随机波动率模型下的短期货币渐近性

根据（9）和命题2.2，我们得到了p（Fe√θz，θ）Fe-rθ√θ=Pθ（κ）+κκφzκ+κ√θ!Hzκ+κ√θ!e√θzθH+κφzκκHzκ+κHzκθ2H+o（θ2H）=Pθ（κ）+o（θH）。因此σBS(√θz，θ）=P-1θ（Pθ（κ）+O（θH））。通过（1），κ以θ为界，例如，通过L>0。函数Pθ收敛为θ→ 0顶部（σ）：=zΦzσ+ σφzσ在点上，根据Dini定理，这个收敛在[0，L]上是一致的。由于极限函数Pis严格递增，逆函数P-1θ收敛到P-同样根据Dini定理，这种收敛是一致的，尤其是P-1θ是等连续的。因此，我们得出σBS(√θz，θ）- κ→ 0为θ→ 0.然后，写出σBS(√θz，θ）=κ+β（θ），并将其替换为方程pθ（σBS(√θz，θ））=Pθ（κ）+O（θH）。泰勒展开式给出了β（θ）=O（θH）。步骤2）。从（9）我们得到pθ（σ）=σFzσ+σ√θFzσ+σθFzσ+ o（θ），其中F（x）=xΦ（x）+φ（x），F（x）=xΦ（x）+xφ（x），F（x）=xΦ（x）+x个-φ（x）。使用该σσFzσ= φzσ,我们有κFzκ+κ√θFzκ+ κφzκκHzκe√θzθH=σBS(√θz，θ）FzσBS(√θz，θ）+σBS(√θz，θ）√θFzσBS(√θz，θ）+ O（θ2H）=κFzκ+κ√θFzκ+ φzκ（σBS(√θz，θ）-κ） +O（θ2H），由此得出σBS(√θz，θ）=κ+κze√θzθH+O（θ2H）。步骤3）。使用该σσFzσ=zσφzσ, σσFzσ= zφzσ,我们得到κφzκ+κ√θ!κHzκ+κ√θ!e√θzθH+κHzκ+κHzκθ2H=p（Fe√θz，θ）Fe-rθ√θ- Pθ（κ）+o（θ2H）=Pθ（σBS(√θz，z））-Pθ（κ）+o（θ2H）=σσFzσσ=κ（σBS(√θz，θ）-κ) +σσFzσσ=κ（σBS(√θz，θ）-κ)+√θσσFzσσ=κ（σBS(√θz，θ）-κ） +o（θ2H）=φzκ（σBS(√θz，θ）-κ) +√θzφzκ（σBS(√θz，θ）-κ） +z2κφzκ（σBS(√θz，θ）-κ） 定理2.2和步骤2的+o（θ2H）。左侧进一步扩展为κφzκ（κHzκe√θzθH-κHzκκθH+1/2+κHzκ+κHzκθ2H）+o（θ2H）。表示γ（θ）=σBS(√θz，θ）-κ- κze√θzθHand代入，得到γ（θ）=- κHzκκθH+1/2+κκHzκ+κHzκθ2H-κzθH+1/2-κ2κzθ2H+o（θ2H）=κ- zκθH+1/2+κ（κ- 3κ）zκ+κ- κ!θ2H+o（θ2H），由此得出结论。

////3.5关于货币倾斜和曲率的渐近性我们证明了定理2.4。定理2.4的证明：众所周知（参见Fukasawa[9]）kσBS（k，θ）=Q（k≥ σ（θ）Xθ）- Φ（f（k，θ））√θφ（f（k，θ）），kσBS（k，θ）=pθ（k/σ（θ））σ（θ）√θφ（f（k，θ））- σBS（k，θ）kf（k，θ）kf（k，θ），（10），其中f（k，θ）=k√θσBS（k，θ）-√θσBS（k，θ），f（k，θ）=k√θσBS（k，θ）+√θσBS（k，θ）。由于满足定理2.2的条件，我们得到q（0≥ Xθ）=Φσ（θ）！+κ(θ)φσ(θ)!θH+o（θ2H）。另一方面，根据定理2.3，f（0，θ）=√θκ（θ）+O（θ2H+1/2），因此，Φ（f（0，θ））=Φσ（θ）！+O（θ2H+1/2），φ（f（0，θ））=φ（0）-φ（0）θκ（θ）+O（θ2H+1）。那么，从（10）可以看出kσBS（0，θ）=κ（θ）θH-1/2+o（θ2H）-1/2). （11） 进一步，在这个条件下，我们有pθ（0）=φσ（θ）！(1 -κ（θ）σ（θ）θH+3κ（θ）- 15κ(θ)!θ2H）+o（θ2H）。另一方面，根据定理2.3和（11），σBS（0，θ）kf（0，θ）kf（0，θ）=σBS（0，θ）θ+O（θ2H）=κ（θ）θ1.-κ（θ）κ（θ）θH+1/2-κ(θ)- κ(θ)θ2H+ o（θ2H-1).那么，从（10）可以看出kσBS（0，θ）=2κ（θ）- 6κ（θ）κ（θ）θ2H-1+o（θ2H-1） ，这就完成了证明////4正则随机波动率模型我们简要讨论了正则随机波动率模型满足第2.1节中H=1/2的所有假设。考虑波动过程vt=v（Xt），其中X是满足随机微分方程dxt=b（Xt）dt+c（Xt）dw的马尔可夫过程，v是定义在X的状态空间上的光滑正函数。设ρ∈ (-1，1）是一个常数，{Gt}是由W生成的增强过滤。我们假设（1），这在包括对数正态SABR和Heston模型在内的常见情况下是可以满足的。用L表示X的生成器。用f表示=√v、 g=fc，H=vc。然后，根据It^o公式，我们得到了mθ=f（X）Bθ+ZθZtg（Xs）dWsdBt+ZθZtL f（Xs）dsdBt，hMiθ=v（X）θ+ZθZth（Xs）dWsdt+ZθZtLv（Xs）dsdt。设\'Bθt=θ-1/2Bθt，\'Wθt=θ-1/2Wθtand Xθt=Xθt。

THNMθ√θ=f（X）(R)Bθ+√θZZug（Xθv）d'Wθvd'Bθu+θZZuL f（Xθv）dvd'Bθu，hMiθ=v（X）+√θZZuh（Xθv）d'Wθvdu+θZZuLv（Xθv）dvdu。因此σ（θ）θ=E[hMiθ]θ=v（X）+Lv（X）θ+O（θ3/2），因此σ（θ）√θ=f（X）+Lv（X）f（X）θ+O（θ3/2），在轻度正则条件下。那么，我们有（3），其中H=1/2，M（0）θ=\'Bθ，M（1）θ=g（X）f（X）Z'Wθud'Bθu，M（2）θ=-Lv（X）4v（X）’Bθ+g（X）c（X）f（X）ZZu’Wθvd‘Wθvd‘Bθu+L f（X）f（X）Zud‘Bθu，M（3）θ=2g（X）f（X）Z‘Wθuduagain，在温和的规则性条件下。Nualart等人（18）或附录Abelow，E[M（1）θ| M（0）θ=x]=g（x）f（x）ρH（x），E[M（3）θ| M（0）θ=x]=g（x）f（x）ρH（x），因此，a（1）θx+σ（θ）！-σ（θ）a（3）θx+σ（θ）！=-κHx+σ（θ）！- σ（θ）Hx+σ（θ）！！φx+σ（θ）！κ=ρg（X）f（X）。此外，E[M（2）θ| M（0）θ=x]=-Lv4v（X）X+gcf（X）ρH（X）+L f2 f（X）X=-g4 f（X）X+gcf（X）ρH（X）andE[（M（1）θ）| M（0）θ=X]=gf（X）ρ+ H（x）+H（x）+ (1 -ρ)+H（x）.因此，a（2）θ（x）-cθ（x）=-κH（x）φ（x）-κH（x）φ（x），其中κ=gcf（x）ρ+gf（x）1+2ρ。因此，我们观察到（6）具有（7）的形式，因此，第2.2节中的所有定理都适用。特别是，定理2.3证明了梅德韦杰夫·斯加列特公式（当fn为单位函数时，通过形式计算得出的[16]中的命题1）。5.粗糙Bergomi模型这里我们展示了[3]提出的粗糙Bergomi模型，将其纳入框架并计算展开项。设ρt=ρ∈ (-1，1）为常数，Vt=v（t）exp（η√2HZt（t- s） H类-1/2周-ηt2H）。假设确定性函数v（t）=E[vt]是连续的。定理5.1我们有（5）对于qθ，由（7）给出，其中κ（θ）=ρηrHθHσ（θ）ZθZt（t- s） H类-1/2pv（s）dsv（t）dt，κ（θ）=（1+2ρ）ηH（2H+1）（2H+2）+ρηHβ（H+3/2，H+3/2）2（H+1/2），其中β是β函数。证明：由于vtis对数正态分布，（1）符合Jensen不等式。条件（2）和（3）来自下面的引理5.1。下面的引理5.2、5.3、5.4和5.5计算了函数a（i）θ和cθ。函数bθ是由a（1）θ的导数得到的。

它们显然正在迅速减少平滑函数。然后，根据定理2.1，可以证明（8）定义的qθ的形式为（7）到o（θ2H），其中κ（θ）和κ（θ）如上所述////因此，定理2.2、2.3和2.4在此也有效。当H<1/2且前向方差曲线为FL（即vis常数）时，定理2.3给出了类似于[3]中正式推导的Bergomi-Guyon展开式的公式。事实上，当vis常数为常数时，文献[3]中给出的O（η）展开式与我们的O（θH）展开式一致。当vis不是常数时，或者当查看二阶项时，公式不相同；这并不奇怪，因为这些交感子是η→ [3]中的0，而θ→ 此处为0。此外，当vis常数为常数时，可以通过扩展[6]的大偏差结果的速率函数，得到与[4]相同的O（θH）公式。更精确地说，请注意定理5.1，κ（θ）=ρη√2H2（H+1/2）（H+3/2），当vis常数和定理2.3暗示σBS时(√θz，θ）-σBS(√θζ, θ)√θz-√θζ=κ（θ）θH-1/2+O（θ2H）-1/2）对于z，ζ。较弱的断言，其中O（θ2H-1/2）替换为o（θH-[10]中已经用不同的方法显示了。通过速率函数的展开式，在[4]中所示的是，这个公式高达o（θH-1/2）保持有效，即使√θz和√对于β，θζ分别替换为θβz和θβζ∈ (1/2-H、 1/2）。对于我们的渐近公式的合理精度，θ必须有多小应该通过数值实验来检验。我们的广泛实验将ηθH<1作为一个粗略的标准。在这里，我们只给出了几个波动率曲面的例子。

在图1和图2中，这些点是由Monte CarloNote提出的，但在[3]中的二阶项中存在拼写错误。注意，ηθHis是对数点方差的标准偏差-0.10-0.05 0.00 0.05 0.100.15 0.20 0.25 0.30k-0.10-0.05 0.00 0.05 0.100.15 0.20 0.25 0.30k图1:v≡ .04和（H，ρ，η）=（.07，-.9, .9） （左）或（H，ρ，η）=（.07，-.7.9） （右）-0.10-0.05 0.00 0.05 0.100.10 0.15 0.20 0.25 0.30k-0.10-0.05 0.00 0.05 0.100.10 0.15 0.20 0.25 0.30k图2:v≡ .04和（H，ρ，η）=（.05，-.9，2.3）（左）或（H，ρ，η）=（.07，-.9，1.9）（右）。曲线由定理2.3和5.1给出的渐近公式确定。不同的颜色适用于不同的成熟时间；θ=为黑色。02，红色表示θ=。05，绿色表示θ=。1，蓝色表示θ=。2，青色表示θ=。3和洋红色表示θ=。请注意，图2中的参数集是拜耳等人[3]根据期权数据校准的参数集。为了证明下面的引理，我们需要一些准备。设Hk，k=0，1。如前所述为Hermite多项式：Hk（x）=(-1） kex/2dkdxke-x/2和Hk（x，a）=ak/2Hk（x/√a） 对于>0。众所周知，我们有EXP（ux-au）=∞Xk=0Hk（x，a）ukk！对于任意连续局部鞅M和n∈ N、 dL（N）t=nL（N-1） tdMt，（12），其中L（k）=Hk（M，hMi）表示k∈ N

例如，参见Revuz和Yor【21】。通过^Wt=σ（θ）Zτ定义^W，^W，^B-1（t）pv（s）dWs，^Wt=σ（θ）Zτ-1（t）pv（s）DWS和^B=ρ^W+p1- ρ^W，其中τ（s）=σ（θ）Zsv（t）dt。那么，（^W，^W）是E下的二维布朗运动，对于任何平方可积函数f，Zaf（s）dWs=σ（θ）Zτ（a）f（τ-1（t））pv（τ-因此，Mθ=σ（θ）Zexp（θHFtt-η|τ-1（t）| 2H）d^btu其中ftu=ηrHσ（θ）θHZu（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s）d^Ws，u∈ [0，t]。LetG（k）t=Hk（Ftt，hFtit）。那么，我们有mθ=σ（θ）Zexp(-η|τ-1（t）| 2H）exp（θHFtt-θ2hhfit）d^Bt=σ（θ）Zexp(-η|τ-1（t）| 2H）∞Xk=0G（k）tθHkk！d^Bt.Lemma 5.1我们有（3），其中M（0）θ=^B，M（1）θ=Zhθ（t）G（1）td^Bt，M（2）θ=Zhθ（t）- 1θ2H+hθ（t）G（2）td^Bt，M（3）θ=2ZFttdt，其中hθ（t）=exp(-η|τ-1（t）| 2H）。证明：对于M（i）θ，i=0，1，2，必须显示Zhθ（t）∞Xk=JG（k）tθHkk！d^Bt= 任意J的O（θHJ）≥ 3、M（3）θ的证明类似，因此省略。It支持展示Z∞Xk=JG（k）tθHkk！dt公司= O（θ2HJ）。根据Cauchy-Schwarz不等式，左侧由∞Xk=JθHk∞Xk=JθHk（k！）ZE[| G（k）t |]dtLetG（k）t，s=Hk（Fts，hFtis），s∈ [0，t]。然后，通过（12），E[| G（k）t |]=E[| G（k）t，t |]=kZtE[| G（k-1） t，s |]dhFtis=k（k-1） 中兴通讯[| G（k-2） t，s |]dhFtisdhFtis≤ （k！）hFtikt=（k！）η|τ-1（t）| 2Hθ2H！k、 注意τ-1（t）≤ τ-1(1) = θ. 因此，对于非常小的θ，∞Xk=JθHk∞Xk=JθHk（k！）ZE[| G（k）t |]dt≤η!Jθ2HJ（1- θH）（1- θHη/4），这就完成了证明////现在我们根据引理5.1计算a（i）θ、bθ和cθ。

下面的引理由A部分的结果通过简单的计算得出。引理5.2a（1）θ（x）=-H（x）φ（x）ρηrHσ（θ）θHZhθ（t）Zt（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））dsdt=-H（x）φ（x）ρηrH×θHσ（θ）Zθexp(-ηt2H）Zt（t- s） H类-1/2pv（s）dsv（t）dt~ -H（x）φ（x）ρη√2H2（H+1/2）（H+3/2）。引理5.3a（2）θ（x）=-H（x）φ（x）Zhθ（t）- 1θ2Hdt- H（x）φ（x）ρηHσ（θ）θ2HZhθ（t）Zt（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））dsdt公司~ H（x）φ（x）Zη8θ2H |τ-1（t）| 2Hdt- H（x）φ（x）ρηH（2H+1）（2H+2）。引理5.4a（3）θ（x）=-2H（x）φ（x）ρηrHσ（θ）θHZZt（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））dsdt~ -2H（x）φ（x）ρη√2H2（H+1/2）（H+3/2）。引理5.5cθ（x）=H（x）φ（x）ρηHσ（θ）θ2HZhθ（t）Zt（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））dsdt+ H（x）φ（x）ρηHσ（θ）θ2HZhθ（t）Zt（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））dsdt+H（x）φ（x）ρηHσ（θ）θ2HZhθ（t）Zt（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））ds×Zthθ（u）（τ-1（u）- τ-1（t））小时-1/2pv（τ-1（t））dudt+H（x）φ（x）ηHσ（θ）θ2HZhθ（t）Zs（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））dtds+H（x）φ（x）ηHσ（θ）θ2HZhθ（t）Zt（τ-1（t）- τ-1（s））2H-1v（τ-1（s））dsdt~ H（x）φ（x）ρηH2（H+1/2）（H+3/2）+H（x）φ（x）2（1+ρ）ηH（2H+1）（2H+2）+H（x）φ（x）ρηHβ（H+3/2，H+3/2）（H+1/2）+H（x）φ（x）Zη4θ2H |τ-1（t）| 2 HDT。Wiener It^o积分的条件期望我们收集了Nualart等人[18]命题3中关于Wiener It^o积分的条件期望的结果。让x∈ R和B是标准布朗运动（B=0）。设f是n（s，t）上的连续函数∈ (0, 1); s<towithZZt | f（s，t）| dsdt<∞.引理A.1E“ZZtf（s，t）dBsdtB=x#=H（x）ZZtf（s，t）dsdt，E“ZZtf（s，t）dBsdBtB=x#=H（x）ZZtf（s，t）dsdt，EZZtf（s，t）dBs！dBt公司B=x= H（x）ZZtf（s，t）ds！dt+H（x）ZZtf（s，t）dsdt，EZZsf（s，t）dBt！ds公司B=x= H（x）ZZsf（s，t）dt！ds+ZZsf（s，t）DTD。引理A.2EZZtf（s，t）dBsdBt！B=x-ZZtf（s，t）dsdt=H（x）ZZtf（s，t）dsdt！+H（x）ZZtf（s，t）ds+Ztf（t，u）du！dt。参考文献【1】Al\'os，E.，Le\'on，J.A。

和Vives，J.，关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为，FinanceStoch。11, (2007), 571-589.[2] Al\'os，E.和Shiraya，K.从短期波动性掉期中估计赫斯特参数，将出现在《金融史托赫》杂志上。。[3] Bayer，C.、Friz，P.K.和Gathereal，J.，《粗糙波动下的定价》，Quant。《金融》16:6，（2016），887-904。[4] 拜耳、C.Friz、P.K.、Gulisashvili、A.、Horvath、B.和Stemper B.，《粗略分数波动率模型中的短期近货币倾斜》，阿佩林·Quant。资金[5] Figueroa-L'opez，J.E.和Olafsson，S.，《具有L'evy跳跃的随机波动率模型下隐含波动率偏斜的短期渐近性》，Finance Stoch。20 (2016), 973-1020.[6] Forde，M.和Zhang，H.，粗糙随机波动率模型的渐近性，SIAM J.Finan。数学(2017), 8(1), 114-145.[7] Friz，P.、Gerhold，S和Pinter，A.，《中等偏差制度下的期权定价》，数学。《金融》（2018），28（3），962-988。[8] Fukasawa，M.，《随机波动率的渐近分析：鞅展开》，金融Stoch。15, (2011), 635-654.[9] Fukasawa，M.《隐含挥发分的规范化变换》，数学。财务22，（2012）753-762。[10] Fukasawa，M.，短期货币倾斜和粗略分数波动率，Quant。资金17:2, (2017), 189-198.[11] Garnier，J.和Solna，K.，《分数随机波动对Black-Scholes公式的修正》，SIAM J.Finan。数学(2017), 8(1) 560-588.[12] Gathereal，J.，《波动表面：实践者指南》。（2006）（约翰·威利父子公司：新泽西州霍博肯）。[13] Gathereal，J.、Jaisson，T.和Rosenbaum，M.，《波动性是粗糙的，定量的》。资金18:6, (2018), 933-949.[14] Guennoun，H.、Jacquier，A.和Roome，P.，《分数赫斯顿模型的渐近行为》，暹罗J.Finan。数学(2018), 9(3), 1017-1045.[15] 库尼托莫，N。

和Takahashi，A.，关于未定权益分析中渐近展开法的有效性，Ann。应用程序。概率。，(2003), 13(3),914-952.[16] Medvedev，A.和Scaillet，O.，《用短期渐近法对随机波动率模型进行跳跃的简单校准程序》，研究论文93号，2003年9月，FAME-国际金融资产管理与工程中心。[17] Medvedev，A.和Scaillet，O.，《跳跃扩散随机波动率下短期隐含波动率的近似和校准》，《金融研究评论》（TheReview of Financial Studies），（2006），20（2），427-459。[18] Nualart，D.，¨Ust¨unel，A.S.和Zakai，M.，关于多重维纳It^o积分的矩和积分多项式诱导的空间。《随机论》25（1988），第4期，233-240。[19] Osajima，Y.，动态SABR模型和外汇混合模型隐含波动率的渐近展开公式，2006年，UTMS 2006-29，东京大学。[20] Pagliarani，S.和Pascucci，A.，隐含效用的精确泰勒公式，金融斯托赫。21 (2017), 661-718.[21]Revuz，D.和Yor，M.，《连续鞅和布朗运动》（1999），施普林格·维拉格·柏林·海德堡。【22】吉田，N.，小差异相关统计的渐近展开，J.Jpn。统计Soc。，(1992) 22, 139-159.【23】吉田，N.，马利雅文微积分和鞅展开，布尔。Sci。数学125, 6-7 (2001) 431-456.