正态逆二次套期保值策略的数值分析

（3.4）因此，我们可以计算I（St-, t、 K）使用【2】中提到的FFT。3.4积分间隔为了用FFT计算积分（3.4），我们将I（St-, t、 K）asI（St-, t、 K）≈πN-1.∑j=0e(-iηj-a+1）对数KW（ηj，a+1）-W（ηj，a）-W（0，1）φT-t（ηj-ia）Siηj+at-（iηj+a）（iηj+a）-1） η，其中N表示网格点的数量，η>0表示相邻网格点之间的距离。该近似值对应于区间[0，Nη]上的积分（3.4），因此我们需要指定N和η以满足πZ∞NηK-（四）-a+1W（v，a+1）-W（v，a）-W（0，1）φT-t（v-ia）Siv+at-（四+一）（四+一）- 1） dv< ε（3.5），对于给定的足够小的值ε>0，表示允许误差。因此，对于（3.5）意义上的给定允许误差ε>0，我们应为（3.4）的积分区间设定足够的长度。以下建议见附录A.5建议3.7。对于ε>0和t∈ [0，T），如果w>1满足√2公里-a+1Sat-C（t）π（t-t） ε2+qα-（a+β）+2（a+1+β）< e（T-t） δw，（3.6）我们有πZ∞工作时间：-（四）-a+1W（v，a+1）-W（v，a）-W（0，1）φT-t（v-ia）Siv+at-（四+一）（四+一）- 1） dv< ε、 其中，C（t）定义为asC（t）：=exp（t-t） au*-（1+h）Δβpα- β+hδ（1+β）pα-(1 + β)!)×经验值（T-t） Δα（1+h）qM（α，β）- hqM（α，1+β）（3.7）对于任何t∈ [0，T）。备注3.8。在命题3.7中，T=T的情况被排除在外，但这并不限制我们的数值方法，因为我们不需要在到期时间T- t是0.3.5均值方差Hedging，如第1节“索赔F的MVH策略”所述∈ L（P）被定义为最小化问题minc的解（θF，cF∈R、 θ∈ΘEhF-c-GT（θ）i、 其中，Θ是所有可容许策略的集合，数学上是满足EhRTθuSu的R值S-可积可预测过程的集合-酒后驾车<∞.

[1] 给出了指数加性模型的θffo的显式闭式表示，并发展了calloptions（ST- K） +对于指数L'evy模型，执行价格K>0。与LRM策略不同，θFtis的值不仅取决于St-, 还有S从0到t的整个轨迹-. 然而，不可能连续观察S的轨迹。因此，[1]开发了一个数字方案，使用离散观测数据St，St，…，近似计算θfta，Stn，其中n≥ 1和tk：=ktn+1。在引入[1]得到的θfts表示之前，我们需要做一些准备。首先，我们考虑VOMM，它是一个等价鞅测度，其密度在所有等价鞅测度中使l（P）-范数最小。事实上，MMM P*与第3.2小节中提到的我们设置的VOMM一致。接下来，我们定义一个过程E={Et}t∈[0，T]作为随机微分方程Et=1的解- hRtEu-dSu和HF={HFt}t∈[0，T]为HFt：=EP*[F | St-]. 此外，请注意，【1】中的假设2.1符合假设3.1。从[1]的观点来看，看涨期权的MVH策略θF（K）t F（K）=（ST- K） +以闭合形式表示为θF（K）t=ξF（K）t+hEt-St公司-Zt公司-dHF（K）u-ξF（K）udSuEu。现在，过程HF（K）t=EP*[F（K）| St-] 表示为asHF（K）t=πZ∞K-（四）-a+1φT-t（v-ia）Siv+at-（四+一）-1） （iv+a）dv，可使用FFT计算。因此，使用离散观测数据St，St，Stn，我们可以近似地得到θF（K）tasθF（K）t≈ ξF（K）t+Hetnsnn∑k=1HF（K）tk-ξF（K）tkStkEtk，（3.8），其中HF（K）tk=EP*[F（K）| Stk]和tk：=ktn+1对于K=0，1，nt对应于tn+1；并且，fork=1。

，n，我们表示Xtk：=Xtk- Xtk公司-1对于过程X和tk+1=Etk1.-h类Stk+1StkEt=1.4数值结果时，我们考虑2017年5月19日到期的标准普尔500指数（SPX）的欧洲看涨期权，并将套期保值的初始日期设置为2016年5月20日。我们将T乘以1。自2016年5月20日起至2017年5月19日止，共有250个营业日。例如，2016年5月20日和2016年5月23日分别对应于时间0和，因为2016年5月20日是星期五。请注意，我们应将2016年5月20日当天和之后至2017年5月19日（包括2017年5月19日）的250个SPX乳制品收盘价作为离散观测数据。图1显示了SPX的波动。接下来，我们将模型参数设置为α = 25.61598030765035,β = -1.2668546614155765，δ=0.40532772478162127，由2016年4月20日SPX上的欧洲看涨期权数据集校准。注意，上述参数集满足假设3.1。此外，我们选择=2、η=0.25和a=1.75作为与FFT相关的参数，即Nη=2，对于任何t≤当wetakeε=0.01作为我们的允许误差时。作为对冲的未定权益，我们考虑行使价格K=2300、2350和2400的看涨期权；并计算t=，，…，的LRM策略ξF（K）和MVH策略θF（K）tf的值，1使用（3.3）、（3.4）和（3.8）。注意，对于k=1，249，ξF（K）kandθF（K）kare建造于蒂梅克-1使用观测数据，Sk公司-图2-4显示了ξF（K）tandθF（K）tversus乘以t=，1对于K分别为2300、2350和2400的情况。2016年5月20日，2016年11月15日，2016年5月19日，1719502000020502102150220022502300235024002450SPX图1:SPX乳制品收盘价。2016年5月20日至2016年11月15日至2016年5月18日至170.10.20.30.40.50.60.70.80.91K=2300MVHLRM图2：K=2300的LRM策略ξF（K）和MVH策略θF（K）的值。

蓝色和红色线分别代表ξF（K）和θF（K）t的值。当t很小时，两条线几乎重叠；随着成熟期的临近而逐渐分离。2016年5月20日至2016年11月15日至2016年5月18日至2016年5月170.10.20.30.40.50.60.70.80.9K=2350mVHLRM图3：LRM策略ξF（K）和MVH策略θF（K）TF的值K=2350.20-5月16日至2016年11月15日至2016年5月18日170.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.55K=2400mVHHLRM图4：LRM策略ξF（K）和MVH策略θF（K）TF的值K=2400。附录A。1命题证明3.2为了查看条件1，必须显示∞（例如-1） ν（dx）<∞ 安德烈-1.-∞（例如-1） ν（dx）<∞.首先，我们看到∞（例如-1） ν（dx）<∞. 注意到函数K的索末菲积分表示（例如，参见[9]的附录A）：K（z）=zZ∞经验值-s-z4ss-z为2ds（A.1）≥ 0，我们有∞（例如-1） ν（dx）=ΔαπZ∞（例如-1） eβxK（αx）xdx=ΔαπZ∞α（ezα-1） 经验值βαzzZ公司∞zexp-s-z4ss-2dsdz≤Δα4πZ∞αexp4+βαzZ∞zαexp-s-z4ss-2dsdz=δ4πZ∞e-不锈钢-2Z∞αz√2π2sexp(-4sz-2s4+βα)dz×exp(4 + βαs）√2π2sds≤δ4πZ∞e-不锈钢-2·2s4+βα·exp(4 + βαs）√2π2sdt=δ√π4+βαZ∞s-经验值(4 + βα-1.s） ds=δ（4+β）α-(4 + β)-< ∞.请注意，上述第一个不等式由（ezα）给出-1)≤ 任意z的e4zα∈ [α, ∞).接下来，我们展示-1.-∞（例如-1） ν（dx）<∞ 通过与上述类似的论证。注意到（ezα-1)≤ 任何z为1∈ (-∞, -α] ，我们有-1.-∞（例如-1） ν（dx）≤Δα4πZ-α-∞（ezα-1） 经验值βαzZ∞zαexp-s-z4ss-2dsdz≤δ4πZ∞e-不锈钢-2Z∞-∞z√2π2sexp(-4sz-2sβα)dz exp公司βαs√2π2sds<∞ .因此，条件1成立。为了确认条件2，我们需要一些准备工作。附录A.2Lemma A.1证明了以下引理。对于任何v∈ [0, ∞) 和任何a∈ （，2），我们有ZRe（iv+a）x-1.ν（dx）=W（v，a）。（A.2）此外，（A.2）对于（v，A）=（0，1）和（v，A+1）的情况仍然适用。我们有-1） ν（dx）=W（0，1）=Δα(√M-pM（0，1））。

假设3.1意味着- M（0，1）=α(α- β) -(α-(1 + β))=1 + 2βα≤ 0，其中不等式0≥RR（ex-1） ν（dx）为真。看看第二个不平等-ZR（ex-1） ν（dx）=-锆（e2x-1) - 2（ex-1)ν（dx）=-W（0，2）+2W（0，1），足以显示W（0，2）-W（0，1）>0。首先，我们有（0，2）-W（0，1）=Δα√-q2M（0，2）+p2M--q2M（0，1）+p2M= δα-qM（0，2）+qM（0，1）.另一方面，它认为m（0，1）- M（0，2）=α-(1 + β)-根据假设3.1，α+（2+β）α=3+2βα>0。因此，不平等率（例如- 1） ν（dx）>-RR（ex- 1） ν（dx）保持在假设3.1下。A、 引理A.1的证明我们从以下引理开始：引理A.2。对于任何γ≥ 如果M＞0，则有ZγZ∞e（iu-M） 不锈钢-dsdu=√2πrqM+γ- M+irqM+γ+M-√2米！！证据注：参数θ>0和k>0的伽马分布的特征函数是∞eiuxθkΓ（k）xk-1e级-θxdx=θθ -国际单位K适用于任何u∈ R、 式中，Γ（·）是伽马函数。我们有thenZ∞e（iu-M） 不锈钢-ds=rMM-iuΓ√M级=√π√M-对于任意M>0和任意u∈ R、 因此，我们得到∞e（iu-M） 不锈钢-dt=rπp√M+u+M√M+u+ip√M+u- M√M+u！。放置x=√M+u，我们有zγp√M+u+M√M+udu=Z√M+γM√x+M√x个- Mdx=2rqM+γ- MandZγp√M+u- M√M+udu=2rqM+γ+M-2.√2米。这就完成了引理A.2的证明。现在，让我们回到引理A.1的证明。对于任何v∈ [0, ∞) 和任何a∈ （，2），与附录A.1中相同的论证顺序意味着ZRe（iv+a）x-1.ν（dx）=Δα√πZ∞e-不锈钢-ZRe（iv+a）zα-1.√2π2sexp(-4sz-2sβα)dz exp公司βαsds。（A.3）因为我们有Zre（iv+A）zαexp(-4sz-2sβα)dz公司√2π2s=expi2sα（vβ+va）-sα（v- 一-2aβ）,我们得到（A.3）=Δα√πZ∞经验值βα-1.ss-经验值i2sα（vβ+va）-sα（v- 一-2aβ）-1.ds=Δα√πZ∞s-EIB-太太-e-太太ds=Δα√πZ∞s-ie-MSZBEIUDU+ZMMe-美国农业部ds=Δα√πiZbZ∞e（iu-M） 不锈钢-dsdu+δα√πZMMZ∞e-美国军舰-dsdu。（A.4）另一方面，我们有ZMMZ∞e-美国军舰-dsdu=ZMM√π√udu=2√π（pM-pM）M，M>0。

因此，使用引理a.2，我们得到（a.4）=Δα√π√2πi（rqM+b- M+irqM+b+M-p2M！）+δα√π√π下午-下午=δα√（irqM+b- M-rqM+b+M+p2M），其中（A.2）适用于任何v∈ [0, ∞) 和任何a∈ （，2）.对于v≥ 0，我们看到（A.2）仍然适用于A+1。为此，确保m（v，a+1）和b（v，a+1）保持非负就足够了。事实上，我们有m（v，a+1）=α-（a+1+β）α≥ 0，and b（v，a+1）=2（a+1+β）vα≥ 0根据假设3.1。类似地，（A.2）对于（v，A）=（0，1），sinceM（0，1）=α的情况如下-(1 + β)α≥α> 0和b（0，1）=0。A、 3命题证明3.3注意0≥ h>-1根据假设3.1和命题3.2，我们得到了νP*（dx）=（1-θx）ν（dx）=（1-h（ex-1） ）ν（dx）=（1+h）ν（dx）- 十六进制ν（dx）=ν[α，β，（1+h）δ]（dx）+ν[α，1+β，-hδ]（dx）乘以（3.1）。这就完成了命题3.3的证明。A、 4命题3.4的证明为了证明命题3.4，我们从以下引理开始：引理A.3。我们有Zrxν（dx）=Δβpα- β.证据索末菲积分表示（A.1）意味着Zrxν（dx）=δ4πZRz expβαzZ∞经验值-s-z4ss-2dsdz=δ4πZ∞ZRz公司√2π2sexp(-4sz-2sβα)dz公司√2π2s膨胀βαss-2e类-sds=Δβ√παZ∞经验值-1.-βαss-ds=Δβpα- β.请注意，在上述证明中，我们不需要假设3.1。现在，我们展示命题3.4。根据Emma A.3和命题3.3，我们有Zr（iv+A）xνP*（dx）=（iv+a）（1+h）Δβpα- β-hδ（1+β）pα-(1 + β)!.注意W（v，a；α，1+β，-hδ）定义良好，且满足（A.2），因为我们有M（v，A；α，β+1）=M（v，A+1；α，β）≥ 0和b（v，a；α，β+1）=b（v，a+1；α，β）≥ 0。（3.2）表示φT-t（v-ia）=EP*he（iv+a）LT-ti=EP*经验值（T-t） （iv+a）u*+ZR（iv+a）xeNP*（[0，T-t] ，dx）= 经验值（T-t）（iv+a）u*+锆e（iv+a）x-1.-（iv+a）xνP*（dx）= exp（（T-t） （iv+a）u*-（1+h）Δβpα- β+hδ（1+β）pα-(1 + β)!)×经验值（T-t）W（v，a；α，β，（1+h）δ）+W（v，a；α，1+β，-hδ）,由此引出第3.4条。

A、 5命题3.7的证明为了看命题3.7，我们准备了一个命题和一个引理。为了强调参数α、β和δ，我们将M（v，a）、和b（v，a）分别写为M（v，a；α，β）、M（α，β）和b（v，a；α，β）。提案A.4。对于任何v∈ [0, ∞) 和任何t∈ [0，T），我们有φT-t（v-ia）|≤ C（t）e-（T-t） δv，其中C（t）在（3.7）证明中给出。命题3.4意味着|φT-t（v-ia）|=exp（（T-t） （iv+a）u*-（1+h）Δβpα- β+hδ（1+β）pα-(1 + β)!)×expn（T-t）W（v，a；α，β，（1+h）δ）+W（v，a；α，1+β，-hδ）o= C（t）膨胀(-（T-t） （1+h）Δα√rqM（v，a；α，β）+b（v，a；α，β）+M（v，a；α，β））×exp(-（T-t）(-h） Δα√rqM（v，a；α，1+β）+b（v，a；α，1+β）+M（v，a；α，1+β））≤ C（t）膨胀-（T-t） （1+h）ΔαqM（v，a；α，β）经验值-（T-t）(-h） ΔαqM（v，a；α，1+β）= C（t）膨胀-（T-t） δ（1+h）qv+α-（a+β）+(-h） qv+α-（a+1+β）≤ C（t）膨胀{-（T-t） δv}。注意，最后一个不等式来自α-（a+β）>0和α-（a+1+β）>0根据假设3.1保持。引理A.5。对于任何v∈ [0, ∞) 和任何a∈ （，2），| W（v，a+1）-W（v，a）|≤√2δv+qα-（a+β）+2（a+1+β）持有。证据表示M：=M（v，a+1），b：=b（v，a+1），M：=M（v，a）和b：=b（v，a）简而言之，我们有| W（v，a+1）-W（v，a）|=Δα√irqM+b- M-rqM+b- M-rqM+b+M+rqM+b+M≤ ΔαrqM+b+qM+b.（A.5）由于A+β>0，我们有- M=α（a+1+β）-（a+β）> 0和B-b=4vα（a+1+β）-（a+β）> 0，这意味着（A.5）≤ ΔαrqM+b=√2δq（v+α-（a+β））+4v（a+1+β）=√2δqv+2v（α-（a+β）+2（a+β+1））+（α-（a+β））。（A.6）设置p：=α-（a+β）+2（a+β+1），q：=p-(α-（a+β）），对于任何a，我们都有p>0和q>0∈ （，2）根据假设3.1；和（A.6）=√2δq（v+p）-q≤√2δqv+p≤√2δ（v+√p） 。这就完成了引理A.5的证明。命题3.7的证明。

首先，引理A.5意味着πZ∞工作时间：-（四）-a+1W（v，a+1）-W（v，a）-W（0，1）φT-t（iv- a） Siv+at-（四+一）（四+一）- 1） dv≤πZ∞wK-（四）-a+1|W（v，a+1）-W（v，a）|+| W（0，1）|φT-t（iv- a） Siv+at-（四+一）（四+一）- 1)dv≤δK-a+1πZ∞w√2（v）+√p）+√φT-t（iv- a） Siv+at-（四+一）（四+一）- 1)dv，（A.7），其中p在引理证明A.5中定义。请注意，（A.7）中的最后一个不等式自| W（0，1）|=Δα起成立qM（0，1）-下午= ΔαrM-1 + 2βα-下午！≤ Δαr-1 + 2βα≤√2δ根据假设3.1。现在，请注意|（iv+a-1） （iv+a）|=q（a）- 一-v） +（2a-1） v=qv+（2a-2a+1）v+（a- （a）≥ v、 因此，命题A.4意味着φT-t（iv）- a） Siv+at-（四+一）（四+一）- 1） dv≤坐-C（t）ve-（T-t） δv.因此，注意到w>1，我们得到（a.7）≤δK-a+1Sat-C（t）πZ∞w√2（v）+√p）+√ve公司-（T-t） δvdv≤δK-a+1Sat-C（t）πZ∞w√2+p2pe-（T-t） δvdv=K-a+1Sat-C（t）π√2(2 +√p） T型-te公司-（T-t） δw。这就完成了命题3.7的证明。参考文献【1】Arai，T.，Imai，Y.：通过Malliavin演算对加性过程进行均值-方差对冲的封闭形式表示，预印本。可用位置：https://arxiv.org/abs/1702.07556[2] Arai，T.、Imai，Y.、Suzuki，R.《指数型电动汽车模型局部风险最小化的数值分析》，《国际理论与应用金融杂志》，第19卷，1650008，（2016）〔3〕Arai，T.、Suzuki，R.《电动汽车市场局部风险最小化》，《国际金融工程杂志》，第2卷，1550015，（2015）〔4〕Barndorff Nielsen，O.E.：正态逆高斯过程和股票收益建模。奥胡斯大学。理论统计系。（1995）[5]Barndorff Nielsen，O.E.：正态逆高斯型过程。《金融与随机》，第2卷，41-68（1997）[6]Barndorff Nielsen，O.E.：正态逆高斯分布和随机波动性建模。

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