合格投资者最优投资组合的存在性、唯一性和稳定性

综上所述，X处E始终是外半连续的。上半连续这一部分为最优支付图是上半连续的提供了必要和充分的条件。基于Aliprantis和Bor de r（2006）定理17.20中记录的一般特征化，我们通过证明上半连续性的序列特征来启动t。通过利用最优payoff映射的特殊结构，我们可以锐化这个结果，并表明上半连续性可以用序列来表征，而无需任何竞争性假设。事实上，上半连续性意味着紧凑的价值。提案5.3。下列语句是等价的：（a）E是上半连续的。（b） 对于每个紧致集K，E（K）是有界的（M） 十、（c） 对于每X∈ 我们有→ 十、 锌∈ E（Xn）==> Z∈ E（X），（Znk）：Znk→ Z、 证明。首先，假设（a）成立。回想Aliprantis和Border（2006）中的引理17.8，紧致值的nyupper半连续集值映射会自动将紧致集发送到有界集。由于命题3.2给出的E值与d值很接近，一旦我们证明E（X）对于任何给定的X都有界（以M为单位），就会出现断言（b）∈ 十、为此，假设e（X）6= 考虑由u=[Z]定义的e（X）的op-n邻域∈E（X）∩B（0）int B（Z）∪[r>1[Z]∈E（X）∩bd Br（0）int Br（Z）。此外，考虑严格递增函数f：（1，∞) → (2, ∞) 由f（r）=r+r给出。注意，对于每个W∈ 当功率k>2时，我们发现合适的r>1和Z∈ E（X）∩ bd Br（0）使W∈ int Br（Z），表示kW k≤ kZk+千瓦- Zk公司≤ f（r）和yieldskW- Zk公司≤r≤f-1（kW k）。因此，以下是W∈ U\\B（0）==> d（{W}，E（X））≤f-1（kW k）。（6） 上半连续存在一个开放的邻域UX X的X，使得E（Y） U代表联盟∈ 用户体验。

特别是，我们发现ε>0足够小，因此X+εU∈ UXand thusE（X）- εU=E（X+εU） U、 （7）我们声称d（E（X）- εU，E（X））>0。（8） 要看到这个，取任意Z，W∈ 注意，由于π（Z）=ρ（X）=π（W），我们有Z- W∈ ker（π）。这个yieldskZ- εU- W k公司≥ εd（{U}，ker（π））>0，建立（8）（最后一个不等式通过π的连续性成立，因为π（U）>0）。通过组合（6）、（7）和（8），我们可以得出E（X）必须有界的结论。事实上，如果不是这样，我们可以通过（7）无边界序列（Zn）找到 E（X）- εU U满足D（{Zn}，E（X））≤f-1（kZnk）→ 0by（6）。然而，这与（8）相矛盾。总之，E（X）是有界的，因此，（b）成立。接下来，假设（b）保持并考虑序列（Xn） X和X∈ X使得Xn→ 十、 Mor e over，let Zn∈ E（Xn）为每个n固定∈ N、 由于收敛，（Xn）包含在紧集中，因此它遵循fr om（a），即（Zn）有界，因此允许收敛子序列（Znk）。让Z∈ Mbe对应的限值（请注意，M是闭合的）。自Xnk+Znk∈ bd A∩ bd（A+ker（π））适用于所有k∈ 根据位置3.2，我们很容易推断出X+Z∈ bd A∩ bd（A+ker（π））。因此，我们可以将Proposition 3.2应用于c，从而得出Z∈ E（X）。这建立了（c）。根据Aliprantis and Border（2006）中的第17.20节，我们通过回顾（c）始终暗示（a）来完成等效性的证明。下一个结果表明，每当合格资产的市场没有可伸缩的好交易时，E总是上半连续的。推论5.4。假设市场不允许任何可扩展的好交易，即∞∩ ker（π）={0}。那么，E是上半连续的。证据一旦我们证明，对于任何固定紧集K 十、 集合E（K）以M为基础。

相反，假设E（K）没有界，这样我们就可以找到一个序列（Xn） K和元素Zn∈ E（Xn）表示n∈ N使kZnk≥ 每n取n∈ N、 在不丧失一般性的情况下，我们假设Xn→ X代表s ome X∈ K、 注意，通过紧性，我们可以提取出可测子序列（Znk），这样kznkk（Znk）→ 对于一些非零Z∈ M（回想一下，M是闭合的）。特别是r，我们还有kznkk（Xnk+Znk）→ Z、 自Xnk+Znk∈ A代表所有k∈ N、 我们看到Z∈ A.∞. 此外，Z满足π（Z）=limk→∞π（Znk）kZnkk=limk→∞ρ（Xnk）kZnkk=0连续性。然而，与我们的假设相反，这意味着Z∈ A.∞∩ ker（π）。因此，e（K）必须有界，从而得出证明结论。每当底层接受集为星形时，缺乏可扩展的好交易是上半连续的必要条件。在这种情况下，上半连续性等价于E（X）有界于某个位置X∈ X（使得E（X）是非空的）。回想一下，根据假设2，当A是凸的时，它会自动被压缩。定理5.5。假设A是星形的。然后，下列语句是等价的：（a）E是上半连续的。（b） E（X）每X有界∈ 十、（c） E（X）对于某些X是有界的∈ X使得E（X）6=.（d） 市场不允许任何可扩展的好交易，即∞∩ ker（π）={0}。证据从Pro位置5.3可以看出，（a）意味着（b），这显然意味着（c）。此外，推论5.4告诉我们，（d）意味着（a）。因此，必须证明∞∩ ker（π）={0}当在允许最优支付的某个位置有界值时，取任意X∈ 使得E（X）是非空且有界的。

在这种情况下，我们必须∞∩ ker（π）=E（X）∞= {0}到Proposition 3.2，这就结束了等价性的证明。下半连续性在本节中，我们重点讨论稳定性概念，如上所述，稳定性概念在我们的框架中最为相关。我们首先强调下半连续性可以用序列来等价地表示。此外，我们还表明，一旦下半连续性在属于A的边界和“增广”接受集A+ker（π）的边界之间的交点的每一个点上保持，它将自动确保所有位置的下半连续性，这与ρ为零的集一致。提案5.6。以下语句是等价的：（a）E在每X是下半连续的∈ 十、（b） E在每X为下半连续∈ bd A∩ bd（A+ker（π））。（c） 对于每X∈ 我们有→ 十、 Z∈ E（X）==> 锌∈ E（Xn）：Zn→ Z、 （d）每X∈ 我们有→ 十、 Z∈ E（X）==> Znk公司∈ E（Xnk）：Znk→ Z、 证明。很明显，（a）意味着（b），（c）意味着（d）。此外，[1，定理17.21]断言（a）和（d）总是等价的。因此，仍需证明（b）意味着（c）。为此，假设（b）保持并考虑任意（Xn） X和X∈ Xn→ 十、 此外，取任意Z∈ E（X）。首先假设X∈ bd A∩ bd（A+ker（π））。在这种情况下，对于任何k∈ N设置Uk=int Bk（Z），注意E（X）∩ Uk6=. 由于假设E在X处是下半连续的，所以对于任何k∈ 存在一个邻居Vk X的X，使得E（Y）∩ Uk6= 对于所有Y∈ Vk。观察到，通过采用子序列交点，我们可以在不损失一般性的情况下假设Vk+1 VK每k∈ N、 此外，对于每个k∈ N存在N（k）∈ N这样Xn∈ VK适用于所有n≥ n（k）。根据我们之前的假设，我们可以始终确保每个k的n（k+1）>n（k）∈ N

因此，对于e非常n∈ N我们可以选择付款方式∈ E（Xn）以Zn∈ UK无论何时n∈ [n（k），n（k+1））对于某些k∈ N（如果N<N（1），我们取任意的Zn∈ E（Xn））。不难验证Zn→ Z、 所以（c）成立。否则X/∈ bd A∩ bd（A+ker（π）），需要确定所有n的Yn=Xn+Z∈ N和Y=X+Z，并观察X+Z∈ bd A∩ bd（A+ker（π）），0=Z- Z∈ E（X）- 根据命题3.2，Z=E（X+Z）。此时，可以将前面的参数应用于查找∈ E（Xn+Z）表示所有n∈ N这样Wn→ 0.但是Wn+Z∈ E（Xn）每n∈ N和Wn+Z→ Z、 显示（b）在这种情况下也适用。备注5.7（假设3）。本文的主要目的是研究最优支付图的下半连续性。从前面的命题可以看出，我们的问题有意义的一个必要条件是ρ是有限且连续的。事实上，不难看出E在任何位置X都不能是下半连续的∈ X，其中E（X）6= 除非ρ是有限且连续的。这就解释了为什么我们必须在假设3下工作。备注5.8（关于下半连续的充分条件）。如引言中所述，通常很难建立下半连续性的一般有效条件；见Banket等人（1983年）以及其中的参考文献。一些众所周知的条件如下（引理5.18之前给出了严格下半连续的定义）：（i）存在严格下半连续映射S:X=> M和a下半连续映射：X=> M使得E（X）=S（X）∩ S（X）表示所有X∈ 十、参见B ank等人的引理2.2.5。

(19 83).（ii）下部{X∈ 十、Z∈ E（X）}对所有Z打开∈ M参见Aliprantis and Border（2006）中的引理17.12。（iii）图{（X，Z）∈ X×M；Z∈ E（X）}是凸的；见Rockafellar和Wets（200 9）中的定理5.9。不幸的是，由于不难验证，上述条件在我们的框架中通常不满足。沙Sin（i）的自然选择由s（X）={Z给出∈ MX+Z∈ A} 和S（X）={Z∈ Mπ（Z）=ρ（X）}。然而，这两种Snor扫描都不是严格的低半连续扫描。条件（ii）显然也永远不会满足。要完全满足条件（iii），ρ必须是任何线段的线性，即对于所有X，Y∈ X和λ∈ [0，1]我们必须有ρ（λX+（1- λ） Y）=λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）。在ρ（0）=0的常见情况下，这将迫使ρ在整个空间X上呈线性，如果M是X的严格子空间，则很少满足这一条件。多面体接受集的下半连续在本节中，我们证明了如果下伏接受集是多面体，则最优payoff映射的下半连续性始终成立。我们首先建立两个有用的引理。第一个简单结果突出显示了A边界点的有用属性（我们提供了一个证据，因为我们无法找到n个明确的引用）。这里，我们用ri C表示集合C的相对内部 X，即所有X的集合∈ C那个爱慕社区UX X令人满意的用户体验∩ a OFF C C、 引理5.9。假设A是多面体，由Д、…、表示，^1m∈ X′+。对于任何X∈ X定义（X）={i∈ {1，…，m}；Дi（X）=σA（Дi）}。然后，对于每个非空凸集C bd A以下语句s成立：（i）如果X∈ ri C和Y∈ C、 然后IA（X） IA（Y）。（ii）如果X，Y∈ ri C，然后IA（X）=IA（Y）。证据取任意X∈ ri C和Y∈ C、 很明显，t X±ε（Y- X）∈ ε>0足够小时为C。

然后，对于任何i∈ IA（X），我们有σA（νi）±ενi（Y- 十） =Дi（X±ε（Y- 十） （）≥ σA（Дi），仅当Дi（Y）=Дi（X）时才可能。这将产生i∈ IA（Y）表示（i）成立。断言（ii）是（i）的直接结果。第二个初步结果提供了多面体情况下最优Payoff映射的分解，这是建立下半连续性的关键因素。回想一下，凸集的点X 当C{X}仍然是凸的时，X被称为C的下一个点。还记得，任何po-lyhedralset都承认最多有很多极端点；参见引理7。78阿利普兰蒂斯和边界（2006年）。引理5.10。假设A是多面体。然后，存在C:X=> 使C（X）6= andE（X）=（A∞∩ ker（π））+C（X）每X∈ 并且使得C（K）对于每个紧集K是有界的 十、证据让X∈ X是固定的，并从命题3.2中回顾，由于A是多面体，E（X）也是多面体（M）。我们用C（X）表示多面体s et E（X）的极值点集的C凸壳∩ N，其中N是满足lin E（X）的M的任何向量子空间∩ N={0}。注意，根据命题3.2，N不取决于X的选择。此外，注意，通过构造，E（X）∩ N不包含任何向量子空间，因此允许存在极值点。现在，它遵循引理16.2和16。3 inBarvinok（2002）认为E（X）可以分解为E（X）=E（X）∞+ C（X）。根据命题3.2，我们可以等价地写出（X）=（A∞∩ ker（π））+C（X）。证明了C-ma-ps紧集是有界集。为此，假设A由Д、…、，^1m∈ X′+和每个i的定义∈ {1，…，m+2}ma psαi:N→ R和βi:X→ 通过设置αi（Z）得到R=如果i∈ {1，…，m}，π（Z），如果i=m+1，-π（Z）如果i=m+2，和βi（X）=σA（Дi）- 如果i∈ {1, . . .

，m}，ρ（X），如果i=m+1，-ρ（X），如果i=m+2。然后，根据（3）和（4），多面体集E（X）∩ N可表示为asE（X）∩ N=m+2 \\i=1{Z∈ Nαi（Z）≥ 每X的βi（X）}∈ 十、现在，由I注释所有子集I的集合 {1，…，m+2}由d=小元素组成，并且{αi；i∈ 一} 是线性独立的。根据Berts e kas et al.（20 03）中的第3.3.3条建议，集合I是非空的。此外，定义αI:N→ Rd和βI:X→ rD通过设置αI（Z）=（αI（Z），αid（Z））和βI（X）=（βI（X），βid（X））对于每个I={I，…，id}∈ 注意，对于每个I，αIis线性且双射，βIis连续（由于ρ的连续性）∈ 一、 根据Bertsekas et al.（2003）中的P Proposition 3.3.3，E（X）的每个极值点∩ N，带X∈ X的形式为α-1I（βI（X））对于某些I∈ 一、 这意味着，对于nycompact集K X，我们有c（K） co【I】∈Iα-1I（βI（K））！。注意α-1I（βI（K））对于I的每个选择都是紧凑的∈ 一、 由于I包含很多成员，并且紧集的凸包仍然是紧的，因此我们得出结论，C（K）包含在紧集中。这证明了C（K）是不成立的，并得出了证明。我们现在准备证明，如果基础接受集是多面体，则下半连续性总是成立的。定理5.11。假设A是多面体。那么，E是下半连续的。证据我们自始至终都假设A由Д，^1m∈ X′+。取X∈ X，考虑一个序列（Xn） X收敛到X和Z∈ E（X）。Let（锌） M为满足Zn要求的任何序列∈ C（Xn）每n∈ N、 其中C:X=> M是引理5.10的集值d ma p。由于（Xn）包含在一个紧集中，引理5.10告诉我们（Zn）是有界的。因此，通过一个合适的子序列，westill用（Zn）表示，我们得到了Zn→ 对于一些报酬∈ M

请注意，Xn+Zn→ X+W和Xn+Zn∈bd A∩ bd（A+ker（π）），对于所有n∈ N根据命题3.2。因此，我们推断X+W∈ bd A∩ bd（A+ker（π））或等效地，W∈ E（X）再次通过命题3.2。回想推论4.5，E（X）6=. 如果| E（X）|=1，那么我们必须有W=Z，并且我们根据命题5.6立即得出E在X是下半连续的。因此，我们假设| E（X）|>1。在这种情况下，E（X）是凸的，具有非空的相对内部。我们首先假设Z∈ ri E（X）。自X+Z∈ ri（X+E（X））和X+W∈ X+E（X）和sinceX+E（X） bd A根据命题3.2，我们从引理5推断。9 thatIA（X+Z） IA（X+W）。这尤其意味着Ia（X+Z） {i∈ {1，…，m}；^1i（Z- W）=0}。对于i∈ IA（X+Z）我们可以使用上述夹杂物获得（注意，Xn+Zn∈ A代表所有n∈ N） ^1i（Xn+Zn+Z- W）=Дi（Xn+Zn）≥ σA（Дi）每n∈ N、 对于i 6∈ IA（X+Z）我们立即看到φi（Xn+Zn+Z- W）=Дi（Xn+Zn- 十、- W）+Дi（X+Z）>σA（Дi），对于自Дi（Xn+Zn）起足够大的n- 十、- W）→ 通过组合上述不等式，我们推断xn+Zn+Z- W∈ A表示足够大的n。现在，设置Wn=Zn+Z- 每n为W∈ N并注意到wn→ Z、 此外，我们最终得到了Xn+Wn∈ A和π（Wn）=π（Zn）+π（Z）- π（W）=ρ（Xn）+ρ（X）- ρ（X）=ρ（Xn）。换句话说，序列（Wn） 我很满意∈ E（Xn）表示n个大的E nough和Wn→ Z、 这表明E在命题5.6的X处是下半连续的。假设Z/∈ ri E（X）。在这种情况下，我们可以通过e（X）相对内部的元素来近似Z，并将上述参数应用于每个元素。从命题5.6可以看出，在这种情况下，E在X处也是低连续的。回想一下，基于预期短缺或测试场景的验收集在有限维环境中是多面体的。

因此，以下推论是我们关于Polye Dralaception集的一般结果的直接结果。推论5.12。假设尺寸（X）<∞ A是基于预期短缺或测试场景。然后，E是严格凸接受集的下半连续下半连续如果选择的接受集是严格凸的，则最优支付映射总是下半连续的。事实上，在这种情况下，任何职位都有唯一的最优薪酬，并且与每个职位相关联的最佳薪酬的ma p是连续的。定理5.13。假设A是严格凸的。那么，E是下半连续的。证据回想一下，根据推论4.11，每一个位置最多允许一个最优的凸性支付。因此，E显然是有界值的，定理5.5暗示E是上半连续的。作为结果，我们从备注5.1推断E也是下半连续的。下半连续性的反例例如5.14（基于VaR的验收集）。我们表明，如果可接受性基于VaR，则资本头寸的轻微扰动可能会大幅减少最优支付的范围。事实上，最优支付的选择数量可能会突然从有限减少到只有一个。固定α∈0,（回想一下，α接近0的值实际上是有趣的值）并考虑概率空间(Ohm, F、 P）和一个分区{E，F，G} 第页，共页Ohm 满足P（E）=P（F）=α和P（G）=1- 2α. LetX=L∞(Ohm, F、 P）并考虑基于VaR的接受集a={X∈ 十、P（X<0）≤ α}.此外，取M=跨度(Ohm, Z） 对于Z=E-通过设置π来定义π(Ohm) = 1和π（Z）=0。在这些规范下，假设1至3均得到满足∩ ker（π）={0}（市场不允许有好的交易），根据推论4.4，E（X）6= 对于所有X∈ 十、