一类非平稳Hawkes风险模型的高斯逼近

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英文标题：
《Gaussian Approximation of a Risk Model with Non-Stationary Hawkes
  Arrivals of Claims》
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作者：
Zailei Cheng and Youngsoo Seol
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider a classical risk process with arrival of claims following a non-stationary Hawkes process. We study the asymptotic regime when the premium rate and the baseline intensity of the claims arrival process are large, and claim size is small. The main goal of the article is to establish a diffusion approximation by verifying a functional central limit theorem and to compute the ruin probability in finite-time horizon. Numerical results will also be given.
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中文摘要：
我们考虑一个经典的风险过程，索赔的到达遵循一个非平稳的霍克斯过程。我们研究了当保费率和索赔到达过程的基线强度较大，索赔规模较小时的渐近状态。本文的主要目的是通过验证泛函中心极限定理来建立扩散近似，并计算有限时间范围内的破产概率。还将给出数值结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Gaussian_Approximation_of_a_Risk_Model_with_Non-Stationary_Hawkes_Arrivals_of_Claims.pdf (394.12 KB)

2022-6-6 18:17:09 上传

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关键词：风险模型 Hawk 非平稳 Applications Differential

具有非平稳Hawkes到达的ClaimsZailei Cheng风险模型的差分近似*Youngsoo Seol+2019年8月22日摘要我们考虑一个经典的风险过程，索赔的到达遵循非平稳霍克斯过程。我们研究了当保费率和索赔到达过程的基线强度较大，索赔规模较小时的渐近状态。本文的主要目标是通过验证函数中心极限定理来建立一个离散近似，并计算有限时间范围内的破产概率。还将给出数值结果。MSC2010：主91B30；辅助60F17、60G55。关键词：扩散近似、风险过程、有限期破产概率、霍克斯过程。1引言在保险和金融文献的风险理论中，破产是最重要的事件。Lundberg介绍了破产理论的理论基础，即Cram'er-Lundberg模型或经典风险过程。在本文中，我们考虑一个经典的风险过程，财富在时间t由ut=u+ct给出-NtXi=1Xi。（1.1）如果夏尔i.i.d.声称前两个时刻是有限的，并且与claims到达过程Nt无关，该过程遵循强度为*佛罗里达州立大学数学系，塔拉哈西，佛罗里达32306，美国；电子邮件：zcheng@math.fsu.edu+东阿大学数学系，釜山，沙哈古，中洞大罗550，37，大韩民国；电子邮件：prosul76@dau.ac.kr（1.2），ρ>0是保险公司收到的固定费率，u>0是保险公司的初始财富。在【22】中的经典风险模型中，假设NTI遵循泊松过程，该过程具有独立和平稳的时间增量。

在本文中，我们假设到达过程Ntfollows是一个非平稳的Hawkes过程，它具有聚类和自激励特性，并且时间增量是依赖的。A.G.Hawkes于1971年首次引入的线性Hawkes过程是一个简单的点过程N。在本文中，我们考虑非平稳Hawkes过程。N时刻t的随机强度λ由λ（t）：=u+Zt给出-h（t- s） N（ds）=u+X0<τi<th（t- τi），（1.2），其中τi是时间t之前点的出现次数，h（·）：[0，∞) → [0, ∞) 我们总是假设khkL：=R∞h（t）dt<∞. 我们使用符号N（t）：=N（0，t）表示区间（0，t）中的点数≡ 0时，非平稳Hawkesprocess N变为速率为u的泊松过程。h的一个常用的非平凡例子是指数函数，即h（t）=αe-t的βt≥ 0，其中α、β>0。在此特殊情况下，过程（λ，N）是马尔可夫过程。在文献中，参数u称为基线强度，h（·）称为激励函数，有时也称为核函数。线性霍克斯过程既具有自激性（即，事件的发生增加了未来事件的概率）又具有聚类性。因此，它在点过程建模方面非常有吸引力，在各个领域都有广泛的应用，包括神经科学【20、24、26】、地震学【23】、基因组分析【15、25】、社会网络【3、5】、金融（见最近的调查论文【1】及其参考文献）等。受Lundberg【22】和Cram'er【6】早期贡献的启发，数学金融或保险文献中的一个主要主题是计算有限时间和有限时间范围内的破产概率。事实上，只有少数特殊模型才知道即时和即时破产概率的精确公式。

因此，随着初始资本或准备金增加到单位，发展了渐近方法来推导破产概率的展开式。在这篇文章中，我们着重于计算有限时间范围内的单位概率。非平稳霍克斯过程在保险业中有着广泛的应用【28，32】。通过应用大偏差技术，在Stabile和Torrisi[28]中研究了保险中风险过程的破产概率的渐近性，在轻尾索赔和inZhu[32]中研究了重尾索赔。然而，这两篇论文侧重于大初始财富的渐近机制。本文假设Hawkes过程的基线强度可以用来研究灾难性事件。Gao和Zhu【11】研究了类似的情况，他们在马尔可夫案例中使用了较大的初始强度。本文研究了到达过程基线强度较大时的不同渐近状态。我们应用泛函中心极限定理来获得近似值，并用它来研究有限时间破产概率。Zhu[33]还研究了线性Hawkes过程和Cox-Ingersoll-Ross过程的极限定理，这在短期利率模型中有应用。Embrechts和Schmidli[10]考虑了一个保险风险模型，在该模型中，允许公司在需要时借钱，并为巨额盈余投资。

此外，Iglehart【19】和Grandell【14】、Harrison【16】、Schmidli【27】和Bauerle【2】首先利用弱收敛机制研究了风险储备过程的差异近似。本文的主要目标是为（1.1）中引入的财富过程UT建立差分近似值，在保险费率和索赔到达过程的基线强度较大，索赔规模较小的情况下。此外，利用风险过程的近似，我们得到了有限期内破产概率的公式。最后，我们给出了结果的数值说明。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们陈述了关于聚合索赔过程和hencealso财富过程的泛函中心极限定理的主要结果，其中索赔是根据非平稳Hawkesprocess得出的。在第3节中，我们获得了初始财富较大的离散近似的有限期破产概率渐近。最后，在第4节中，我们给出了一些数值结果的例子。附录中给出了主要结果的证明。2聚合索赔过程的泛函中心极限定理在本节中，我们研究具有较大基线强度的聚合索赔过程的近似。更准确地说，我们认为uut=u+ρut-NutXi=1√uYi，（2.1），以便索赔规模按系数缩放√u和yi是i.i.d.，前两个动量为有限，我们定义E[Y]=m，E[Y]=m，和ρu=√ut1-khkLm+c表示某些常数c>0。我们假设索赔到达过程Nu的强度由（1.2）给出。我们写Nu来强调霍克斯过程的基线强度为u。

我们的目标是在渐近区域u中为Uut过程建立一个泛函中心极限定理→ ∞.在经典风险模型中，当索赔到达过程遵循具有恒定强度u的标准泊松过程时，这是保险文献中使用的标准离散近似值。提案1。我们首先给出到达过程的平均值和方差Nut.（a）E【Nut】=uRtg（s）ds，（b）Var【Nut】=uRtg（s）ds，其中g（t）=Zth（t- s） g（s）ds+g（t），（2.2）和g（t）满足积分方程：g（t）=1+Zth（t- s） g（s）ds。（2.3）我们现在给出了总索赔过程以及财富过程的函数中心极限定理（FCLT）的一个结果，其中索赔根据非平稳霍克斯过程到达。写入（D（[0，∞), R） ，J）作为c\'adl\'ag进程的空间[0，∞) 配备了目的论（参见比林斯利（Billingsley）[4]）。让我们将聚合索赔过程表示为：Xut=NutXi=1Yi。（2.4）定理2。假设h（·）是递减函数andR∞t·h（t）dt<∞. 作为u→ ∞,Xut- umRtg（s）ds√u=> G、 弱in（D（[0，∞), R） ，J），其中G是具有协方差函数的几乎肯定连续高斯过程的平均零，t≥ s、 Cov（G（t），G（s））=mCov（Nt，Ns）+E[Ns]（m- m） 。（2.5）因此，Uut→ u+ct- G（t），（2.6）弱in（D）（[0，∞), R） ，J）。观察的关键在于，G（t）可以写成中心高斯过程加上独立布朗运动的积分：命题3。其分布为g（t）=mZtH（s）ds+m1- khkLBt，（2.7），其中H（s）是中心高斯过程，对于任何t≥ s、 Cov（H（t），H（s））=Cov（Nt，Ns），（2.8）和Btis是独立于H（t）的标准布朗运动。备注4。我们首先简要解释为什么我们得到高斯极限G（t）。

通过Hawkes过程的移民-出生表示（参见，例如，[18]），我们知道，对于具有基线强度u和激励函数h的Hawkes过程Nu，我们可以将其分解为u个独立的Hawkes过程之和，每个Hawkes过程具有基线强度1和非激励函数h。然后，我们期望通过中心极限定理类型的参数，当我们将u发送到单位时，Nu将是渐近高斯的。备注5。接下来我们讨论G在（2.5）中的方差函数。一般来说，G在（2.5）中的方差函数是半显式的，我们可以首先通过数值求解和gvia积分方程（2.2）和（2.3）来计算它。在h（t）=αe的特殊情况下-βtα<β时，G的方差函数是显式的。为了看到这一点，我们首先从（2.2）和（2.3）中推断出g（t）=α- βe（α-β） t型-βα - β（2.9）和g（t）=2α（α- β） e2（α-β） t型-α(α + β)(α - β） +2αβtα- βe（α-β） t+ββ- α. （2.10）然后从命题1，我们得到e[Nt]=α（α- β） he（α-β） t型- 1i-βtα- β（2.11）和Var[Nt]=α（α- β） he2（α-β） t型- 1i-α(α - β） he（α-β） t型- 1i-2αβt（α- β） e（α-β） t+βtβ- α.（2.12）设s=t在（2.5）中，我们得到：Var（G（t））=mVar[Nt]+E[Nt]（m- m） =米α(α - β） he2（α-β） t型- 1i-α(α - β） he（α-β） t型- 1i-2αβt（α- β） e（α-β） t+βtβ- α+ （m）- m）α(α - β） he（α-β） t型- 1i-βtα- β. （2.13）备注6。此外，我们能够计算G的协方差。请参见附录中的导数。

对于t≥ s、 Cov（G（t），G（s））=mVar[Ns]+（E[Ns]）+E[Ns（Nt- Ns）]- 东[北]东[北]+ E【Ns】（m- m） =米α(α - β） he2（α-β） t型- 1i-α(α - β） he（α-β） t型- 1i-2αβt（α- β） e（α-β） t+βtβ- α+α(α - β） he（α-β） s- 1i-βsα- β+Me（α-β） s+α（α- β） he（α-β） s- 1i-βsα- β（t- s） +Mhe（β-α） t型- e（β-α） si+Mhe（α-β） t型- e（α-β） si+Mhe2（α-β） t型- e2（α-β） si公司-α(α - β） he（α-β） s- 1i-βsα- βα(α - β） he（α-β） t型- 1i-βtα- β+ （m）- m）α(α - β） he（α-β） s- 1i-βsα- β, （2.14）其中Mi，i∈ 1、2、3、4是常数，m=（2β- α)[-2α(2 + α) + α(2 + β) + α(2 + 2α -β) -2α]2α(β - α） M=α（2+β）2（β- α） M=α（2+2α- β)(2β - α - αβ) - (β - α)(2α + 2)2(β - α） M级=-α(3β + αβ - 2α - α)(β - α).在这种特殊情况下，我们注意到G的方差函数在总体上是非线性的。这与Nu为泊松过程（即h）的情况非常不同≡ 0）其中G成为标准布朗运动。3离散近似的破产概率在本节中，我们重点发展有限期破产概率的渐近估计。在大基线强度极限下，破产概率变为：Psup0≤t型≤T{G（T）- ct}>u！，（3.1）对于有限地平线情况。因为Uut→ u+ct- G（t），（3.2）弱in（D）（[0，∞), R） ，J）在定理2中，有必要研究（3.1）作为大基线强度近似，以获得Uut的有限期破产概率。接下来，让我们考虑初始财富较大的有限期破产概率的精确渐近性。我们依赖于[8]中的结果。设σ（t）为G（t）的标准差函数。让我们考虑一下t∈ [0，T]。我们知道σ（t）=smZtg（s）ds+（m- m） Ztg（s）ds，（3.3），在t中增加，在t=t时达到唯一最大值。我们可以计算σ（t）=σ（t）-2σ（T）mg（T）+（m- m） g（T）（T- t） +o（t- t） ，（3.4）作为t→ T

对于任何t>s，Cov（G（t），G（s））=mE[（Ns）]+E[Ns（Nt- Ns）]- 东[北]东[北]+ E【Ns】（m- m） 。（3.5）我们可以进一步计算thatCovG（t）σ（t），G（s）σ（s）(3.6)= 1 +m（2Cov（NT，λT）- g（T））- （m）- m） g（T）2σ（T）（t- s） +o（t- s） 当t>s，t时- s→ 0和s→ T因此，G（t）的假设A1在[8]中得到满足。对于G（t），假设A2在[8]中微不足道，参见附录中定理2的证明。根据定理3.1。[8] ，我们有PSUP0≤t型≤T{G（T）- ct}>u！~ P▄N/▄Gψu+cTσ（T）, （3.7）如u→ ∞, 其中▄N=mg（T）+（m- m） g（T）和▄G=m（2Cov（NT，λT）-g（T））-（m）-m） g（T），其中prα：=limS→∞E“expsup0≤t型≤S{√2Bα/2（t）- （1+R）tα}！#，（3.8）其中Bα/2是分数布朗运动，赫斯特指数为α/2，0<α≤ 2 andR>0。在我们的设置中，α=1，B1/2是标准的布朗运动。4数值研究在本节中，我们研究了本文理论结果的几个数值例子。对于h（t）=αe-βt，我们可以模拟高斯过程G（t），并数值计算有限期情况下的破产概率。4.1跳跃大小为指数分布此处假设yi遵循强度为λ的i.i.d.指数分布，即p（x）=λe-λx，我们用不同的参数α、β、T、λ、c、u计算破产概率。我们在备注6中再次说明，我们假设α<β，因此G的协方差函数是显式的。0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.10.20.30.40.50.60.70.80.91破产概率（a）随着α的增加破产概率。（此处wetakeβ=0.5，λ=1，c=0.3，u=2，T=1。）0110200.5Var300.4T400.50.3500.20.100（b）G（t）的方差作为α和t的函数。（这里我们取β=0.5，λ=1）图1：α变化的破产概率。从图1（a）可以看出，在其他参数固定的情况下，破产概率是α的递增函数。为了解释，我们绘制了G（t）（0）的方差≤ t型≤ T）shownin（2.13），作为α和T的函数。

在图1（b）中，方差随着α的增加而增加。直观地说，随着G（t）方差的增加，G（t）超过某个范围的概率增加。所以破产概率增加了。然后，我们将破产概率绘制为跳跃强度λ的函数。此外，我们还可以从Var（G（t））与λ的关系图中推断出这一点：0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.20.30.40.50.60.70.80.91破产概率（a）随着λ的增加，破产概率。（此处wetakeα=0.3，β=0.5，c=0.3，u=2，T=1。）0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2010020030004005006007008001000Var（b）G（t）的方差作为λ的函数。（此处取α=0.3，β=0.5。）图2：λ变化的破产概率。4.2跳跃大小为伽马分布假设跳跃大小yi遵循伽马分布，形状为a，速率为b，即p（x；a，b）=baxa-1e级-bxΓ（a）。让我们看看破产概率是如何变化的。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2a00.10.20.30.40.50.60.70.80.9破产概率（a）破产概率随着a的增加而增加。（此处，wetakeα=0.3，β=0.5，b=0.5，c=0.3，u=2，T=1。）0120.54Var0.46T0.50.380.20.100（b）G（t）的方差作为a和t的函数。（这里我们取α=0.3，β=0.5。）图3：破产概率随a的变化。我们可以看到破产概率是a的一个递增函数，这可以用图3（b）中的Var（G（t））来解释，方差随a的增加而增加。5附录5.1命题1证明。根据朱[30]中得到的Nut的矩母函数的结果，我们得到，对于任何θ∈ R和θ<khkL-1.- logkhkL，E[EθNut]=EuRt（FN（s）-1） ds，（5.1），其中函数FN是积分方程FN（t）=eθe[eRth（s）（FN（s））的唯一解-1） ds]。（5.2）我们首先计算Nut的前两个矩。