一个具有随机波动率的双因素正演曲线模型

如果这个近似值足够准确，我们可以运行蒙特卡罗模拟，只跟踪一个额外的路径变量，综合赫斯顿系数=0w（s）ds，利用这一点，赫斯顿波动率变量v（t）和两个正则系数u（t）和u（t），我们可以计算任何远期价格F（t，t）。如果我们匹配方差，我们可以将V ar（Zts=0w（s）σF（s，T）ds）=V ar（k（T，T）Zts=0w（s）ds）（16）写为k（T，T）=Rts=0Rss=0σF（s，T）σF（s，T）E[w（s）w（s）]dsdsRts=0Rss=0E[w（s）w（s）]（17）为了计算这一点，我们需要计算s的J（s，s）=E[w（s）w（s）]≤ s： J（s，s）=E[w（s）w（s）]=E[w（s）]+Zss=sw（s）dw（s）=E[w（s）]- βZssJ（s，s）ds（18）然后Js=-βJ（s，s）（19）soJ（s，s）=ce-β（s-s） （20）对于某些常数c，我们知道J（s，s）=E[w（s）]，从标准Heston模型我们知道E[w（t）]=α2β（1- e-2βt）（21）soJ（s，s）=E[w（s）w（s）]=α2β（1- e-2βs）e-β（s-s） （22）然后，我们可以通过计算两个积分来计算该“漂移因子”k（t，t）的表达式。结果形式相当复杂，但仍接近形式，见附录A。利用漂移因子的表达式，我们可以通过模拟两个因子u（t）和u（t）来运行蒙特卡罗模拟，为许多衍生工具定价；theHeston波动系数v（t）；和综合赫斯顿系数（Rts=0w（s）ds。有了这些信息，在蒙特卡罗路径上的任何一点，我们都可以计算出远期价格F（t，t）。5验证漂移近似值该近似值在两个极限下精确：o波动率的波动率为零。

在这种情况下，w（t）=v（t）- 1始终为零，上述I（t，t）中的第二项始终为零σF（t，t）是一个常数，也就是说，如果β和β都为零，或者如果β为零，R=0。当存在显著的波动率和显著的σF（t，t）期限结构时，近似值最为极端。为了在预计近似误差最大的情况下测试近似误差的大小，我们首先比较上述基于因子的蒙特卡罗模拟和单一远期价格的无近似模拟之间模拟远期的预期值，使用相同的蒙特卡罗路径和种子最小化模拟前锋的差异（上述两个极限的差异为零）。远期是近似误差的最佳度量，因为近似会影响风险中性漂移；如果近似失败，模拟将给出错误的预期正向。试验使用参数te=1，T=2，σ=0.6，β=0.01，β=1，R=0.5，ρ=-0.3，β=0，ρ=0.3，ρ=0.3。市场远期价格为1。在蒙特卡罗模拟中，我们使用了100个时间步和100000条路径。α的值范围为0到3，这使得ATMF的隐含波动率范围为57.4。图3显示了基点的近似误差（一个基点为10-对于这些作为α函数的极端参数，波动率的波动率，从0到3。图4显示了模拟正向上的标准错误。请注意，模拟远期中的近似误差非常小，只有在模拟误差同样大得多并主导近似误差的最极端市场条件下才能达到1bp。

例如，对于α=3的100000条路径，远期价格的标准误差为78bp，比近似误差大72倍。第二个测试是在蒙特卡罗模拟的两种情况下计算的货币隐含波动率。使用与第一次测试相同的参数，图5显示了作为α函数的波动率百分比的近似误差。图6显示了相同α范围内模拟隐含可用性的标准误差。同样，近似误差非常小：最大值为0.0015%，而模拟的标准误差约为0.14%。近似误差对于货币隐含的波动性计算以及普通期权价格计算而言非常小。在这些参数的α值范围内，隐含的挥发度水平在30%-40%之间。最终测试针对的是货币外波动率，我们使用与货币波动率测试相同的参数，但使用的是1.4倍于远期的走向-大约一年的货币外标准差图3：极端市场和模型参数下模拟远期的近似误差。y轴显示模拟正向中的基点差异，x轴显示α值。图4：具有极端市场和模型参数的蒙特卡罗模拟中远期预期值的标准误差。y轴显示基点的标准误差，x轴显示α值。图5：在极端市场和模型参数下，模拟货币隐含波动率的近似误差。y轴以百分比表示隐含可用性差异，x轴表示α值。图6：在具有极端市场和模型参数的蒙特卡罗模拟中，货币隐含效用预期值的标准误差。

y轴表示波动率百分比的标准误差，X轴表示α值。图7：在极端市场和模型参数下，模拟货币外隐含效用的近似误差为远期的1.4倍。y轴表示隐含波动率差异的百分比，x轴表示α值。波动率约为40%时到期。图7显示了作为α函数的百分比波动率近似误差。图8显示了相同α范围内模拟隐含波动率的标准误差。与之前一样，近似误差很小，最大为0.007%，而隐含波动率的标准误差为0.2-0.5%。这些测试中使用的参数相对极端，在更实际的用例中，近似误差甚至更低。6结论和未来工作我们在衍生产品定价的背景下引入了一个商品远期价格演变的新模型，该模型包括商品现货价格的均值回归、远期曲线波动的去相关以及隐含波动性skew和smile。我们提供了一种通过双数值积分有效计算普通期权和早期行使期权价格的方法，该方法允许相对图8：蒙特卡罗模拟中的货币外隐含波动率预期值的标准误差，具有极端市场和模型参数，为远期的1.4倍。y轴表示波动率百分比的标准误差，x轴表示α值。快速了解模型参数对交易期权价格的最佳拟合。我们还包括一个基于因子的蒙特卡罗模拟的衍生品定价算法，该算法的近似值避免了在支付中包含的每个结算日显式模拟远期的综合漂移因子。

对于实际情况，近似误差被验证为非常小。未来工作的几个方面表明：o为σ添加确定性时间依赖性。目前，使用constantmodel参数，该模型将无法精确拟合所有交易到期的MoneyImplemented波动率。获取精确fit的通常方法是让σ是日历时间t或结算时间t的分段常数函数（对于crudeoil等非季节性市场，通常为σ（t），对于电力和天然气等季节性市场，通常为σ（t）。o将确定性时间相关性添加到α、ρ和/或ρ。虽然α、β、ρ和ρ的常数值可以产生相当普遍的微笑和歪斜期限结构，但通常不可能校准模型，以重现参数如此之少的所有交易到期期限的隐含波动率微笑和歪斜的市场水平。将参数设为t或t的分段常数函数可实现精确校准添加第二个波动系数。一些衍生产品价格对不同到期期限的隐含波动率变动的相关性很敏感，在该模型中，这种相关性是100%，因为只有一个随机因素。

添加第二个因素可以在一定程度上控制波动率相关性的期限结构。参考文献[1]Schwartz，ES《商品价格的随机行为：估值和对冲的含义》，《金融杂志》，第52卷，第3期，1997年7月，第923-973页[2]Hilliard，JE和Reis，《商品期货和期权在短期便利收益率、利率和跳跃差异下的估值》，《金融和定量分析杂志》，第33卷，第1期，1998年3月，第61-86页[3]Gabillon，J《石油期货价格的期限结构》一书：牛津能源研究所，1991年[4]Zolotko，M和Orkhrin，O《商品远期曲线与能源经济学之间的一般依赖性建模》，第43卷，2014年5月，第284页[5]Rebonato，R《利率衍生品的现代定价：伦敦银行同业拆借利率市场模型及其后》一书：普林斯顿大学出版社，2002年【6】Geman，《石油和天然气价格中的均值回归与随机游走：Fu MC、Jarrow、RA、Yen JYJ、Elliott RJ（eds）数学金融进展》。应用和数值谐波分析。