一类非平稳Hawkes风险模型的高斯逼近

通过对（5.1）中θ的Nutwi矩生成函数进行微分，我们得到θE[EθNut]=uZtθFN（s）dseuRt（FN（s）-1） ds，（5.3），通过再次对θ进行微分，我们得到θE[EθNut]=uZtθFN（s）dseuRt（FN（s）-1） ds公司+uZtθFN（s）dseuRt（FN（s）-1） ds。（5.4）通过区分（5.2）w.r.t.θ的两侧，我们得到θFN（t）=E1+Zth（s）θFN（t- s） ds公司eθ+Rth（s）（FN（t-s）-1） ds公司. （5.5）通过再次微分w.r.t.θ，我们得到θFN（t）=E“1+Zth（s）θFN（t- s） ds公司eθ+Rth（s）（FN（t-s）-1） ds#（5.6）+EZth（s）θFN（t- s） dseθ+Rth（s）（FN（t-s）-1） ds公司.通过让θ=0 in（5.5），我们得到θFN（t）θ=0=1+Zth（s）θFN（t- s）θ=0ds。这意味着θFN（t）θ=0=g（t），其中（2.3）和（Nut）中定义了gis=θE[EθNut]θ=0=uZtθFN（s）θ=0ds=uZtg（s）ds。通过让θ=0 in（5.6），我们得到θFN（t）θ=0=（g（t））+Zth（s）θFN（t- s）θ=0ds。根据gin（2.2）的定义，我们已经θFN（t）θ=0=g（t）。最后我们得出结论，E[（Nut）]=θE[EθNut]θ=0=uZtθFN（s）θ=0ds+uZtθFN（s）θ=0ds= uZtg ds+uZtg ds.所以我们有var[Nut]=E[（Nut）]- （E【Nut】=uZtg（s）ds。5.2定理2的证明。为了简单起见，我们假设u∈ N、 从u开始的参数∈ N tonon整数值u与Gao和Zhu[12]中的参数相同。通过移民出生表示，我们可以将Nu分解为u独立和同分布（i.i.d）Hawkes过程Ni，i=1，2，u，每个都以霍克斯过程的形式分布，基底强度为1（Ni中的上标1），激发函数为h（·）。为了表示简单，我们使用Ni（·）表示Ni（·）。因此，我们可以将Xu分解为ui.i.d.化合物Hawkes过程的总和，并让我们写出Xu=Pui=1Xit。因此，Xut- umRtg（s）ds√u=√uXi=1退出- mZtg（s）ds.设▄Nit：=Nit-Rtg ds。然后，Nitare i.i.d。

D的随机元素（[0，∞), R） 当E[~Nit]=0且E[（~Nit）]<∞ 对于任何t（这是Hawkes过程的一个众所周知的事实。参见例[31]）。类似地，我们定义▄Xit=Xit- mRtg ds。根据哈恩定理（参见[29]中的定理7.2.1），我们得到u→ ∞,√uXi=1退出- mZtg（s）ds=> G、 （5.7）弱in（D）（[0，∞), R） ，J），其中G是一个平均零几乎可以肯定的连续高斯过程，协方差函数为▄x，前提是满足以下条件：对于每0<T<∞, 在[0，T]上存在连续的非减量实值函数g和f，其数α>1/2，β>1，使得eXu-Xs≤ （g（u）- g（s））α，（5.8）andEXu-XtXt-Xs≤ （f（u）- f（s））β，（5.9）对于所有0≤ s≤ t型≤ u≤ 带u的T- s<1。首先，请注意Xu-Xs= E“徐- Xs型- mZusg（τ）dτ#≤ 2小时徐- Xs型i+2mZusg（τ）dτ. （5.10）使用塔楼物业，Eh徐- Xs型i=EhEh徐- Xs型Nii=EENuXi=Ns+1YiN= E风险值NuXi=Ns+1Yi+ENuXi=Ns+1YiN= E[Nu- Ns]Var（Y）+E[（Nu- Ns）]（E[Y]=E[努- Ns]Var（Y）+Var（Nu- Ns）+（E（Nu- Ns））（E[Y]）≤1.- khkL（u- s）Var（Y）+“（1- khkL）（u- s）+1.- khkL（u- s）#（E[Y]）≤ C（u- s） 。

（5.11）（5.11）中的第一个不等式成立，因为参见- Ns]=Zusg（τ）dτ≤ g级(∞)（u）- s） =1- khkL（u- s） ，Var[Nu- Ns]=Zusg（τ）dτ≤ g级(∞)（u）- s） =（1）- khkL）（u- s） 。我们推断，对于某些常数k和α=1，g（x）=kx满足（5.8）。类似地，通过使用（5.11），我们可以显示Xu-XtXt-Xs= E徐- Xt公司- mZutg（τ）dτ·Xt公司- Xs型- mZtsg（τ）dτ≤ E徐- Xt公司+ 2.mZutg（τ）dτ·Xt公司- Xs型+ 2.mZtsg（τ）dτ≤ 4Eh徐- Xt公司Xt公司- Xs型i+C（u- s） ，我们也可以计算出徐- Xt公司Xt公司- Xs型i=Eh（Nu- Nt）Var（Y）+（Nu- Nt）（E[Y]）·（Nt- Ns）Var（Y）+（Nt- Ns）（E[Y]）i=Eh（Nu- Nt）（Nt- Ns）（Var（Y））i+Eh（Nu- Nt）（Nt- Ns）（E[Y]）i+Eh（Nu- Nt）（Nt- Ns）（E[Y]）Var（Y）i+Eh（Nu- Nt）（Nt- Ns）（E[Y]）Var（Y）i≤ CEh（Nu- Nt）（Nt- Ns）i≤ C（u- s） 。最后两个不等式成立，因为（Nu- Nt）≤ （Nu- Nt）和（Nt）- Ns）≤（Nt-Ns）。同样，我们可以从[12]定理1的证明中得出结论，Eh（Nu-Nt）（Nt-Ns）i≤ C（u- s） 。请注意，Ci，i∈ 以上1、2、3、4、5均为常数。因此，对于某些常数k和β=2，我们推断（5.9）满足f（x）=k。因此，我们验证了（5.7）。最后，让我们确定任意t的高斯极限G（t）的方差和协方差函数≥ s、 Cov（Xt，Xs）=E[XtXs]- E[Xt]E[Xs]=E[（Xt- Xs）Xs]+E[（Xs）]- mE[Nt]E[Ns]=mE[（Nt- Ns）Ns]+E[（Xs）]- mE[Nt]E[Ns]=mE[（Nt- Ns）Ns]+E[Ns]（m- m） +E[（Ns）]米- mE[Nt]E[Ns]=mCov（Nt，Ns）+E[Ns]（m- m） 。

（5.12）5.3（3.6）Cov中结果的推导G（t）σ（t），G（s）σ（s）=Cov（G（t），G（s））σ（t）σ（s）=mVar【Ns】+E【Ns】（m- m） +E[Ns（Nt- Ns）]- E【Ns】（E【Nt】- E[Ns]）σ（s）σ（t）=Var[G（s）]+mE[Ns（Nt）- Ns）]- E【Ns】（E【Nt】- E[Ns]]σ（s）+σ（s）（σ（t）-σ（s））=σ（s）+mE[NsRtsλτdτ]- mE[Ns]E[Rtsλτdτ]σ（s）+σ（s）（σ（t）-σ（s））=σ（s）+mE[Nsλs]（t- s）-mE[Ns]E[λs]（t- s） +o（t- s） σ（s）+σ（s）（σ（t）-σ（s））=σ（s）+mCov（Ns，λs）（t- s） +o（t- s） σ（s）+σ（s）（σ（t）-σ（s））=1+mCov（Ns，λs）σ（s）（t- s） +o（t- s） 1+σ（t）-σ（s）σ（s）=1+mCov（Ns，λs）σ（s）（t- s） +o（t- s）1.-σ（t）-σ（s）σ（s）+o（t-s）= 1.-σ（t）-σ（s）σ（s）- 1.mCov（Ns，λs）σ（s）（t- s）-σ（t）-σ（s）σ（s）+o（t-s） =1+m（2Cov（NT，λT）- g（T））- （m）- m） g（T）2σ（T）（t- s） +o（t- s） 当t>s，t时- s→ 0和s→ T5.4注释5和6中结果的推导为了计算Cov（Nt，Ns），我们有：Cov（Nt，Ns）=E【NsNt】- E[Ns]E[Nt]=E[（Ns）]+E[Ns（Nt- Ns）]- E[Ns]E[Nt]和E[Ns（Nt- Ns）]=ENsZtsλτdτ. （5.13）此处λτ=1+Rτh（τ- s） dNs=1+Zτ，因此（5.13）可以写成：E[Ns（Nt- Ns）]=ENsZts（1+Zτ）dτ= （t- s） E[Ns]+ZtsE[ZτNs]dτ。（5.14）在h（t）=αe的特殊情况下-βt，Zτ是马尔可夫的，我们可以得到显式公式。我们有dZ=-βZdt+αdNt，soNt=Zt- Zα+βαZtZudu。在（5.14）中，ZtsE[ZτNs]dτ=ZtsEZτZs公司- Zα+ZτβαZsZududτ=ZtsαE[ZτZs]-ZαE[Zτ]+EZτβαZsZududτ=ZtsαE[ZτZs]-ZαE[Zτ]+βαZsE[ZτZu]dudτ。（5.15）这里E[ZτZs]=E[E[Zτ| Zs]Zs]，s<τ。还有：dE[Zτ]=-βE[Zτ]dτ+α（1+E[Zτ]）dτ和de[Zτ]dτ=（α- β） E[Zτ]+α。求解它，我们得到：E[Zτ]=αα- βe（α-β)τ-αα - β. （5.16）此外，我们有（β-α） τE[Zτ| Zs]=E（β-α） sZs+Zτsαe（β-α） udu=e（β-α） sZs+αβ- αhe（β-α)τ- e（β-α） siandE[Zτ| Zs]=e（β-α） （s）-τ） Zs+αβ- αh1- e（β-α） （s）-τ） i.因此我们有：E[ZτZs]=E（β-α） （s）-τ） E[Zs]+αβ- αh1- e（β-α） （s）-τ） iE[Zs]。

（5.17）接下来，我们需要使用微型生成器计算出E【Zs】，如下所示：Af（z）=-βzf（z）+（1+z）[f（z+α）-f（z）]，（5.18）让f（z）=z，那么我们有a（z）=-βz（z）+（1+z）（z+α）- z= -2βz+（1+z）（2αz+α）=2（α- β） z+（2α+α）z+α，因此，我们有E[zτ]=z+zτE[A（Zs）]ds=z+zτ2(α - β） E[Zs]+（2α+α）E[Zs]+α.通过微分，我们得到：dE[Zτ]dτ=2（α- β） E[Zτ]+（2α+α）E[Zτ]+α。求解它，我们得到[Zτ]=-α（2α+α）e（β-α)τ(β - α)+α(2 + β)2(β - α)+α(2 + 2α -β)2(β - α） e2（α-β)τ.

（5.19）通过将（5.16）和（5.19）替换回（5.17），我们得到：E[ZτZs]=-α(2α + α)(β - α） e[（β-α） s+2（α-β)τ]+α(2 + β)2(β - α） e（β-α） （s+τ）+α（2+2α-β)2(β - α） e（β-α） （s）-τ)-α(β - α） e（α-β)τ+α(β - α） e（β-α） （s）-2τ)-α(β - α） e（β-α） （s）-τ)+α(β - α).（5.20）代入（5.15），我们得到：E[ZτNs]=αE[ZτZs]-ZαE[Zτ]+βαZsE[ZτZu]du=Me（β-α） s+Me（β-α） τ+Me（α-β） τ+Me2（α-β） τ，（5.21），其中Mi，i∈ 1、2、3、4是常数，m=（2β- α)[-2α(2 + α) + α(2 + β) + α(2 + 2α -β) -2α]2α(β - α） M=α（2+β）2（β- α） M=α（2+2α- β)(2β - α - αβ) - (β - α)(2α + 2)2(β - α） M级=-α(3β + αβ - 2α - α)(β - α).因此，我们有：ZtsE[ZτNs]dτ=Me（α-β） s（t）- s） +Mhe（β-α） t型- e（β-α） si+Mhe（α-β） t型- e（α-β） si+Mhe2（α-β） t型- e2（α-β） 是的。（5.22）根据（5.14），我们有- Ns）]=Me（α-β） s+α（α- β） he（α-β） s- 1i-βsα- β（t- s） +Mhe（β-α） t型- e（β-α） si+Mhe（α-β） t型- e（α-β） si+Mhe2（α-β） t型- e2（α-β） 是的。（5.23）因此，我们可以计算Cov（G（t），G（s）），如下所示：Cov（G（t），G（s））=Cov（Xt，Xs）=mE[（Ns）]+E[Ns（Nt- Ns）]- 东[北]东[北]+ E【Ns】（m- m） =米Var[Ns]+（E[Ns]）+E[Ns（Nt- Ns）]- 东[北]东[北]+ E【Ns】（m- m） 。（5.24）通过将（2.11）、（2.12）和（5.23）代入（5.24），我们最终获得了G.Cov（G（t），G（s））=m的协方差α(α - β） he2（α-β） t型- 1i-α(α - β） he（α-β） t型- 1i-2αβt（α- β） e（α-β） t+βtβ- α+α(α - β） he（α-β） s- 1i-βsα- β+Me（α-β） s+α（α- β） he（α-β） s- 1i-βsα- β（t- s） +Mhe（β-α） t型- e（β-α） si+Mhe（α-β） t型- e（α-β） si+Mhe2（α-β） t型- e2（α-β） si公司-α(α - β） he（α-β） s- 1i-βsα- βα(α - β） he（α-β） t型- 1i-βtα- β+ （m）- m）α(α - β） he（α-β） s- 1i-βsα- β. （5.25）在（5.24）中，设置s=t，我们得到G的方差：Var（G（t））=mα(α - β） he2（α-β） t型- 1i-α(α - β） he（α-β） t型- 1i-2αβt（α- β） e（α-β） t+βtβ- α+ （m）- m）α(α - β） he（α-β） t型- 1i-βtα- β. （5.26）致谢Youngsoo Seol感谢东亚大学研究基金的支持。参考文献【1】Bacry，E.，Mastromatteo，I.，和Muzy，J.F.（2015）。

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