合格投资者最优投资组合的存在性、唯一性和稳定性

如许多示例所示，即使存在公共接受集，下半连续性也可能失败。然而，根据定理5.11，如果选择的接受集是多面体，我们总是具有下半连续性。在本节的最后一部分中，我们放松了最优性条件，并将重点放在接近最优的支付上。作为orem 5.21的结论，我们能够为接近最优的支付映射建立几个低于半连续的有效条件。2基本模型空间在本节中，我们描述了我们的头寸空间模型和合格支付空间，并介绍了一些符号和术语。为了覆盖文献中提到的所有单变量和多变量位置的特殊空间，我们在一个抽象空间中工作。这也有助于突出问题的基本数学结构。头寸空间我们考虑一个单期模型，其中，期末的财务头寸由R上的Hausdorff拓扑向量空间的元素表示，我们用X表示。我们假设X是第一个可数且局部凸的。这意味着X的每个元素都允许一个由凸集组成的可数邻域基。特别地，X可以是任何赋范空间。X的拓扑对偶用X′表示。集合a的内部、闭包和边界 X分别用int A、cl A和bd A表示。我们说当X∈ A表示λX∈ 每λ为A∈ [0, 1]. 如果λX+（1），则称集合A是凸的- λ） Y型∈ A表示任意X，Y∈ A和λ∈ [0，1]和一个锥，如果λX∈ 任何X∈ A和λ∈ [0, ∞). 此外，我们还说，t A是严格凸的w hene verλX+（1- λ） Y型∈ 所有λ的int A∈ （0，1）和任何不同的X，Y∈ A、 显然，每个包含零的凸集都是星形的。类似地，每个（不一定是凸的）圆锥体都是星形的。

包含A的最小凸集称为A的凸集，用co A表示。包含A的最小圆锥称为A的圆锥壳，用圆锥A表示。A的圆锥壳，用OFF A表示，是formPmi=1αiXifor X，…，的所有线性组合的集合，Xm公司∈ A和α，αm∈ R总计为1。如果A可以表示为半空间的有限交点，即A=m\\i=1{X，则称A为多面体∈ 十、^1i（X）≥ αi}对于合适的泛函Д，^1m∈ X′和sca larsα，αm∈ R、 在这种情况下，我们说A由Д表示，^1m；见下文als o（1）。显然，任何多面体集都是封闭的和凸的。A的渐近锥是通过设置A定义的闭合锥∞:=\\ε> 0cl{λX；λ∈ [0，ε]，X∈ A} 。等效地，A∞由序列的所有极限（λnXn）组成，其中（λn） [0, ∞) 带λn→ 0和（Xn） A、 如果A是闭合的，且为凸形或星形，则A的渐近锥与由EC A定义的衰退锥（否则更小）重合：={X∈ 十、Y+λX∈ A.Y∈ A.λ ∈ (0, ∞)}.A的线性空间是由lin A定义的向量空间：=A∞∩ (-A.∞).我们假设X是由一个反射的、反对称的传递关系部分排序的≥. 对应的正锥由X+：={X给出∈ 十、十、≥ 0}.在这种情况下，双空间X′也可以通过设置Д进行部分排序≥ ψ当且仅当ψ（X）≥ ψ（X）表示所有X∈ X+。相关的正锥体为x′+：={Д∈ X′；^1（X）≥ 0, 十、∈ X+}。元素X∈ 对于所有非零的Д，当Д（X）>0时，X+被称为严格正∈ X′+。严格正元素集用X++表示。

类似地，功能Д∈ 对于所有非零X，当ν（X）>0时，X′＋称为严格正∈ X+。集合a的（下）支持函数 X是σA:X′的映射→ R∪ {-∞} 定义人σA（Д）：=infX∈A^1（X）。σA的有效域很容易被视为一个凸锥，称为A的势垒锥，由bar A表示。我们说X∈ A是A的支撑点，如果存在功能∈ X′满足Д（X）=σA（Д）。A的每个支撑点自动属于bd A。虽然边界点不必是支撑点，但每当A是多面体或dim（X）<∞.我们在下面的结果中收集了支持函数和势垒锥的各种有用性质；参见Aliprantis和Border（2006年），对于第（iii）点，Farkas等人（2014年）。引理特别告诉我们，一个向量空间的势垒，分别是一个圆锥体，与它的零化子，分别是它的（单侧）极性重合。引理2.1。以下陈述适用于任何子集A、B X：（i）σA+B（ψ）=每个ψ的σA（ψ）+σB（ψ）∈ X′。（ii）巴（A+B）=巴A∩ 钢筋B.（iii）（如果A+X）+ A、 然后bar A X′+。（iv）如果A是向量空间，则bar A={Д∈ X′；Д（X）=0，十、∈ A} 。（v） 如果A是圆锥体，则bar A={Д∈ X′；^1（X）≥ 0, 十、∈ A} 。（vi）如果A是闭合的和凸的，则A=\\Д∈条形图A{X∈ 十、^1（X）≥ σA（Д）}。（vii）如果A是多面体，并由Д、…、表示，^1m∈ X′，然后Д，^1m∈ 条形图A和A=m\\i=1{X∈ 十、^1i（X）≥ σA（Дi）}。（1） 合格支付空间假定合格支付属于向量子空间M X，1<尺寸（M）<∞. 我们装备了从X继承的相对拓扑。由于M具有有限维，因此相对拓扑始终是可规范的。在下文中，我们用k·k表示M上的固定范数，并使用符号d（S，S）：=inf{kW- Zk；W∈ S、 Z∈ S} 对于任何子集S，S M

此外，我们写了br（Z）：={W∈ M千瓦- Zk公司≤ r} 对于任何Z∈ M和r∈ (0, ∞).可用支付的价格用线性函数π：M表示→ R、 注意，作为线性，π是自动连续的。π的核用ker（π）表示：={Z∈ Mπ（Z）=0}。我们自始至终都假设M包含一个正的支付和严格的正价格（通过线性，它总是可以归一化为1）。假设1。我们假设存在U∈ M∩ X+使得π（U）=1。如果M包含非零正收益，且市场没有套利机会，因此π是严格正的，则上述假设自动满足。验收集验收集由子集a表示 我们规定了以下假设。假设2。我们假设A严格包含在X和s中：（1）A是封闭的，包含零。（2） A+X+ A、 上述性质被广泛认为是验收集应满足的最小性质。属性（1）在理论和实践中均符合所有相关验收集的要求。属性（2）被称为单调性，等同于规定支配可接受位置的任何位置也应被视为可接受。注意，我们不要求先验是凸的。原因是，尽管其在多元化效益方面的解释很有吸引力，但实践中使用的一些相关接受集（如基于风险价值的接受集）并不能满足凸性。然而，我们需要A的凸性来建立我们的一些结果。在凸接受集类中，多面体集和凸锥（有时称为相干接受集）特别容易处理。例2.2（单变量可接受性）。假设X是随机变量的标准空间。

对于隐式，我们取X=L∞(Ohm, F、 P）并且我们考虑了X上的c-正则几乎确定序。（1） 头寸X的风险值（VaR）∈ α级X∈ （0，1）由varα（X）定义：=inf{m∈ RP（X+m<0）≤ α}.因此，直到一个符号，VaRα（X）与X的上α分位数重合。相应的接受集是由a={X给出的闭合锥∈ 十、VaRα（X）≤ 0}={X∈ 十、P（X<0）≤ α}.在这种情况下，可接受性归结为检查某个头寸的违约或损失概率是否不超过阈值α。请注意，A通常不是凸的。基于VaR的承兑交易历来是巴塞尔协议（Basel Agreements）和偿付能力II（Solvency II）的核心，前者是银行业的参考监管制度，后者是欧盟保险公司的监管制度。（2） 预计的ed差额为X∈ α级X∈ （0，1）定义为α（X）：=αZαVaRβ（X）dβ。相应的访问集是由a={X给出的闭凸锥∈ 十、ESα（X）≤ 0}.众所周知，无论何时，A都是多面体Ohm 是有限的。要在ES下被接受，金融机构需要在α分位数上限以外的尾部具有平均偿付能力。目前，ES是瑞士保险公司监管框架SWIS偿付能力测试的基础，并将成为即将出台的巴塞尔协议中市场风险的风险度量标准。（3） 基于测试场景E的非空se的验收集∈ F是闭凸圆锥＝{X∈ 十、XE公司≥ 0}.在这里，我们用事件E的指标函数表示。在这种情况下，可接受性降低到在每个选定的测试场景中要求偿付能力。注意，在E=Ohm. 还请注意，A是多面体Ohm 是有限的。

许多中央交易所和清算对手用于设定保证金要求的方法，尤其是芝加哥商品交易所采用的标准投资组合风险分析，基于测试sce narios。（4） 基于概率测度族Q的可接受集(Ohm, F） 对于P是绝对连续的，是由a=\\Q定义的闭凸集∈Q{X∈ 十、等式[X]≥ αQ}适用于合适的αQ∈ (-∞, 0]. Q的元素通常被称为广义s cenarios。请注意，当Q为有限和圆锥时，如果所有Q的αQ=0，则为一个等多面体∈ Q、 在关于好交易定价或具有可接受风险的定价的文献中，经常会遇到这种类型的接受集。（5） 基于增凹效用函数u:R的可接受集→ R由a={X给出∈ 十、E【u（X）】≥ α} 对于合适的α∈ (-∞, u（0）]。注意，当u在u（λx+（1）的意义上是严格凹的时，A是严格凸的- λ） y）>λu（x）+（1- λ） u（y）表示所有缺陷x，y∈ R和λ∈ (0, 1). 基于预期效用的接受集在有关良好交易定价或具有可接受风险的定价的文献中很常见。例2.3（多元可接受性）。假设X是随机向量的标准空间。对于隐式，我们取X=L∞d(Ohm, F、 P）对于某些d∈ N，我们考虑X上的正则分量几乎必然序。（1） 每当A的formA=C×······································∞(Ohm, F、 P）。根据A的说法，当每个实体根据相应的单一接受集在单独的基础上充分资本化时，该系统就被充分资本化了。（2） 基于聚合函数∧：Rd的接受集→ R定义为a={X∈ 十、∧（X）∈ C} 其中C是L中的给定验收集∞(Ohm, F、 P）。

函数∧在一个图中总结了系统及其内部相关性，该图根据单变量接受集进行测试。在好的交易定价框架中，通常假设市场不接受好的交易，即nopayo ffz∈ A.∩ M使得π（Z）≤ 这相当于要求每个可接受的合格支付必须有一个严格的正价格。根据假设1-2，没有好的交易相当于∩ ker（π）={0}。有时，人们有兴趣排除那些特殊的好交易Z∈ M使得λZ∈ A表示所有λ>0，对应于可以零成本甚至负成本购买的支付，并且无论其大小都是可接受的。根据Pennanen（2011）中引入的术语，我们将这种支付称为可扩展的好交易。根据假设1-2，缺乏可扩展的良好交易相当于∞∩ ker（π）={0}。上述条件对于确保最优支付的存在性和稳定性非常重要。风险度量与接受集A、合格支付空间M和Pricingfunctionπ相关的风险度量是映射ρ：X→通过设置ρ（X）：=inf{π（Z）；Z定义∈ M、 X+Z∈ A} 。对于我们研究合格资产最优投资组合的存在性和稳定性而言，至关重要的是假设ρ仅取有限值且是连续的；详见备注5.7。假设3。我们假设ρ是整值且连续的。Fa rkas等人（2015）提供了各种完整性和连续性的有效条件，我们在此记录这些条件以便于参考。特别要注意的是，ρ不能被精确估价（事实上，我们会得到ρ≡ -∞) unlessA+ker（π）6=X。Farkas等人将这种情况称为缺乏可接受性套利。

（2015），并表示不可能以零成本让每个职位都可以接受。提案2.4（[18，提案1、2、3]）。假设A+ker（π）6=X。然后，如果以下任何条件成立，ρ为整值且连续：（i）int X+∩ M 6=.（ii）A是凸的，X是凸的++∩ M 6=.（iii）A是凸锥，int A∩ M 6=.备注2.5。上述条件要求合格支付空间包含“充分无风险”的支付；详见Farkas等人（2015）。注意，条件（i）要求正coneX+具有非空内部。如果dim（X）<∞ 但除有界随机变量空间外，通常在有限维空间中分解。3最优支付图与风险度量ρ相关的最优支付图是集值图E:X=> 定义byE（X）：={Z∈ MX+Z∈ A、 π（Z）=ρ（X）}。E（X）中的每个合格支付被称为位置X的最佳支付。注意，如上所述，可能存在位置X，使得E（X）为空（即使ρ（X）为有限）。下一个命题列出了本文中使用的最优支付图的一些有用属性。为此，我们首先需要回顾风险度量ρ的一些基本属性。引理3.1（[18，引理2，3]）。对于任意X，Y∈ X风险度量ρ满足：（i）X≥ Y表示ρ（X）≤ ρ（Y）。（ii）ρ（X+Z）=ρ（X）- π（Z）对于每个Z∈ M、 （iii）ρ（X）=inf{M∈ RX+亩∈ A+ker（π）}。（四）{X∈ 十、ρ（X）<0}=int（A+ker（π））。（v） {X∈ 十、ρ（X）≤ 0}=cl（A+ker（π））。（vi）{X∈ 十、ρ（X）=0}=bd（A+ker（π））。提案3.2。

对于每X∈ 下列国家持有：（i）E（X）={Z∈ MX+Z∈ bd A∩ bd（A+ker（π））}。（ii）E（X+Z）=E（X）- Z代表每个Z∈ M、 （iii）E（K）对于每个紧集K是闭合的 十、（iv）当A是凸的时，E（X）是凸的。（v） 当A是多面体时，E（X）是多面体（M）。（vi）E（X）∞ A.∞∩ ker（π）。（vii）E（X）∞= A.∞∩ ker（π），如果A为星形且E（X）6=.证据（i） 因为A是闭合的，X+Z∈ 对于所有X，bd（A+ker（π））等于ρ（X）=π（Z∈ X和Z∈ M通过引理3.1，一旦我们证明了E（X），断言就成立了 {Z∈ MX+Z∈ bd A}。（2） 为此，取任意Z∈ E（X），注意，根据定义，我们有X+Z∈ A和ρ（X）=π（Z）。应为X+Z∈ 在等待中，我们将找到一个合适的ε>0，以便X+Z- εU∈ A、 然而，这将意味着ρ（X）≤ π（Z）- επ（U）<ρ（X）。因此，我们必须有X+Z∈ 这就是（2）的证明。（ii）对于任何Z∈ M根据命题3.2，E（X+Z）=bd A∩ bd（A+ker（π））- （X+Z）=（bd A∩ bd（A+ker（π））- X）- Z=E（X）- Z、 （iii）评估K X是紧的，考虑序列（Zn） E（K）收敛到某个Z∈ M（r ecallthat M is clos e d）。对于任意n∈ N我们发现Xn∈ K，使Zn∈ E（Xn）。由于K是紧的，一个适配子序列（Xnk）收敛到某个X∈ K、 请注意，Xnk+Znk∈ bd A∩ bd（A+ker（π））适用于所有k∈ N根据命题3.2。还请注意，Znk→ Z、 因此，我们推断X+Z∈ bd A∩bd（A+ker（π）），表示Z∈ E（X）aga根据命题3.2。这将产生Z∈ E（K），并得出证明结论。（iv）假设A是凸的，取任意X∈ 十、然后，对于每个Z，W∈ E（X）和每个λ∈ [0，1]我们显然有x+λZ+（1- λ） W=λ（X+Z）+（1- λ） （X+W）∈ Aas以及π（λZ+（1- λ） W）=λρ（X）+（1- λ） ρ（X）=ρ（X）。这表明E（X）是凸的。（v） 假设A是多面体，以便我们找到合适的泛函Д。

，^1m∈ X′+满足a=m\\i=1{X∈ 十、^1i（X）≥ σA（Дi）}。在这种情况下，我们很容易看到{Z∈ MX+Z∈ A} =m\\i=1{Z∈ M^1i（Z）≥ σA（Дi）- ^1i（X）}。（3） 此外，请注意{Z∈ Mπ（Z）=ρ（X）}={Z∈ Mπ（Z）≥ ρ（X）}∩ {Z∈ M-π（Z）≥ -ρ（X）}。（4） 这表明E（X）可以表示为M中两个多面体集的交点，因此在M中也是多面体。（vi）取任意Z∈ E（X）∞所以λnZn→ Z表示合适的序列（λn） R+收敛到零，对于（Zn） E（X）。自λn（X+Zn）→ Z和X+锌∈ A代表每n∈ N、 我们看到Z∈ A.∞. 此外，请注意，Z属于M（因为M是封闭的），满足π（Z）=limn→∞λnπ（Zn）=limn→∞λnρ（X）=0乘以π的连续性，因此Z∈ ker（π）。这证明了E（X）∞ A.∞∩ ker（π）。（vii）回想一下，如果A是星形的，我们有∞= 此外，回顾渐近锥总是包含相应的衰退锥。因此，根据第（v）点，一旦我们证明REC A∩ ker（π） 记录E（X）。（5） 为此，取任意Z∈ 记录A∩ ker（π）和W∈ E（X），它的存在是因为E（X）被假定为benonempty。我们声称，对于每个λ∈ (0, ∞), 我们有W+λZ∈ E（X）。为了说明这一点，请首先注意x+W+λZ∈ A、 这是因为Z∈ 记录A和X+W∈ A、 此外，很明显π（W+λZ）=π（W）=ρ（X）。这表明W+λZ∈ E（X）对于每个λ∈ (0, ∞) 并建立（5）。备注3.3。我们表明，上述第（vii）点中的假设都是必要的。设X=Rand M=X，通过为所有X设置π（X）=（X+X）来定义定价函数π∈ 十、（i） A为星形，但E（X）为空。考虑验收se t A=A∪ A其中A={X∈ 十、十、∈ [0, ∞), 十、∈ [-1.∞)}andA={X∈ 十、十、∈ (-∞, 0），X≥ 前任- 十、- 2}.请注意，A是星形的。很容易验证我们的假设（A1）到（A3）在该设置中都得到了满足。