这五天的观测改善了对发生强度λ和报告概率pt，s的预测，但没有直接的方法将这些数据纳入年度聚合数据的方法中。使用这些额外数据的能力是粒度方法的优点之一。精确粒度模型我们利用我们对各种场景背后的分布形状和报告风险结构的了解，并校准与历史数据报告延迟完全相同的模型。

因此，我们估计了平滑报告延迟U的对数正态分布中的方差参数，以及报告暴露αt，s中协变量效应的参数γ。报告暴露αt改变了时间轴的尺度，这类似于对数正态分布的尺度参数exp（u）的效应。我们通过将u设置为零来避免可识别性问题。如第2节所述，对发生过程进行非参数建模。近似粒度模型该模型考虑了更现实的情况，即保险人想要拟合第2节的模型，但不知道确切的潜在分布。出于计算效益的考虑，保险公司为平滑的报告延迟U选择指数分布，并将报告风险敞口结构为αt，s=αdows·α节假日·α延迟-t（11）=exp（（xdows）·γdow+（xholidays）·γ假日+（xdelays-t） ·γ延迟）。在本规范中，αDOW定义了一周中的哪一天，αHolidaysidentifies国家和非官方假日以及α延迟-t根据索赔发生后经过的时间报告风险。对于单个模拟数据集，我们根据在线附录C中概述的策略，在13个箱子中报告延迟。然后重复使用这些相同的箱子来构建所有其他模拟的延迟协变量。在第四种情景（在线报告）中，我们估计了2003年1月1日之前和之后报告日期的γDow和γHoliday参数的不同参数值。3案例研究：保险25情景评估中的报告延迟动态。日期精确颗粒近似值。

颗粒链阶梯u（P E）σ（P E）u（P E）σ（P E）u（P E）u（P E）σ（PE）基线2003年12月31日-0.09 3.17 4.85 2.75 2.70 2.1731 2004年8月-0.01 2.75-0.18 2.82 1.20 2.36挥发性发生率2003年12月31日0.11 2.64 5.01 2.93 0.16 15.5231 2004年8月-0.04 2.27-0.20 2.51-0.82 14.90低索赔频率2003年12月31日-0.69 23.89 4.42 20.20 85 1.65 16.2531 2004年8月-2.30 20.19-2.52 20.72-1.33 17.96在线报告312003年12月-0.13 3.12 2.93 3.07-12.46 2.9131 2004年8月0.02 2.80 0.73 2.89-7.00 2.68表1：精确颗粒模型、近似颗粒模型和链梯法在四种不同情景和两个评估日期的性能评估。聚合数据模型：链梯第3.4节中描述的链梯法是预测未报告索赔数量的行业标准。我们按日历年对模拟数据进行聚合，并在此聚合数据上对我们的链梯法粒度方法进行基准测试。3.5.3结果与讨论我们通过预测评估日期的IBNR索赔总数（对应于图12中的阴影区域）来评估储备模型的性能。将此预测与模拟数据集中观察到的未报告索赔的实际数量进行比较。我们模拟了1000个数据集，并校准了第3.5.2节中所述的三个模型。预测精度由百分比误差（PE）来衡量，即PE=100·NIBNR（τ）-\\NIBNR（τ）NIBNR（τ）。正百分比误差反映了低估，而负值则表示IBNR计数高估。表1显示了两种颗粒模型和链梯法的百分比误差的平均值和标准偏差。

在图14中，百分比误差的方框图显示了四种场景下的模型性能。评估日期的影响我们观察到，在所有四种情况下，未报告的索赔在除夕增加（参见图13中的最后一列）。这是年底多次度假的结果，这使得客户无法报告他们的索赔。我们比较了表1中2003年12月31日和2004年8月31日的平均百分比误差，以量化这些节假日对预测准确性的影响。精确的颗粒模型符合模拟中使用的分布规格。因此，该模型可以完美地捕捉到3个案例研究：保险中的报告延迟动态26-50050基线波动发生缓慢索赔频率内部报告场景错误（%）（a）2015年12月31日基线波动发生缓慢索赔频率内部报告场景错误（%）（b）2008年8月31日精确颗粒近似颗粒链Ladder图14:IBNR百分比错误（PE）的箱线图在四个场景和两个评估日期进行评估。这两个日期的平均误差接近于零。当季节性效应的季节周期与链梯周期重合时，其不会违反链梯假设。由于年终假期可视为年度季节性事件，因此不会影响年度链梯法的预测精度。这解释了链梯法在两个评估日期上的错误非常相似。表1显示了对12月31日所有四种情景下近似粒度模型的IBNR计数的估计。对于平滑报告延迟，数据采用对数正态分布进行模拟，而在近似粒度模型中，我们采用指数分布。由于这些分布非常不同，我们将延迟效应α延迟包括在内-锡（11）。

这种影响可以增加特定延迟时的报告概率，从而使时变数据更接近指数分布。然而，延迟协变量不能消除这些分布之间的所有差异，这导致对2004年12月31日所有情景的小幅低估。对于所有三种模型，评估日期的选择不影响误差百分比的标准偏差。基线图13的顶行显示了基线场景中的单个数据集。事件和报告过程都是稳定的。这导致了IBNR计数的年度周期性模式，这很容易预测。由于这三个模型都表现良好（见图14），因此在这种情况下，没有理由用粒度模型取代链梯方法。不稳定事件与其他三种情况相比，这种情况下全年遇到的IBNR值范围要小得多。表1和图14显示，粒度模型的性能与其在基线场景中的性能一致。由于我们对发生过程进行了非参数建模，因此发生过程对预测精度的影响很小。链梯法平均表现良好，但与基线方案相比，标准偏差有所上升。在一半以上的案例中，4结论27链梯在预测未报告的索赔数量时产生的误差超过10%。链梯法按发生年份汇总索赔，从而丢失准确的发生信息。当模型在评估日处于不良状态时，这会导致对IBNR总数的大量低估。

这种情况将不稳定的事故发生过程确定为考虑颗粒模型的原因。索赔频率低发生频率从平均100起每日索赔减少到只有两起索赔。图13的第三行显示了此场景中的数据集。由于平均每天只发生两起事故，我们对发生过程强度λtin的预测不太可靠。如图14所示，这导致所有模型的预测误差较大。这种不确定性主要来自数据生成过程中的泊松假设（A1）。强度为λ的泊松分布的变异系数σu由下式给出：√λ. 泊松过程的强度越低，变化系数越大，因此数据的不确定性越大。我们得出结论，只有当预期的事件数量足够大时，才能准确估计隐藏事件的数量。在线报告2003年1月1日，保险公司推出了一种在线索赔报告工具，这在报告过程中创造了一个断点。颗粒模型在两个评估日期都表现良好，因为我们在断点后估计了不同的暴露参数。两个估值日期都对应于大约一年的断点后数据，这对于应用链梯法来说是不够的。因此，我们在所有可用数据上校准了链梯法，这导致了对IBNR计数的高估。该场景展示了颗粒储备模型的好处，即可以在数据中识别断点。4结论我们提出了一种新方法来模拟过去发生但由于观察延迟尚未记录的事件数量。

我们的方法通过引入观察暴露的概念，为受日历日协变量影响的观察延迟建模提供了一个优雅而灵活的框架。该框架可用于预测保修的未来成本、维护合同定价以及运营研究中观察到延迟事件的许多其他应用。我们在一个广泛的保险案例研究中说明了我们的方法。与为聚合数据设计的方法相比，我们的粒度方法有三个优点。首先，引入协变量可以深入了解观察过程。其次，我们的颗粒模型可以预测每个未来日期的预期观测数量。这样可以快速检测报告过程中的更改。第三，通过引入协变量，预测性能对选择的评估日期不太敏感。参考文献28模拟研究进一步确定了波动发生过程和事件观察过程中的断点，作为选择本文开发的数据驱动细粒度模型的重要参数。5致谢作者感谢匿名推荐人和副主编的有用评论，这些评论对论文的改进意义重大。这项工作得到了库鲁汶Argenta研究主席的支持；库鲁汶研究委员会【项目契约C24/15/001】；科技创新署（IWT）[批准号131173]；和佛兰德研究基金会（FWO）[授权编号11G4619N]。参考Sakbarov，A.和Wu，S.（2012）。考虑销售延迟的保修索赔数据分析。质量与可靠性工程国际，29113–123。https://doi.org/10.1002/qre.1302.Antonio，K.和Plat，R.（2014）。一般保险的微观随机损失准备金。斯堪的纳维亚精算杂志，7649–669。

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