一般均衡与衰退现象

此外，作为∑=lii公司∑=李森（liithen）∑∑==从这里，我们得到向量解方程组，，，∑∑===><><Likiilikibpcpbc。，1 nk=来自等式0，>=-< pCybiii，，，1 li=由此得出，最后一组方程的线性独立解的数量不小于| | In-这意味着平衡态的简并多重数不小于| | In-.证明了定理3。在这个定理中，基于上述引入的等价财产分布的概念，我们证明了在经济平衡发生多重退化的社会中，这种等价财产分布的存在。在这种情况下，随机因素可以引发任何可能的平衡态之间的转换。所证明的定理证实了我们在[3]中的假设，即在平衡状态下，衰退伴随着平衡状态退化。从定理3可以看出，在平衡点P处存在解的分支，即存在| | Inr-=-参数解族是平衡态族。在这种情况下，让我们引入国家货币单位的实际价值概念来描述这种均衡状态。在所考虑的模型中，我们假设经济系统中均衡价格向量的第一个分量P是货币等特定商品的名义价值，我们取一个等于正因子的均衡价格向量，供给向量ψ的第一个分量ψ是经济系统中的货币供应量。让我们确定均衡价格向量假设的实际货币价值。∑==niiipp如果平衡状态的简并多重性p等于，1=r，那么实际货币价值是唯一确定的。在这种情况下，货币将既是一种交换媒介，也是一种保值的手段。

若>r，那个么经济系统中给定的财产分布对应于一系列平衡状态。在这种情况下，货币侵蚀了价值，因为最后一个公式给出了一系列价值。如果实际货币价值的波动在给定值下不显著，那么货币也具有交换函数和近似值函数。在相反的情况下，也就是说，当临界状态变得货币失去部分价值功能时，国家货币贬值，正如我们所看到的，原因是经济体系中的供给结构和需求结构之间存在差异。在这种经济体制下，产权分配结构需要改革，即结构经济转型。这里我们给出了研究一般平衡结构所必需的定理。定理4。让条件为0>∑=nkkiC，，1 li=，0>∑=likiCni，1=保持。交换模型中存在平衡的充要条件如下：存在非零非负向量}{==和非零非负向量K 1}{==ψthatilicy∑==ψ、 （14）对于向量Sib，以下表示成立，iiidbb+=，，ψψ>><=ppCybiii，，1 li=，0=∑=liid0，>=<idp，，，1 li=（15），其中p是满足条件的非零非负向量，，>>=<pp>，，pCi>，，1 li=。ψψ≤（16） 定理5。假设定理4条件成立，且niipp}{==是这样的均衡价格向量，，，，IKPCPBCKILIKI∈=><><∑=ψ(17).,,,JKPCPBCKILIKI公司∈<><><∑=ψ（18）那么，0=ip，Ji∈哪里，金∪=Θ=∩JI，-Θ空集和-Inon的空子集。文[2]中定理的NSee证明。定理6。假设定理4条件成立，且P具有正分量，且其指数属于集合，则不等式集（1）成立。

然后是向量集，~ id，，，1 li=这样0，~>=<pdi，，，1 li=∑=≤liid，0~和一个等价的性质分布，~ iiidbb+=，1 li=是向量集iiiCyb的秩-   ,,1 li=不超过|、| Iand。ψ=∑=LIIB方程组><><∑=,,Pcpbciliki=kψ，，，1 nk=有一个分支解p，其简并多重性不小于|，| In-其中，}{nkkiibb==，1 li=指数属于集合的商品的值可以是任意的。证明。根据定理4，向量解方程组><><∑=,,Pcpbciliki=kψ，。，1 nk=表示“>>=”，Pcpbyii。，1 li=向量，}{liiyy==，0≥iy求解方程组（14）。引入符号=idψψ><><-,,ppCybiii。，1 li=（19）然后，0，=><pdi，，1 li=。0≥∑=liid（20）满足条件（20）的向量集（19）可以表示为两个向量siidd+的和，其中向量nkkiidd}{==是这样的=kid，，Jk∈向量的分量}{==kkiids满足条件，0=kid，Ik∈li，1=。为了满足条件（20），我们需要要求vectorsid，id的集合满足条件0，>=<pdi，1 li=，0=∑=liid，0≥∑=li作为条件，0，>=<pdi，，1 li=有效。在定理1的证明中，我们由此得到向量集的表示，ib，，1 li=，）（，，deppeappCyb+-+><><=∑∑,,1 li=其中向量集d，，1 li=满足条件，0≥∑d、 0，>=<pd。，1 li=让我们构造向量集，~ id，，1 li=在定理5中声明。引入一个向量k 1}{=ψψ，其中，0=kψ，Ik∈,kkψψ=，Jk∈和一个向量族，}{00 nkkiiCC=，0=kiC，Ik∈,kikiCC=，Jk∈li，1=。让我们把，，，IIIII CYPPCYD+><><-=ψψ.,1 li=很明显，i，，1 li=∑lii。

此外，nkkii=，0=儿童。Ik∈介绍向量~ iiidbb+=，~ III其中向量表示向量的表示。然后我们得到，，，，（，，IIIIIISSssiIICYPPcYeppeAppcyB+><><--+><><=∑∑∈∈.,1 li=很明显，0}{≥==nkkiibb li，1=。由此可知，向量Sii，，，1 li=在一组指示符Si处具有零分量。因此，0≥=kikibb Ik∈. 如果，Jk∈然后kiikiCyb=实际上，as，kkψψ=，kikiCC=，Jk∈,,1 li=然后向量的分量）（eppea∑∑-,ψψ>>>>，ppCyii 0，，ψψ>>><-ppcyii在指标集j处消失。因此，对于这样的价格向量nkkpp}{==那，kkpp=Ik∈,  AND组件SKP，，Jk∈是任意的非负数，我们有∑∑∑∈∈∈基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基基∑∈+><, =.,][><=+∑∑∈∈因此，PcypcCyiikjkkikkii，>><=PcPbyii，，。此外，作为∑=lii公司∑=李森（liithen）∑∑==从这里，我们得到向量解方程组，，，kiilikipCpbC=>>><∑=.,1 nk=来自等式0，>=-< pCybiii，，，1 li=由此得出，最后一个方程组的线性独立解的数量不小于| | In-意味着平衡态的简并多重数不小于| | In-.证明了定理6。定理6的含义是，在平衡状态下，存在这样一种等价的财产分配，在这种分配下，指数属于集合的商品的需求与其供应相同，即向量B的组成部分和来自集合的指数的组成部分。由此可知，这类商品的价值不是由均衡条件决定的。而且，正如我们上面提到的，在这种情况下，货币失去了部分交换和价值的功能。

在这种情况下，平衡态的简并多重数不小于| | J。如果这种状态严重破坏了经济稳定，那么国家货币必然贬值，所有相关问题都会发生，即失业率上升和存款贬值。从这种均衡状态的性质来看，即使在不改变投资结构的情况下以相当低的利率进一步增加货币供应量，也不会导致经济增长。我们需要的是彻底改变经济结构，投资新的前瞻性行业，并在这些行业创造新的就业机会。因此，衰退状态就是这样一种均衡状态，即当生产的大部分商品没有售出时，这反过来会导致许多经济状态指标的下降。这种平衡的质量使得交换机制崩溃。在接下来的两个定理中，我们给出了需求等于供给的均衡存在的充分条件。定理7。让矩阵LikKibb，1,1 | |=====，其列是向量，}{NKKIIB==，，1li=被表示为asCBB=，其中矩阵LikKibb |==是非负且不可分解的，矩阵NikKicc | |===由列SnkKiicc}{=，，1li=组成，并且是这样的，0>∑=nkkiCli，1=。那么这个问题就存在一个严格的积极解决方案，ssklkksdydb=∑=,,1ls=（21）关于向量，}{lkkdd==其中∑==lskskby。如果向量d属于向量生成的锥的内部，}{lkikTiCC==，1 ni=则存在一个问题（2）解决问题的解决方案，iklkkidpC=∑=.,1 li=（22）证明。问题（21）的共轭问题，kkslsksryrb=∑=,,1 lk=（23）有一个解决方案LRR∈=}1.1{ .

由于矩阵X是非负且不可分解的矩阵，问题kslskksrryb=∑=,,1 lk=（24）具有唯一的常数因子解。因此，根据Perron-Frobenius定理，共轭问题有一个严格的正解，SKLKKSDDYB=∑=ls，1=。让我们把KKKYDD1==.    然后向量是问题（21）的严格正解。通过Theorem假设，问题（22）有一个严格的正解niipp}{==替换向量dinto（21）并考虑（22），我们得到向量niipp}{==解决了问题，0）(=-∑=iissniispCyb。，1ls=最后一个意思是向量niipp}{==是方程组（2）的严格正解。定理8。让矩阵lnikicc，1,1 | |===由列nkkiicc}{==，，1li=组成，这样，0>∑=nkkiCli，1=，矩阵| |，1,1lnikkibB===其列为向量，}{nkkiibb==，1li=beexpressed asCBB=，其中矩阵likkibb | |==为0≥=∑=lskskby，0≥=∑=lkkjjbylkj，1，=。如果向量ljjyy}{==解决了问题，ψ=∑=iliiyC（25）和vectorlRe∈=}1.1,1{属于向量生成的锥的内部，}{lkikTiCC==，，1ni=然后存在一个严格正平衡向量niipp}{==解决问题（2）。Proof.As∑=><>=<liijijbpCpb，，，我们要求等式的有效性，，，jjjypCpb=>><，，1 lj=或jjijliypcbpc>=>><∑=,,.为了满足最后一个等式，假设1，=><pCi。，1li=（26）然而，根据定理假设，方程组（26）具有严格的正解。定理8得到了证实。推论1。此外，如果定理8中的矩阵x是对称的，那么定理8中出现的向量解方程组（25）。3、综合经济描述中的经济均衡支持经济，如前所述，生产各种类型的商品，并包含l个消费者。

我们会说，经济描述被聚合到纯行业，如果集合}，。。。，2,1{nN=是此类非空子集的并集，mi，1=，thatuminn1==，θ=jiNN I，ji≠,θ是空集，setnR+到setmR+的映射由规则给出：，Uxx=ГДрxx}{=，xx}{=，∑=xx，mk，1=。如果我们如前一节所述描述，l消费者按属性向量snkkiib}{==和需求向量snkkiicc}{==，li，1=，那么在聚合描述中，每个消费者都将具有聚合特征，即属性向量mkukuibb}{==和需求向量mkukuicc}{==，li，1=。让经济与均衡价格向量niipp}{==，然后，，，，，，，，，，nkpCpbCkiiliki处于经济均衡状态=≤><><∑=ψ式中，snssiipbpb∑=>=<,,SNSSIIPPC∑=>=<,nkblikiknkk，1,0，}{=>==∑==ψψψ.我们可以重写聚合形式的最后一个不等式集。，1、、、mkpCpbCukiiliuki=≤><><∑=ψ（27）定义3。我们说，如果存在这样的聚合均衡向量，则经济中纯产业的聚合与以分解方式描述的均衡状态一致，{==即，，，1，，，mkpCpbCukuuiuuiliuki=≤><><∑=（28）此外，（27）和（28）中的等式适用于相同的指数。，1 mk=进一步，我们建立了国家层面经济均衡的数学模型。假设一个州的经济是由生产一种商品的制造业来描述的。生产结构由Leontief生产投入产出矩阵Mkiikaa1描述，| |==。

假设一个经济体的总产出向量为iixx}{==，其中ix是第i个纯产业的总产出。假设在一个开放经济体中，产业间平衡为kkfkjmjkiecxax-++=∑=,,1 mk=持有，其中mifkfcc}{==是最终消费向量，由家庭最终消费向量和总资本形成和库存变化向量之和组成，-==mkkee}{exportvector，mkkii}{==是进口矢量。Letmiipp}{==是一个价格矢量，其中ip是该行业生产的商品单位的价格。该州经济的纯工业构成了由矢量确定的家庭资源的需求，}{mkkiiiaxC==，1 mi=该行业的供应矢量为，}{mkkikixb==δ，其中Kronecker符号。该行业生产的总产值为，，，iiipxpb>=<，而该行业的新生产值为(∑=-MSSSIIPAPX。，1 mi=提供生产，该行业的家庭形式为资源供应，}{mkjmjkjikimxab==+∑=其值为imppb>=<+，jmjijxa∑=1.1 mi=Ifmii 1}{==ππ是并置向量[2]，我们假设只有部分新产生的值）(∑=-MSSSIIIPAPXπ用于生产最终消费品、扩大生产的商品和出口商品，同时也是一部分）（）1(∑=--第三产业创造价值的MSSSIIIPAPXπ用于社会消费、固定资产更新、资本化、基础设施、公用事业等。我们假设，在最终消费品市场上，第i产业的家庭形成需求，并与销售资源的价值和部分产业扣除额成比例，以消费最终消费品、购置固定资产、资本化、基础设施，即。

e、 ，papxpbcpbpapxC）（，]，）（）1[(-+><><+--=∑ ∑ ∑∑,     .,1 mi=在国家市场的静止状态下，外贸代理形成货物供应-==iib}{进口载体，同时形成对该州生产的商品的需求-==eeC}{出口向量。然后均衡价格向量由需求不超过供给的条件确定≤++--+-pepiepcxappaxcpapxax1 11 1）（）1（）（，kkix+，1 mk=或≤++-+pepiepcxappxcpaxpxax1 11）1（，xaixπ）∑++.,1 mk=（29）下一个定理给出了经济均衡存在的充分条件。定理9。假设非负向量}{=yy解决了不等式集=++++=∑Mkmfkikimiiiyeycyax，iimikkxaixπ∑=++Ik∈,                                       (30)<++++=∑Mkmfkikimiiiyeycyax，iimikkxaixπ∑=++Jk公司∈,                                    （31）矩阵的Frobenius数，（==等于1，其中是}，，…2,1{mM=.MJI的非空子集=∪Ifmiipp}{==是方程组的非负解，iissimsippayπ=∑=,,1mi=（32）那个，smsssmssmpepiy∑∑,0>∑pc，0>∑pe，0>∑帕1 mi=thenmiipp}{=是一个均衡价格向量。如果J是空子集，那么在这种情况下，需求等于供给。定理的解释是显而易见的。事实上，向量xAixπ++，其中，}{xx=ππ属于由矩阵的向量列生成的锥的内部，| | 2.1，+=mmikkic，其中，ikikixaC=，，1，mik=，1，fkmkcC=+，，1 mk=，2，kmkeC=+，，1 mk=作为等式，xaixy++=保持其中，}{00+==miiyy，1iyπ+=，1 mi==++mmyy。

如果矩阵C的秩等于，mr≤根据定理6.1.3[2]，存在这样的12+-+rm线性无关非负解2,1…，，++Mrryyy对于方程组，xaixyπ++=关于向量}{+==miiyy对于任意非负解}{+==miiyy对于这组方程，可以用以下形式表示：∑+==γ，其中，0≥i2，+=mri。因此，方程组（30）具有非负解。如果不等式（31）成立，且矩阵的谱半径（Ya）等于1，则存在求解方程组（32）的非零价格向量，这是一个均衡价格向量。让我们注意到，均衡向量的组成部分，}{miipp==其指数属于setJvanish。正是均衡的质量决定了经济离衰退有多近。乘以k次不等式，引入符号sikikkixapx=，，1，mik=，kkkkpxx=，kkkkkkfcc=，kkkpeE=，kkkpiI=，1 mk=我们可以将（29）在价值方面改写为≤++-+EIECXXCXXX1 11）1（，∑=++miikikkXIXπ。，1 mk=（33）定义4。我们说，如果不平等（33）成立，则总体描述的经济处于平衡状态。4、欧洲经济研究的应用在本节中，我们将前几节探讨的模型应用于欧洲经济研究。据了解，2010年乌克兰经济陷入衰退。下面，我们使用英国、德国、希腊、俄罗斯和乌克兰等欧洲国家的统计数据来确定这些国家的发展趋势。