正态逆二次套期保值策略的数值分析

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英文标题：
《Numerical analysis on quadratic hedging strategies for normal inverse
  Gaussian models》
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作者：
Takuji Arai, Yuto Imai and Ryo Nakashima
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The authors aim to develop numerical schemes of the two representative quadratic hedging strategies: locally risk minimizing and mean-variance hedging strategies, for models whose asset price process is given by the exponential of a normal inverse Gaussian process, using the results of Arai et al. \\cite{AIS}, and Arai and Imai. Here normal inverse Gaussian process is a framework of L\\\'evy processes frequently appeared in financial literature. In addition, some numerical results are also introduced.
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中文摘要：
作者旨在利用Arai et al.{AIS}和Arai and Imai的结果，针对资产价格过程由正态逆高斯过程的指数给出的模型，开发两种具有代表性的二次套期保值策略的数值方案：局部风险最小化和均值方差套期保值策略。这里，正态逆高斯过程是金融文献中经常出现的列维过程的一个框架。此外，还介绍了一些数值结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Numerical_analysis_on_quadratic_hedging_strategies_for_normal_inverse_Gaussian_models.pdf (307.76 KB)

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关键词：数值分析 套期保值 Quantitative Applications Computation

正态逆高斯模型二次套期保值策略的数值分析*Takuji Arai+，Yuto Imai和Ryo Nakashima§2018年1月18日摘要作者旨在利用Arai等人[2]和Arai和Imai[1]的结果，针对资产价格过程由正态逆高斯过程的指数给出的模型，开发两种具有代表性的二次混合策略的数值方案：局部风险最小化和均值方差对冲策略。这里，正态逆高斯过程是金融文献中经常出现的L'evy过程的一个框架。此外，还介绍了一些数值结果。关键词：局部风险最小化；均值方差套期保值；正态逆高斯过程；快速傅立叶变换。1简介局部风险最小化（LRM）和均值方差套期保值（MVH）策略是不完备市场中未定权益的著名套期保值策略。事实上，他们的理论观点已经被很好地研究了大约三十年。另一方面，计算它们的数值方法尚未完全发展。由于文献有限，Arai等人[2]为两个指数L'evy模型（Merton跳跃扩散模型和方差Gamma（VG）模型）的看涨期权开发了LRM策略的数值方案。在这里，VG模型是指资产价格过程作为VG过程的指数给出的模型。在[2]中，他们利用Arai和Suzuki[3]提供的LRM策略表示，以及[8]提出的所谓Carr-Madan方法：一种使用快速傅立叶变换（FFT）计算期权价格的方法。注意，[3]通过L'evy过程的Malliavin演算获得了LRM策略的表示。

对于MVH策略，Arai和Imai[1]获得了指数加性模型的一种新的闭式表示，并提出了VG模型的数值模式。*这项工作得到了JSPS KAKENHI赠款编号15K04936和17K13764的支持。+庆应义塾大学经济系，电子邮箱：arai@econ.keio.ac.jp三菱UFJ信托投资技术研究所有限公司（MTEC）和早稻田大学科学与工程研究所§庆应大学经济系本文的目的是将[2]和[1]的结果推广到正态逆高斯（NIG）模型。注意，NIG过程是一个纯跳跃L'evy过程，描述为一个时变布朗运动，VG过程也是。这里有一个进程X={Xt}t≥如果X被描述为xt=uYt+σbyt，则0被称为时变布朗运动≥ 0，其中u∈ R、 σ>0，B={Bt}t≥0是一维标准布朗运动，Y={Yt}t≥0是一个从属进程，也就是说，一个非减损的L'evy进程。如果相应的从属项Y是逆高斯（IG）过程，则时变布朗运动X称为NIG过程。另一方面，VG过程被描述为具有伽马从属的时变布朗运动。巴恩多夫·尼尔森（Barndorff Nielsen）[4]引入的NIG过程经常出现在金融文献中，如[5]、[6]、[7]、[11]、[12]等。接下来，我们介绍二次套期保值策略。考虑一个由一项无风险资产和一项到期日不超过0的风险资产组成的金融市场。为简单起见，我们假设市场利率为零，即无风险资产的价格始终为1。let={St}t∈[0，T]是风险资产价格过程。这里我们准备一些术语。定义1.1。1、策略定义为一对φ=（ξ，η），其中ξ={ξt}t∈[0，T]是一个可预测的过程，η={ηT}T∈[0，T]是一个适应的过程。

请注意，ξt（resp.ηt）表示投资者在t时持有的风险资产（resp.无风险资产）的单位数量。策略的财富在t时ν=（ξ，η）∈ [0，T]表示为Vt（Д）：=ξtSt+ηT。特别是，V（Д）表示初始成本。2、如果一项策略满足以下条件，则称其为自我融资：对于任何一项策略，Vt（Д）=V（Д）+Gt（ξ）∈ [0，T]，其中G（ξ）={Gt（ξ）}T∈[0，T]表示ξ引起的增益过程，即Gt（ξ）：=RtξudSufort∈ [0，T]。如果策略Д是自我融资的，则η由ξ和初始成本V（Д）自动确定。因此，自我融资策略Д可以用一对（ξ，V（Д））来描述。3、对于策略Д，过程C（Д）={Ct（Д）}t∈[0，T]由Ct（Д）定义：=Vt（Д）-t的Gt（ξ）∈ [0，T]被称为^1的成本过程。当Д为自融资时，其成本过程C（Д）为常数。4、设F为平方可积随机变量，代表未定权益在自然度T下的收益。如果满足VT（Д）=F，则称策略Д为复制权利要求F。粗略地说，策略ДF=（ξF，ηF），不一定是自我融资的，称为权利要求F的固定策略，如果是复制策略，则在所有复制策略中，将L意义上的C（ДF）引起的风险降至最低。请注意，获得ξFin的表示形式足以获得LRM策略ДF，因为ηFis由ξF自动确定。另一方面，索赔F的MVH策略定义为最小化相应L对冲误差的自融资策略，即最小化问题MINC，Eh（F）的解（θF，cF-c-GT（θ）i.注意到Cf给出了初始成本，它被视为F的对应价格。本文通过扩展[2]和[1]的结果，提出了当资产价格过程由指数NIG过程给出时，LRM策略ξFand和MVH策略θFforcall期权的数值方法。

我们的主要贡献如下：1。为了确保LRM和MVH策略的存在，我们需要对资产价格过程对数的L'evy度量施加一些可积性条件（假设[2]中的1.1]）。因此，我们将给出一个充分的条件，作为我们的长期假设，即IG过程的参数，这使我们能够检查由金融市场数据估计的参数集是否满足[2]中的假设1.1。2、在讨论LRM问题时，所谓的最小鞅测度（MMM）是必不可少的。特别是，MMMis下的资产价格过程的特征函数需要使用【2】开发的数值方法。因此，我们为NIG模型提供了它的显式表示。3、一般情况下，傅里叶变换作为[0]上的积分给出，∞). 事实上，我们用这种不恰当的积分来表示LRM策略，并截断其积分区间以使用FFT。因此，我们应估计积分区间的足够长度，以在给定的允许范围内减少相关截断误差。实际上，为了实现上述三个目标，我们需要克服一些复杂的计算，因为NIG过程的L'evy度量包括参数为1的第二类修正贝塞尔函数。本文概述如下：第2节给出了精确的模型描述。主要结果将在第3节中说明。第3.1小节介绍了我们在NIG模型参数方面的长期假设，接下来的小节讨论了MMM下的特征函数、LRM策略的表示、集成区间的估计和MVH策略的表示。请注意，证明被推迟到待决日期。

第4节介绍了数值结果。2模型描述我们考虑的整个金融市场由一项无风险资产和一项风险资产组成，时间范围T>0。为简单起见，我们假设市场利率为零，即无风险资产的价格始终为1。(Ohm, F、 P）表示正则L'evy空间，该空间为[0，T]上复合泊松过程空间的乘积空间。表示byF={Ft}t∈[0，T]P的规范过滤已完成。有关规范L’evyspace的更多详细信息，请参阅Sol’e等人[16]的第4节或Delong和Imkeller[10]的第3节。设L={Lt}t∈[0，T]bea纯跳跃L'evy过程，L'evy度量ν定义为(Ohm, F、 P）。我们定义了L asN的跳跃度量（[0，t]，A）：=∑0≤u≤助教(Lu）对于任何A∈ B（R）和任何t∈ [0，T]，其中Lt：=Lt- 书信电报-, R： =R \\{0}，B（R）表示R上的Borelσ-代数。此外，其补偿版本N定义为N（[0，t]，A）：=N（[0，t]，A）- tν（A）。在本文中，我们研究了L作为正态逆高斯（NIG）过程给出的情况。这里，一个纯跳跃L'evy过程L称为参数α>0的NIG过程，-α<β<α，δ>0，如果其特征函数给定为asE[eizLt]=exp-δqα-（β+iz）-qα- β对于任何z∈ C和任意t∈ [0，T]。注意，对应的L'evy度量ν表示为ν（dx）=ΔαπeβxK（α| x |）| x | dx表示x∈ R、 其中Kis是第二类贝塞尔函数的修正值，参数为1。当我们需要强调模型参数时，ν用ν[α，β，δ]表示。此外，过程lca还可以描述为具有IG从属项的时变布朗运动：Lt=βδIt+δBIt，其中B={Bt}t∈[0，T]是一维标准布朗运动，I={It}T∈[0，T]是一个参数为（1，δpα）的IGprocess- β). 有关NIG工艺的更多详细信息，请参见Contand Tankov【9】第4.4节和Schoutens【13】第5.3.8小节。

在本文中，风险资产价格过程＝{St}t∈[0，T]表示NIG过程L的指数：St=SeLt，其中S>0。现在，我们准备一些额外的符号。对于v∈ [0, ∞) 和a∈ （，2），我们定义（v，a）：=v+α-（a+β）α，M：=1-βα，b（v，a）：=2（a+β）vα，和w（v，a）：=Δα√irqM+b- M-rqM+b+M+p2M！，（2.1）其中M（v，a）和b（v，a）分别缩写为Mand b。注意，我们可以为v定义新的（0，1）和W（v，a+1）∈ [ 0, ∞) 和a∈ （，2）。此外，当需要强调参数α、β和δ时，我们将上述四个函数分别表示为M（v，a；α，β）、M（α，β）、b（v，a；α，β）和W（v，a；α，β，δ）。3主要结果3.1长期假设我们介绍了我们在模型参数方面的长期假设。假设3.1。α >, -< β ≤ -, β+4<α。现在，我们证明假设3.1是[2]中假设1.1的充分条件，这确保了LRM和MVH策略的存在。提案3.2。根据假设3.1，我们有1。RR（ex-1） ν（dx）<∞,二≥RR（ex-1） ν（dx）>-RR（ex-1） ν（dx）。我们将命题3.2的证明推迟到附录A.1。请注意，命题3.2中的条件2与[2]中假设1.1的第二个条件相同。另一方面，条件1是对[2]中假设1.1的第一个条件的修改，其给出如下：ZR（| x |∨ x） ν（dx）<∞ andZR（ex-1） nν（dx）<∞ 对于n=2，4。首先，RRxν（dx）<∞ andRR（ex-1） ν（dx）<∞ 是冗余的，sinceRR（x∧1） ν（dx）<∞持有。其次，与VG过程不同，NIG过程没有R | x |ν（dx）的完整性。实际上，S是用[2]中关于N的随机积分来描述的。因此，条件rr | x |ν（dx）<∞ 是必需的。

另一方面，描述S asSt=SeLt=SexpZtZRxeN（du，dx）+tZRxν（dx）,我们不需要假设它。3.2最小鞅测度在本小节中，我们关注最小鞅测度（MMM）：一种等价鞅测度，在该测度下，与S鞅部分正交的任何平方可积P-鞅都是鞅。请注意，MMM在二次套期保值问题中起着至关重要的作用。表示uS：=RR（ex-1） ν（dx），Cν：=RR（ex-1） ν（dx），h：=uS/Cν，θx：=uS（ex-1） x的Cν∈ R、 如【2】所述，MMM P*在[2]的假设1.1下存在，其RadonNikodym密度给出为dp*dP=expZRlog（1-θx）eN（[0，T]，dx）+TZR（log（1-θx）+θx）ν（dx）.注意，θx<1适用于任何x∈ Runder假设3.1，提案3.2。此外，P*不仅是MMM，而且是我们设置中的方差最优鞅测度（VOMM），如[1]所述。注意，VOMM是一个等价鞅测度，其密度使所有等价鞅测度中的L（P）-范数最小。由于MVH策略是使用VOMM描述的，因此我们使用P*表达MVH策略和LRM策略。这里我们准备一些额外的符号。从Girsanov定理来看，eNP*（[0，t]，dx）：=eN（[0，t]，dx）+θxν（dx）是在P*. 这意味着在P*,用νP表示*, 表示为νP*（dx）=（1-θx）ν（dx）。（3.1）然后将L重写为lt=ZRxeNP*（[0，t]，dx）+u*t、 （3.2）其中u*:=RR（x- ex+1）νP*（dx），以及P下S的随机微分方程*Is表示为dSt=St-RR（ex-1） eNP公司*（dt，dx）。为了发展基于FFT的数值格式，我们需要在P下明确表示L的特征函数*:φT-t（z）：=EP*[埃兹尔特-t] 对于z∈ C、 在陈述之前，我们计算νP*（dx）P下L的L'evy测度*.

回想一下，ν[α，β，（1+h）δ]（dx）表示具有参数α，β和（1+h）δ的NIG过程的L'evy度量。我们在附录A.3中提供了以下命题的证明。提案3.3。我们有νP*（dx）=ν[α，β，（1+h）δ]（dx）+ν[α，1+β，-hδ]（dx）。现在，我们使用（2.1）中定义的函数W（v，a）表示φ。请注意，W（v，a；α，1+β，δ）也得到了很好的定义，因为根据假设3.1，M（α，β+1）>0。附录A.4给出了以下命题的证明。提案3.4。对于任何v∈ [0, ∞) 和任何a∈ （，2），我们有φT-t（v-ia）=exp（（T-t） i（v）-ia）u*-（1+h）Δβpα- β+hδ（1+β）pα-(1 + β)!)×经验值（T-t）W（v，a；α，β，（1+h）δ）+W（v，a；α，1+β，-hδ）其中u*=RR（x-ex+1）νP*（dx）。3.3局部风险最小化在本小节中，我们介绍如何计算看涨期权的LRM策略（ST- K） +当价格K>0时。首先，我们对索赔F的LRM策略进行了精确定义∈ L（P）。以下内容基于Schweizer的定理1.6【15】。定义3.5。如果ξ满足EhRTSu，则称策略Д=（ξ，η）为L策略-ξudui<∞, V（Д）是一个右连续过程，E[Vt（Д）]<∞ 每t∈ [0，T]。如果VT（ДF）=F，并且[C（ДF），M]是一个统一可积鞅，其中M={Mt}t，则L-策略Д称为权利要求F的LRM策略∈[0，T]是S的鞅部分。请注意，在[2]的假设1.1下，[15]的定理1.6的所有条件都成立，如[3]的示例2.8所示。上述LRM战略的定义是一个简单的版本，因为【14】和【15】中介绍的原始定义相当复杂。现在，一个F∈ L（P）允许F¨ollmerSchweizer分解，如果它可以用F=F+GT（ξFS）+LFST来描述，其中F∈ R、 ξFS={ξFSt}t∈[0，T]是一个满足EhRTSu的可预测过程-（ξFSu）dui<∞, andLFS={LFSt}t∈[0，T]是与M正交的平方可积鞅，LFS=0。

此外，【15】的命题5.2规定，在【2】的假设1.1下，LRM策略ДF=（ξF，ηF）表示F∈ L（P）存在的充要条件是F允许F¨ollmer-Schweizer分解；其关系式为ξFt=ξFSt，ηFt=F+Gt（ξF）+LFSt-ξFtSt。因此，有必要获得ξFin的表示，以获得ДF。此后，我们将ξfw与ДF进行识别。我们考虑看涨期权（ST-K） +履约价格K>0，作为对冲索赔。现在，我们表示f（K）=（ST-K） +对于K>0，定义函数i（s，t，K）：=ZREP*[（STex-K）+-（ST-K） +| St-= s] （例如-1） ν（dx）。对于s>0，t∈ [0，T]和K>0。[3] 给出了任意t的ξF（K）t的显式表示∈ [0，T]和任何K>0，使用Malliavin演算计算L'evy过程。提案3.6（第【3】号提案4.6）。对于任何K>0和任何t∈ [0，T]，ξF（K）T=I（St-, t、 K）St-Cν。（3.3）此外，[2]引入了I（St）的积分表示-, t、 K）asI（St-, t、 K）=πZ∞K-（四）-a+1ZR（e（iv+a）x-1） （例如-1） ν（dx）φT-t（v-ia）Siv+at-（四+一）（四+一）- 1） dv，其中a∈ （1，2）和右侧与a的选择无关。请注意，出于技术原因，我们将a的范围缩小到（，2），但这并不限制我们对数值模式的发展，因为我们在数值实验中取1.75作为a的值-, t、 K），我们需要计算积分r（e（iv+a）x-1） （例如-1） ν（dx）。现在引理A.1意味着thatZRe（iv+A）x（ex-1） ν（dx）=ZRe（iv+a）x（ex-1） ν（dx）=ZR（e（iv+a+1）x-e（iv+a）x）ν（dx）=ZR（e（iv+a+1）x-1） ν（dx）-ZR（e（iv+a）x-1） ν（dx）=W（v，a+1）-W（v，a），我们有I（St-, t、 K）=πZ∞K-（四）-a+1W（v，a+1）-W（v，a）-W（0，1）φT-t（v-ia）Siv+at-（四+一）（四+一）- 1） dv。