养老保险的多元密度模型

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英文标题：
《Multivariate Density Modeling for Retirement Finance》
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作者：
Christopher J. Rook
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Prior to the financial crisis mortgage securitization models increased in sophistication as did products built to insure against losses. Layers of complexity formed upon a foundation that could not support it and as the foundation crumbled the housing market followed. That foundation was the Gaussian copula which failed to correctly model failure-time correlations of derivative securities in duress. In retirement, surveys suggest the greatest fear is running out of money and as retirement decumulation models become increasingly sophisticated, large financial firms and robo-advisors may guarantee their success. Similar to an investment bank failure the event of retirement ruin is driven by outliers and correlations in times of stress. It would be desirable to have a foundation able to support the increased complexity before it forms however the industry currently relies upon similar Gaussian (or lognormal) dependence structures. We propose a multivariate density model having fixed marginals that is tractable and fits data which are skewed, heavy-tailed, multimodal, i.e., of arbitrary complexity allowing for a rich correlation structure. It is also ideal for stress-testing a retirement plan by fitting historical data seeded with black swan events. A preliminary section reviews all concepts before they are used and fully documented C/C++ source code is attached making the research self-contained. Lastly, we take the opportunity to challenge existing retirement finance dogma and also review some recent criticisms of retirement ruin probabilities and their suggested replacement metrics.
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中文摘要：
在金融危机之前，抵押贷款证券化模型的成熟度有所提高，为防止损失而构建的产品也在提高。在一个无法支撑它的基础上形成了一层层的复杂性，随着基础的崩溃，住房市场随之崩溃。这一基础是高斯copula，它未能正确模拟被迫衍生证券的失效时间相关性。在退休方面，调查表明，最大的担忧是资金耗尽，随着退休人数递减模型变得越来越复杂，大型金融公司和机器人顾问可能会保证他们的成功。与投资银行破产类似，退休破产事件是由压力时期的异常值和相关性驱动的。在复杂性增加之前，最好有一个能够支持其形成的基础，但该行业目前依赖于类似的高斯（或对数正态）依赖结构。我们提出了一个具有固定边缘的多元密度模型，该模型易于处理，适合倾斜、重尾、多模态的数据，即具有任意复杂度的数据，允许丰富的相关结构。通过拟合黑天鹅事件的历史数据，它也是对退休计划进行压力测试的理想选择。一个初步的章节回顾了所有概念在使用之前的情况，并附上了完整的C/C++源代码文档，使研究内容完整。最后，我们借此机会挑战现有的退休金融教条，并回顾了最近对退休破产概率的一些批评及其建议的替代指标。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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关键词：养老保险 Applications Quantitative Multivariate correlations

2017年9月12日(c)退休财务的多元密度建模Christopher J.Rookabstract在金融危机之前，抵押贷款证券化模型的成熟度有所提高，为防止损失而构建的产品也有所提高。在一个无法支撑它的基础上形成了一层层的复杂性，随着基础的崩溃，住房市场随之崩溃。这一基础是高斯密码（GaussianCopulation），该密码未能正确建模被迫衍生证券的失效时间相关性。在现实中，调查表明，最大的担忧是资金耗尽，随着退休人数递减模型变得越来越复杂，大型金融公司和机器人顾问可能会保证他们的成功。与投资银行破产类似，退休破产事件是由压力时期的异常值和相关性驱动的。在复杂性增加之前，最好有一个能够支持其形成的基础，但该行业目前依赖于类似的高斯（或对数正态）依赖结构。我们提出了一个具有固定边缘的多元密度模型，该模型易于处理，适合倾斜、重尾、多模态的数据，即具有任意复杂性的数据，允许丰富的相关结构。它也非常适合于通过拟合黑天鹅事件的历史数据来测试退休计划。一个初步的部分回顾了所有概念在使用之前的情况，并附上了完整的C/C++源代码文档，使研究内容完整。最后，我们借此机会挑战现有的退休金融教条，并回顾了最近对退休破产概率的一些批评及其建议的替代指标。产品目录。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1.我

文献综述。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2.二、准备工作。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3.三、 单变量密度建模。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。29四、 不含协方差的多元密度建模。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。37五、 具有协方差的多变量密度建模。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。40六、 多元化投资组合的费用调整实际复利回报。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。47七、退休投资组合优化。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。49八、结论51参考文献。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。52数据来源/退休调查。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。55九、 带源代码的附录。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

56关键词：方差分量、EM算法、ECME算法、最大似然、PDF、CDF、信息准则、有限混合模型、约束优化、退休递减、破产概率、静态/动态下滑路径、金融危机联系：cjr5@njit.eduA在时间t-1以美元pt-1购买的金融证券，所有分配再投资产生一个时间t称为调整价格的价值，例如，t=1,2，…，为美元pt，。。。，T、 时间T的总回报率为Rt=（Pt-Pt-1）/Pt-1，总复合回报率为1+Rt=Pt/Pt-1，因此$Pt-1（1+Rt）=$Pt。如果时间t-1和t之间的通货膨胀率为1+Rt=（1+It）（1+Rt），其中Rt=（1+Rt）/（1+It）–1是时间t的实际回报。时间t的实际价格是价值$pt，使得（pt-pt-1）/pt-1=Rt，求解后产生$pt=$pt/（1+It）。在有效市场中，真实价格由几何随机游走（GRW）控制，即ln（$pt）=ln（$pt-1）+St，其中St~N（μ，σ）。μ>0的值表示漂移，预期对数标度价格上涨是否足以补偿投资者在时间t-1和t之间的风险（σ）。在随机游走中，下一个值是当前值加上随机正态步长St，其最佳预测值是当前值+μ。将GRW模型的两侧指数化，得到另一种形式$pt=（$pt-1）e, 其中e=  （1+rt）~对数正态分布（μ，σ）。在严格的条件下，正态分布的步长St是合理的。将t-1和t之间的时间分解为一系列较小的段，例如，d=1,2，。。。，设1+rd为独立同分布（iid）随机变量（RVs），用于时间D-1和D之间的复合实际收益，因此ln（1+rd）也是iid RVs。时间t的复合实际回报为（1+rt）=∏1.re∑= e其中St=∑自然对数1.r~ 当d时，N（μ，σ）≥ 根据中心极限定理（CLT）。

这里，t可以表示年和日，因此复合年收益率是复合日收益率的乘积。当（1+rd）不是iid（d=1,2，…）时，（1+rt）的对数正态性假设失效，。。。，有充分的研究表明，收益率之间的相关性随着时间长度的减少而增加。我们还发现，与对数正态分布相比，正态概率密度函数（PDF）更适合退休融资中使用的流动证券的复合收益，这表明短期实际复合收益可能不是iid（见§II.C）。更复杂的是，一般认为正常PDF是可处理的，而对数正常PDF则不是。例如，分别具有真实回报E和bt的股票和债券的多元化投资组合具有复合真实回报α（1+et）+（1-α）（1+bt），其中α是权益比率。不幸的是，相关对数正态RVs之和不存在已知的PDF，我们只能近似给定α的PDF，请参见Rook&Kerman（2015）了解实现。尽管使用normalRVs对金融领域的复合实际回报进行建模有好处，但许多从业者和研究人员不会这么做，主要原因是缺乏偏斜和厚尾，还因为普通PDF会产生负价格。金融危机期间高斯copulas的严重失效强化了人们的怀疑。不幸的是，那些拒绝使用普通PDF的人无法从使用它优化的离散时间金融模型中获益。

这项研究的动机是出于这种困境，尤其是对倾斜、重尾、多模式、可处理PDF的渴望，以模拟离散时间金融应用中多元化投资组合的复合实际回报。特别令人感兴趣的是卡尔·皮尔逊（KarlPearson）于1895年提出的一项主张，即对数正态PDF的矩实际上可以与正态的混合物进行区分（McLachlan&Peel，2000）。一、 在房地产繁荣时期，住房抵押贷款被打包并作为证券出售。证券的价格是未来现金流的现值，这里是抵押付款。这些产品被分为多个部分，因此当借款人违约时，低级别持有人首先遭受损失，其次是中级持有人，然后是顶级持有人（MacKenzie&Spears，2014）。需要现金流和时间来为每笔贷款在每个时间点违约的贷款定价。违约时间可以使用指数PDF进行建模，其概率是在其累积分布函数（CDF）返回的一段时间之前违约的。给定时间之前同时违约的概率由copula或多元CDF计算得出，并取决于违约时间之间的相关性。由于缺乏数据，无法估计住宅借款人违约时间之间的真实相关性。Li（2000）建议将copula同时默认为使用正常RVs的等效表达式。这些RVs之间的相关性来自对基础债务工具的衡量，其正常假设是合理的，并且存在足够的数据。利用这些相关性，高斯copula可以在特定时间之前返回同时违约的可能性。

然后可以从高斯copula模拟相关指数衰减时间上的样本，并用于评估安全性。持有的贷款池5000份抵押贷款，股权部分像股票，高级部分像asafe债券。低利率导致流动性过剩，养老金和主权财富基金对AAA级优先股产生了贪得无厌的胃口，这些优先股的收益率超过了美国国债（Kachani，2012）。该体系的一个致命缺陷是，经济学家几十年来一直认为金融数据来源于危机期间的制度和相关性变化（Hamilton，1989）。由于房地产泡沫破灭之后是房地产繁荣，事后看来，用一个价值来衡量相关性是不明智的。正如所见，在危机中，违约时间相关性（defaulttimecorrelations）增加，作为安全债券出售的高级债券更像是一只股票，保险公司表示，到2007年，保险公司已承销了62.2万亿美元的信用违约合同（2002年为16万亿美元）。这场危机的罪魁祸首集中在高斯copula（Salmon，2009），有一个结论是“正常回报在金融业是不合适的”（Nocera，2009）。警告不要使用正态分布的研究人员和从业者被证明是正确的。Paolella（2013）随后宣布“therace正在进行”，以找到更适合金融应用的多元PDF，并提供了混合密度的概述，混合密度通常用于建模经济体制并构成本研究的基础。我们开发的PDF是一个具有固定正态混合边缘的多元正态混合。当用于离散时间退休减记模型时，它是可分割的，并且易于理解。在§II中，我们详细说明了所需的理论/技术，在§III中，我们将通用的单变量正态混合拟合到收益集合中。在§IV中，我们形成多元PDF，并在§V中添加相关性。

最后，在§VI和§VII中，我们推导了多元化投资组合的费用调整后实际复合回报，并将其用于最优减计模型中。附录中包含了支持性证明、派生和完整的C/C++实现。二、本文介绍了§III至§V中开发的密度模型所需的基本概念。A、 概率密度和累积分布函数let X是连续的RV，f（X）是函数，使得f（X）≥  0 x个∈  具有=  函数f（x）是x的有效PDF（Casella&Berger，1990）。CDFfor X定义为F（X）=P（X x）=.  根据微积分第二基本定理（Anton，1988），F′（x）=F（x）-F(-∞) = f（x），即RV x的DF是其CDF的第一导数。注意，X可以定义在, 而f（·）通常取决于参数向量，比如θ，它可以表示X的平均值和方差。PDF的其他常见表达式包括f（X，θ）、f（X；θ）、f（X |θ），也可以用fX（·）表示受控制的RV，写为X ~ fX（·）。对于单个RV X，f（X）是一个单变量PDF，但上述内容也适用于RVs的n维向量， = （X，…，Xn）′，定义于n、 这里，f() 是带f的多元PDF()≥ 0  ∈ n、 以及= 1、多元CDF 定义为F() = P() =, 其中Ω={:}.  与单变量情况类似，区分多变量CDF会产生多变量PDF，即，…F= , 和一个RV的边缘PDF，例如，Xis，通过整合所有其他RV获得。即f（x）=ooo.B、 有限混合物密度设X为连续RV，设f（X）。。。，fg（x）是满足§II中单变量PDF条件的g函数。A、 还有，让π。。。，πgbe概率（0<πi 1，i=1，。。。，g） 这样π+…+πg=1。

那么f（x）=πf（x）+…+πgfg（x）也满足§II中的PDF条件。被称为有限混合密度（Titterington，et al.，1985）。如果X~f（X），则f（X）=P（X x）=∑πi我gi公司1.= πF（x）+…+πgFg（x）是x的theCDF。Letμ是fi（x）的rth时刻。然后E（Xr）=μ（r）=   =∑π=∑π =∑πμ.  因此，E（X）=∑πμV（X）=E（X）–E（X）=∑πμ- ∑πμ.什么时候= （X，…，Xn）′是RVs的n维向量n=  πf() + ... + πgfg() 是一种多变量PDF，满足§II中规定的多变量PDF条件。A、 混合PDF，f（x）有两种不同的解释：（1）f（x）是一个函数，可以精确模拟RV x的DF形状/形式，或（2）RV x源自概率为πi，i=1,2，。。。，g、 组件有标签。虽然参数估计不受解释的影响，但基本数学是。在参数估计期间，我们采用简化数学的解释。每个分量密度fi（x）可能取决于参数向量θi，并且let = （π，…，πg）′是分量概率的向量。当从f（x）中得出iid观测值时，例如xt，t=1,2，。。。，T、 目标是估计参数θi，i=1,2，。。。，g和.  估计后，PDF已完全指定，可以使用。根据上述解释（2），组件具有含义。混合PDF模型通过组件串行关联数据。每个组件都被视为一个状态，每个时间t都有g个状态。如果我们假设观测xt+1仅依赖于先前的观测xt，并且状态之间转换的长期概率是平稳的，那么状态转换随时间演化为马尔可夫链（Hillier&Lieberman，2010）。

定义gxg矩阵{πij}i，j=1,2，。。。，g作为时间t+1时处于状态的条件概率，假设我们在时间t时处于状态i。源自混合PDF的序列相关数据除了θi和, 其中πiis现在被解释为在时间t处于状态i的无条件概率（在时间t=0时使用）（McLachlan&Peel，2000）。在金融/经济学中，混合PDF的g状态被称为制度，国家之间的依赖性随时间推移的过渡过程被称为制度转换（Hamilton，1989）。如上所述，上述解释（1）和（2）的基本数学不同。在解释（2）下，成分有标签，因此混合PDF中的观察结果可以看作成对出现（xt，zt），其中xt是实际值，zt是生成它的成分，t=1,2，。。。，T、 通常用矢量代替ZTBY= {}, 对于t=1,2，。。。，T&j=1,2，。。。，g在组件槽中有1，在其他地方有0，例如，在时间t=1时组件=2可以表示为z=2或= （0,1,0，…，0）′（见图一）。图I.成分有标签时的混合物数据收集注：每个ztj=0或1，以及∑=1，对于t=1,2，。。。，T、 此表示法适用于从属和独立数据。依赖数据的混合PDF被称为隐马尔可夫模型（HMM）（Rabiner&Juang，1986），因为状态向量通常无法观察到（它是隐藏的）。因此，HMM模型构建中的一个关键任务是确定哪个状态生成每个观察值，xt，t=1,2，。。。，T