随机波动率模型下的短期货币渐近性

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英文标题：
《Short-term at-the-money asymptotics under stochastic volatility models》
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作者：
Omar El Euch, Masaaki Fukasawa, Jim Gatheral, Mathieu Rosenbaum
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  A small-time Edgeworth expansion of the density of an asset price is given under a general stochastic volatility model, from which asymptotic expansions of put option prices and at-the-money implied volatilities follow. A limit theorem for at-the-money implied volatility skew and curvature is also given as a corollary. The rough Bergomi model is treated as an example.
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中文摘要：
在一般随机波动率模型下，给出了资产价格密度的一个小时间Edgeworth展开式，在此基础上，看跌期权价格和货币隐含波动率的渐近展开式。作为推论，还给出了在货币条件下隐含波动率偏斜和曲率的极限定理。以粗糙Bergomi模型为例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：波动率模型 波动率 Applications volatilities Differential

大阪大学1-3 Machikaneyama，Toyonaka，大阪，JAPANfukasawa@sigmath.es.osaka-u、 ac.jpJim GatheralBaruch College，纽约城市大学Mathieu Rosenbaum\'Ecole Polytechnique 2019年3月22日摘要在一般随机波动率模型下给出了资产价格密度的小时间Edgeworth扩展，从中可以得出看跌期权价格和货币隐含波动率的渐近扩展。作为推论，还给出了在货币条件下隐含波动率偏斜和曲率的极限定理。以粗糙Bergomi模型为例。1简介随机波动率模型是Black-Scholes模型的扩展，解释了大量的经验证据。由于普通期权价格或期权隐含波动率的（半）分析（近似）公式，其中的Heston和SABR模型在金融实践中很受欢迎。有关随机波动率建模的实践指南，请参阅[12]。近年来，一类随机波动率模型引起了人们的广泛关注，其中波动率由分数布朗运动驱动，Hurst参数小于1/2。这是因为它们与经验上公认的隐含波动率偏差的期限结构的幂律一致；参见【1、3、6、8、10、11、13、14】。小赫斯特参数特别意味着波动路径比布朗运动更粗糙，因此，这类模型通常被称为粗糙波动模型。

由于模型不允许期权价格或隐含波动率的显式表达式，因此通过渐近分析讨论了上述一致性。本文的目的是提供一个研究货币隐含波动率短期渐近性的一般框架。这里，短期渐近是指成熟时间θ的渐近→ 我们所说的“at the money”是指对数货币的制度k=O(√θ). 该框架适用于一般的连续随机波动率模型。以文献[3]中引入的roughBergomi模型为例。货币隐含波动率的渐近扩张被赋予二阶。[10]中已经用不同的方法给出了一阶展开式。对于SABR模型，Osajima[19]给出了基于渡边-吉田理论的二阶展开式；例如，参见[15、22]。对于一个带有跳跃的马尔可夫随机波动率模型，梅德韦杰夫和斯卡利特[16，17]通过一个形式化的计算推导出了展开式。对于马尔可夫扩散情况，Pagliarani和Pascucci【20】证明了泰勒展开式的有效性。Figueroa-L'opez和'Olafsson在带有马尔可夫随机波动率的L'evy跳跃模型下推导出了货币隐含波动率偏斜的扩展。除了货币制度下的这些结果外，考虑到货币附近，即中等偏差制度，Friz等人[7]通过假设基础资产价格的密度函数的渐近行为，得出了隐含波动率的渐近偏斜和曲率。最近，拜耳等人。

[4] 已将中等偏差分析扩展到粗略波动率模型。在本文中，我们引入了一种基于连续随机波动率模型的条件高斯性的新方法来证明二阶密度展开的有效性，从中可以得到期权价格和隐含波动率的展开以及渐近偏斜和曲率公式。与[15、19、22]相反，我们不依赖Malliavin演算，这使我们能够有效地处理粗糙波动率模型。与[10]的初等方法相比，我们的方法可以扩展到更高阶的展开式，而无需任何额外的理论困难。我们选择远期方差的平方根，即方差掉期的公平执行，作为渐近展开的主导项，而最近的一项工作[2]研究了马利雅文衍生品的隐含波动率和波动率掉期条款的公平执行之间的差异。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了假设和一般结果。在第三节中，我们给出了一般结果的证明。第4节，我们处理正则随机波动率模型。在第5节中，我们展示了粗略的Bergomi模型也适用于该框架，并计算了该特定模型的扩展系数。2框架2.1假设(Ohm, F、 Q）是配备过滤{Ft；t的概率空间≥ 0}满足通常的假设。假设对数价格过程Z遵循dzt=rdt-vtdt+√vtdBt，其中r∈ R表示利率，v表示正的连续过程，适用于较小的过滤{Gt；t≥ 0}，其中的平方根称为Z的波动率。

布朗运动B分解为dbt=ρtdWt+q1- ρtdWt，其中Wis是一个{Ft}-布朗运动，对于所有t≥ 0，W是{Gt}-布朗运动，ρ是关于{Gt}的渐进可测过程，取[-1, 1]. 随机波动率模型（包括Heston、SABR和rough Bergomi模型）的一种典型情况是，（W，W）是二维{Ft}-布朗运动，{Gt}是由W生成的过滤，即Gt=N∨ σ（Ws；s≤ t） ，其中N是F的零集。用k·kp表示Q下的Lpnorm。我们的关键假设如下：对于任何p>0，supθ∈(0,1)θZθvtdtp<∞, supθ∈(0,1)（θZθvt（1- ρt）dt）-1.p<∞. （1） 标准随机波动率模型（相关参数|ρ|<1）可以满足这一点，但与ρ相对应的局部波动率模型不能满足这一点≡ 1、履约时间K＞0、到期时间θ＞0的看跌期权的无套利价格p（K，θ）由p（K，θ）=e给出-rθE[（K-exp（Zθ））+]=e-rθZKQ（对数x≥ Zθ）dx。时间0的前向方差曲线v（t）由v（t）=E【vt】定义。变化变量asx=F exp（ζσ（θ）），F=exp（rθ+Z），其中σ（θ）=sZθv（t）dt，我们有p（Fezσ（θ），θ）Fσ（θ）=e-rθZz-∞Q（ζ≥ Xθ）eσ（θ）ζdζ，其中Xθ=-2σ（θ）hMiθ+σ（θ）Mθ，Mθ=Zθ√vtdBt，hMiθ=Zθvtdt。在此基础上，通过Xθ的渐近分布研究了看跌期权价格的渐近行为。从鞅中心极限定理可以看出，Xθ在定律上收敛于标准正态分布θ→ 为了确定高阶渐近分布，我们假设如下结构：存在一个随机向量族n（M（0）θ，M（1）θ，M（2）θ，M（3）θ）；θ ∈ （0，1）osuch that1。M（0）θ定律是所有θ>0,2的标准法线。supθ∈（0,1）kM（i）θkp<∞, 对于所有p>0和3，i=1、2、3（2）。

对于一些H∈ （0，1/2）和 ∈ （0，H），limθ→0θ-2小时-2.Mθσ（θ）- M（0）θ- θHM（1）θ- θ2HM（2）θ1+= 0，limθ→0θ-H-2.hMiθσ（θ）- 1.-θHM（3）θ1+= 进一步，我们假设在Schwartz空间（即快速递减的平滑函数），其中φ是标准正态密度。一维连续局部鞅的鞅中心极限定理证明如下。设mn是具有hMni的连续局部鞅→ 概率为1。根据Dubins-Schwarz定理，对于布朗运动Wn，Mn=Wnhmni。自（Wn，hMni）→（W，1）在定律中，利用连续映射定理，我们得到了Mn→ 赢得法律。如第4节所述，正则随机波动率模型满足这些假设，H=1/2，其中（3）是It^o-Taylorexpansion的结果。在第5节中，我们看到粗糙Bergomi模型，其中波动率由分数布朗运动驱动，满足了这些假设，H是分数布朗运动的Hurst参数。2.2一般结果本文的基本结果如下。定理2.1 Xθ定律允许密度pθ，对于任何α∈ N∪ {0}，supx∈R（1+x）α| pθ（x）- qθ（x）|=o（θ2H）（5）asθ→ 0，其中qθ（x）=φx+σ（θ）！- θHa（1）θx+σ（θ）！-σ（θ）a（3）θx+σ（θ）！！- θ2Ha（2）θ（x）-cθ（x）.（6） 第3.2节给出了证明。

为了推导出看跌期权价格的精确渐近展开式，我们引入了一个附加假设，该假设由第4节和第5节中的模型所满足。定理2.2假设我们有（5），其中qθ的形式为qθ（x）=φx+σ（θ）！（1+κ（θ）Hx+σ（θ）！- σ（θ）Hx+σ（θ）！！θH）+φ（x）κ（θ）H（x）+κ（θ）H（x）！θ2H（7），有界函数κ（θ）和θ的κ（θ），其中hk是第k个Hermite多项式：H（x）=x，H（x）=x- 1，H（x）=x- 3x，H（x）=x- 6倍+3倍。那么，对于任何z∈ R、 p（Feσ（θ）z，θ）Fe-rθσ（θ）=σ（θ）Φz+σ（θ）！eσ（θ）z- Φz-σ(θ)!!+ κ（θ）φz+σ（θ）！Hz+σ（θ）！eσ（θ）zθH+φ（z）κ（θ）H（z）+κ（θ）H（z）！θ2H+o（θ2H）在z上均匀分布≤ z、 第3.3节给出了证明。在相同的假设下，Black-Scholes隐含波动率的渐近展开如下。在波动率参数σ>0的Black-Scholes模型下，用pBS（K，θ，σ）表示执行价为K，到期日为θ的看跌期权价格。给定看跌期权价格p（K，θ），K=Fek，Black-Scholes隐含波动率σBS（K，θ）通过hpbs（K，θ，σBS（K，θ））=p（K，θ）定义。货币隐含波动率偏斜和曲率分别定义为k=0时Black-Scholes隐含波动率的第一和第二导数，单位为k。为了论证模型与经验观察到的幂律的一致性，倾斜行为尤其重要。定理2.3假设有（5），qθ的形式为（7）。那么，对于任何z∈ R、 σBS(√θz，θ）=κ1+κzκ+κ√θ!θH+3κ- κ+ (κ- 3κ）zκθ2H+ o（θ2H），其中κ=κ（θ）=σ（θ）/√θ、 κ=κ（θ）和κ=κ（θ）。定理2.4假设有（5），qθ的形式为（7）。然后kσBS（0，θ）=κ（θ）θH-1/2+o（θ2H）-1/2),kσBS（0，θ）=2κ（θ）- 3κ（θ）κ（θ）θ2H-1+o（θ2H-1).第3.4节和第3.5节分别给出了证明。注：上述渐近估计在H中不一致；假设的随机膨胀（3）在H中是不均匀的，因此，似乎没有希望有均匀性。

我们将在H中具有一致性∈ [H，1/2]对于某些H>0的情形，如果我们能加强条件（3）使其在[H，1/2]上一致收敛。似乎不可能论证H的一致性∈ （0，1/2）因为引理3.2下面需要-δ变元依赖于H.3证明3.1特征函数展开这里我们给出了Xθ特征函数的渐近展开式。LetYθ=M（0）θ+θHM（1）θ+θ2HM（2）θ-σ(θ)1+θHM（3）θ.引理3.1设H∈ （0，1/2）和 ∈ （0，H）是（3）保持不变的常数。那么，对于任何α∈ N∪ {0}，sup | u|≤θ-|E[XαθeiuXθ]- E[YαθeiuYθ]|=o（θ2H+).证明：自| eix- 1| ≤ |x |，我们有| E[xαθeiuXθ]- E[YαθeiuYθ]|≤ |E[（Xαθ- Yαθ）eiuXθ]|+| E[YαθeiuYθ（eiu（Xθ-Yθ）- 1)]|≤ E[| Xαθ- Yαθ|]+uE[| Yθ|α| Xθ- Yθ|]分别乘以（1）和（2），Xθ和Yθ具有任意阶矩。因此，通过H¨older不等式，E[| Yθ|α| Xθ- Yθ|]≤ C（α，)kXθ- Yθk1+对于常数C（α，) > 0.自Xαθ起- Yαθ=（Xθ- Yθ）Pα-1β=0(-1） βXα-1.-βθYβθ，h¨older不等式也给出[| Xαθ- Yαθ|]≤ C（α，)kXθ- Yθk1+对于常数C（α，) > 由于σ（θ）=O（θ1/2），我们得到了kXθ- Yθk1+=o（θ2H+2) 由（3）得出结果////引理3.2设H和 如Lemme 3.1所示。那么，对于任何δ∈ [0，（H- )/3） ，sup | u|≤θ-δE[YαθeiuYθ]- EeiuM（0）θ（M（0）θ）α+A（α，u，M（0）θ）+B（α，u，M（0）θ）= o（θ2H+),式中θ（α，u，x）=iuxα+αxα-1.（E[Yθ| M（0）θ=x]- x） ，Bθ（α，u，x）=-uxα+iuαxα-1+α(α - 1） xα-2.×θ2HE[| M（1）θ| M（0）θ=x]- σ（θ）θHE[M（1）θ| M（0）θ=x]+σ（θ）！。证据：这源于以下事实：eix公司- 1.-ix+x≤|x |对于所有x∈ R、 实际上，这意味着SUP | u|≤θ-δE[YαθeiuYθ]- E“YαθeiuM（0）θ1+iu（Yθ- M（0）θ）-u（Yθ- M（0）θ）#= o（θ2H）+).展开Yαθ=（M（0）θ）α+α（M（0）θ）α-1（Yθ- M（0）θ）+。取给定M（0）θ的条件期望得到结果。

////引理3.3用qθ（x）=φ（x）定义qθ（x）-θHa（1）θ（x）- θ2Ha（2）θ（x）-σ（θ）（xφ（x）- θHa（3）θ（x））+θ2Hcθ（x）-θHσ（θ）bθ（x）+σ（θ）（x- 1） φ（x），（8），其中a（i）θ、bθ和cθ由（4）定义。那么，ZReiuxxα′qθ（x）dx=EeiuM（0）θ（M（0）θ）α+A（α，u，M（0）θ）+B（α，u，M（0）θ）.证明：由于M（0）θ的密度根据假设为φ，因此这只是部分积分的结果////3.2密度展开式在这里，我们导出了Xθ密度的渐近展开式。引理3.4存在密度Xθ，对于任何α，j∈ N∪ {0}，supθ∈（0,1）Z | u | j | E[XαθeiuXθ]| du<∞证明：注意Xθ在Gθ上的分布是高斯分布，条件平均值uθ=-2σ（θ）hMiθ+σ（θ）Zθ√vtρtdwt和条件方差vθ：=σ（θ）Zθvt（1- ρt）dt。因此，对于任何有界连续函数f，我们有E[f（Xθ）]=E[E[f（Xθ）| Gθ]]=E[Zf（X）φ（X，Uθ，Vθ）dx]，其中φ（·，U，V）是具有平均U和方差V的正态分布的密度。这意味着Xθ允许密度θ（X）=E[φ（X，Uθ，Vθ）]。此外，密度函数在Schwartz空间中，每个Schwartz半范数在θ上一致有界（1）。因此，supθ∈（0,1）Z | u | j | E[XαθeiuXθ]| du=supθ∈（0,1）ZZujxαeiuxpθ（x）dxdu=supθ∈（0,1）ZZeiux公司jx（xαpθ（x））dxdu<∞由于傅里叶变换是从S到S的连续线性映射。////定理2.1的证明：如引理3.4的证明所示，密度pθ存在于Schwartz空间中。注意，对于Schwartz空间中的函数f，byTaylor定理，f（x+a）- f（x）- f（x）a- f（x）a≤asup | b|≤|a | | f（x+b）|≤asup | b|≤|a |（1+（x+b））αsupy∈R（1+y）α| f（y）|和so，supx∈R（1+x）αf（x+a）- f（x）- f（x）a- f（x）a= O（a）。这给了SSUPX∈R（1+x）α| qθ（x）-\'qθ（x）|=O（θ1+H）=O（θ2H），其中\'qθ由（8）给出。

根据傅里叶恒等式，（1+x）α（pθ（x）-\'qθ（x））=2πZ Zeiuy（1+y）α（pθ（y）-\'\'qθ（y））染料-iuxdu组合上一节中的引理，取δ∈ （0，最小值{, （H）-)/3} ），我们有|≤θ-δZeiuy（1+y）α（pθ（y）-\'qθ（y））dydu=o（θ2H）。另一方面，Z | u|≥θ-δZeiuy（1+y）αpθ（y）dy杜邦≤ θjδZ | u|≥θ-δ| u | j | E[（1+Xθ）αeiuXθ]| du=O（θjδ），对于任何j∈ N通过引理3.4。剩余Z | u|≥θ-δZeiuy（1+y）α′qθ（y）dyDU的处理方式相同////3.3看跌期权价格扩张在这里，我们考虑看跌期权价格。如前所述，用pθ表示Xθ的密度，并考虑归一化看跌期权价格p（Feσ（θ）z，θ）Fσ（θ）=e-rθZz-∞Zζ-∞pθ（x）dxeσ（θ）ζdζ。引理3.5设qθ（x），θ>0是R上的一系列函数（不一定是（8）给出的函数）。Ifsupx∈R（1+x）α| pθ（x）- qθ（x）|=o（θβ），对于某些α>5/4且β>0，则对于任何z∈ R、 p（Feσ（θ）z，θ）Fσ（θ）=e-rθZz-∞Zζ-∞qθ（x）dxeσ（θ）ζdζ+o（θβ）在z上均匀分布≤ z、 证明：通过Cauchy-Schwarz不等式，e-rθZz-∞Zζ-∞|pθ（x）- qθ（x）| dzeσ（θ）ζdζ≤ e-rθZz-∞sZζ-∞dx（1+x）2α-1sZζ-∞（1+x）2α-1 | pθ（x）- qθ（x）| dzeσ（θ）ζdζ≤√πe-rθ+σ（θ）zsupx∈R（1+x）α| pθ（x）- qθ（x）| Zz-∞sZζ-∞dx（1+x）2α-1dζ，如果α>5/4，则为o（θβ）////定理2.2的证明：这是前面引理的直接结果。例如，ddz（e-σ（θ）zddz（σ（θ）Φz+σ（θ）！eσ（θ）z- Φz-σ(θ)!!))= φz+σ（θ）！。Hk（z）φ（z）的导数为-Hk+1（z）φ（z）。也可回忆σ（θ）=O(√θ). ////3.4隐含波动率扩展在这里，我们证明了Black-Scholes隐含波动率的扩展公式。定理2.3的证明：步骤1）。固定z∈ R、 注意pθ（σ）：=pBS（Fe√θz，θ，σ）Fe-rθ√θ=√θΦzσ+σ√θ!e√θz- Φzσ-σ√θ!!（9） pθ：[0，∞] →（e）√θz- 1)+√θ、 e类√θz√θ是一个严格递增函数。