弱方差α-γ过程的校准

使用第一个初始值，将MLE应用于每个边缘观测值，以获得uk，αk，∑kk，mk，k=1，2的第二个初始值，并应用于双变量观测值，以获得a，∑的第二个初始值。最后，使用第二个初始值，对所有参数应用MLE。对于V AG模型，我们采用上述方法，约束∑=0。数字力矩估计。设k=1，2，设q为10个等间距点的向量，从0.05到0.95，设pk为概率q下观测值的经验量（ykj）Nj=1。设py（uk，αk，∑kk，mk）：=P（Yk（c）≤ y） ，其中y∈ Pk，Yk~ mkI+V G（1/αk，uk，∑kk）（见命题2.1（iv）），qi是相应的经验概率。通过最小化误差Py估计边缘参数uk，αk，∑kk，mk∈Pk（py（uk，αk，∑kk，mk）- qy）。对于估计的边缘参数，设ρ：=∑（∑∑）1/2，py（a，ρ）：=P（Y（c）≤ y、 y（c）≤ y） ，其中y：=（y，y）∈ P×P，Y~ Im+W V AG（a，α，u，∑），qy是相应的经验概率。由于直接计算（a，ρ）的计算成本很高，因此它是通过10000次模拟的经验概率估计的。通过最小化误差Py的黄土光滑度来估计接缝参数a，ρ∈P×P（py（a，ρ）- qy）。黄土光滑的预测变量是（a，ρ）可行集上100个等距点∈(0, (1/α)∧(1/α))×(-1, 1).

对于V AG模型，我们采用上述方法，约束条件ρ=0.4.3拟合优度统计量来评估每个参数估计方法的整体拟合优度，与评估单个参数相反，我们考虑3个拟合优度统计量，即负对数似然(- log L），卡方（χ）统计量和Kolmogorov-Smirnov（KS）统计量。为了计算χ，我们将拟合分布的Rosenblatt变换[31]应用于观察值，如果拟合分布与真实分布一致，则在[0，1]上具有均匀分布，然后我们计算χ统计量，以检验均匀性，将[0，1]等距分割为100个单元格。自计算以来- 对数L和χ需要傅立叶反演，当傅立叶可逆性条件不成立时，可能无法准确计算这些统计数据，因此它们不显示在表2中。因此，我们还考虑了Piockok在[30]中引入的二维两样本KolmogorovSmirnov统计量，并使用[36]中的方法进行计算。这是基于相应分布中的样本检验拟合分布和真实分布相等性的统计数据，因此不需要密度函数fY（c）（y）或傅立叶反演。当应用于第4.6小节中的实际数据时，我们从观测值中计算KS统计数据的平均值，并从拟合分布中提取100个样本。当应用于第4.5小节中的模拟数据时，KS统计量根据观测值和拟合分布的样本计算得出。在100次模拟中，所有3个拟合优度统计均为平均值。4.4二甲醚的分位数选择二甲醚的分位数可以有不同的选择。

设qbe为0.05到0.95之间的10个等距点的向量，qbe为0.01到0.99之间的10个等距点的向量，qbe为0.1到0.9之间的10个等距点的向量，qbe为0.05到0.95之间的20个等距点的向量。对于采样间隔c=1，表1显示了4个分位数选择的拟合优度。我们发现q=QA产生了大多数变量的最低RMSE和最低的拟合优度统计。然而，如果参数真值qqqqa1 0.171 0.171 0.182 0.175α0.8 0.127 0.132 0.143 0.128α0.6 0.126 0.145 0.149 0.129u0.1 0.062 0.066 0.066 0.062u-0.3 0.121 0.271 0.229 0.188∑1 0.084 0.083 0.093 0.084∑1.2 0.113 0.166 0.147 0.123∑0.6 0.154 0.182 0.172 0.150m-0.1 0.051 0.054 0.053 0.050m0.3 0.110 0.262 0.219 0.179- ln L 2791.674 2795.826 2794.374 2792.303χ93.848 97.292 96.728 95.078KS 0.054 0.055 0.054 0.054表1：使用带分位数q的DME的RMSE，Q对于W V AG模型，适用于c=1的模拟数据。结果非常相似，这些分位数的选择与总体优度只有很小的差异。4.5模拟数据结果对于采样间隔c=1，当（3.3）的LHS为0.75>1/2时，满足傅立叶可逆性条件。表2显示了c=1的W V AGmodel的校准结果。在这里，我们发现最大似然估计以最低的χ统计给出了最好的拟合。MLE和DME的KS统计值大致相等。对于采样间隔c=0.1，违反了傅里叶可逆性条件，因为（3.3）的LHS为0.08<1/2。相应的结果如表3所示。在这里，我们发现二甲醚以最低的统计数据给出了最佳的fit，然而最大似然误差仍然产生了良好的fit，并且没有分解。这表明，该条件可能不是极大似然估计产生准确参数估计所必需的。

在这两种情况下，c=1、0.1、theRMSE和拟合优度统计是MOM的最高值。参数真值MOM MLE DMEa 1 0.920（0.424）0.983（0.242）0.902（0.171）α0.8 0.806（0.342）0.824（0.111）0.818（0.127）α0.6 0.589（0.216）0.594（0.094）0.589（0.126）u0.1 0.103（0.097）0.103（0.053）0.096（0.062）u-0.3-0.310 (0.131) -0.301 (0.083) -0.313（0.121）∑1 0.989（0.078）1.006（0.071）0.993（0.084）∑1.2 1.177（0.088）1.202（0.086）1.179（0.113）∑0.6 0.835（0.335）0.669（0.192）0.639（0.154）m-0.1-0.103 (0.089) -0.105 (0.045) -0.097（0.051）m0.3 0.313（0.120）0.302（0.070）0.314（0.110）- ln L 2802.337 2787.513 2791.674χ119.052 91.268 93.848KS 0.068 0.054 0.054表2：适用于c=1的模拟数据的W V AG模型的估计值和RMSE的预期值（括号内）。参数真值MOM MLE DMEa 1 1.106（0.507）0.990（0.062）0.896（0.121）α0.8 0.636（0.247）0.782（0.033）0.796（0.057）α0.6 0.504（0.198）0.602（0.026）0.603（0.031）u0.1 0.099（0.167）0.114（0.099）0.104（0.170）u-0.3-0.347 (0.219) -0.250 (0.123) -0.301（0.146）∑1 0.992（0.136）1.005（0.133）1.013（0.302）∑1.2 1.197（0.166）1.245（0.161）1.234（0.221）∑0.6 0.842（0.353）0.262（0.364）0.564（0.188）m-0.1-0.111 (0.128) -0.114 (0.015) -0.100（0.000）m0.3 0.351（0.164）0.288（0.014）0.300（0.001）KS 0.326 0.222 0.078表3：适用于c=0.1.4.6真实数据结果的模拟数据的W V AG模型的估计值和RMSE的预期值下一步，我们将W V AG和V AG模型与标准普尔500指数和FTSE100指数作为双变量价格过程（4.1），从2011年2月14日至2016年2月12日，为期5年，每日收盘价观察值取C=1。表4列出了使用100个自举样本计算的估计参数、拟合优度统计和标准误差。

拟合分布的等值线图和双变量对数回归的散点图如图1所示。请注意，所有已安装模型均满足傅立叶可逆性条件。基于χ、KS统计和等高线图，W V AG模型比V AG模型产生更好的fit。此外，对于WV AGmodel，DME给出的χ和KS统计量低于MLE和MOM。假设日志返回满足W V AG模型，则可使用似然比检验检验假设H：∑=0与H：∑6=0。检验统计量D=514.03为1自由度渐近χ分布。p值<10-4，因此V AG模型被拒绝。事实上，V-AG模型不适合建模强相关性sinceCov（（Bo T）（1），（Bo T）（1））=命题2.1（vi）中的ααu，当u为时，其近似为0。有人建议，日志返回应该是自分解的[6、7、13]。注意u=(-0.0004, -0.0008）非常接近0，这表明日志返回过程Y确实是可自分解的（参见命题2.1（vii））。似然比检验可用于检验该假设，H：u=0与H：u6=0。检验统计量D=4.11为2个自由度的渐近χ分布。p值为0.128，因此在5%的显著水平上，我们不能拒绝Y是自分解的。5结论利用弱隶属度构造的W-V-AG过程推广了V-AG过程，并在定理3.1中得到了Fourier可逆的条件。我们已经证明，MOM、MLE和DME可用于估计W V AG过程的参数，并且在我们的模拟中发现，当傅立叶可逆性条件成立时，MLE产生更好的fit，而当违反它时，DME产生更好的fit。

然而，MLE仍可能生产P500FTSE100-0.020.000.02层。1层。2.-0.020.000.02层。3层。4.-0.020.000.02-0.02 0.00 0.02层。5.-0.02 0.00 0.02层。6图1：S＆P500-FTSE100数据集的对数收益散点图，以及使用弱V AG模型（左）和V AG模型（右）以及MOM（上）、MLE（中）、DME（下）的拟合分布等高线图。即使违反了傅里叶可逆性条件，也能得到良好的参数估计。在所有情况下，MOM产生的效果最差。我们发现，当用于建模S&P500-FTSE100数据集时，W-V-AGprocess表现出更广泛的依赖性，产生的效果明显优于V-AG流程，并且DME在这种情况下产生的效果最好。附录1-evy流程。读者可以参考专著【1、5、33】，以获取有关列维过程的必要材料，也可以参考【2、12、15】以获取财务应用，而我们的注释如下【9、10】。对于 Rn，让A*:= A \\{0}和letA（ω）表示指示符函数。设D：={x∈ 注册护士：kxk≤ 1} 是以原点为中心的欧几里德单位球。n维L'evyprocess的定律X=（X，…，Xn）=（X（t））t≥0由其特征函数ΦX确定：=ΦX（1），其中ΦX（t）（θ）：=E exp（i hθ，X（t）i）=exp（tψX（θ）），t≥0，且L'evy指数ψX：=ψ，其中ψ（θ）：=i hu，θi-kθk∑+ZRn*eihθ，xi-1.-i hθ，xi 1D（x）X（dx），θ∈ Rn，u∈ Rn，∑∈ Rn×nis是协方差矩阵，X是Rn上的非负相关测度*这样的话*（kxk∧ 1） X（dx）<∞. 我们写X~Ln（u，∑，X），前提是X是一个具有正则三重态（u，∑，X）的n维L'evy过程。A从属T~ Sn（T）=Ln（u，0，T）的漂移小于其漂移u-研发部*t t（dt）=0。本文所考虑的所有隶属函数都是无漂移的。一个n维随机变量X是自分解的，如果对于任何0<b<1，存在一个与X无关的随机变量Zb，那么XD=bX+Zb。

如果X（1）是，则L'evy过程X是自分解的。强从属布朗运动。设B=（B，…，Bn）~BMn（u，∑）是布朗运动，T=（T，…，Tn）~ Sn（T）是无漂移的从属项。A过程Bo T是X和T的传统或强从属关系if（Bo T）（T）：=（B（T（T）），Bn（Tn（t）），t≥ 弱从属布朗运动。设t=（t，…tn）∈ [0, ∞)n、 u=（u，…un）∈ Rnand∑=（kl∑）∈ Rn×nbe协方差矩阵。介绍外部产品t u ∈ R和t Σ∈Rn×nbytu：=（tu，…，tnun）和（t∑）kl：=∑kl（tk∧tl），1≤ k、 l≤ n、 （A.1）让B~ BMn（u，∑）是n维布朗运动，T~ Sn（T）是n维无漂移子。A L'evy过程B 如果T具有l'evy指数ψB，则称为B和T的弱从属（见[10]，他们的命题3.1T（θ）=Z[0，∞)n*经验值i hθ，t ui-kθktΣ- 1.T（dt），（A.2）θ∈ 注册护士。请注意，【10】中给出了弱从属关系和存在可能性的更一般定义。假设独立的B和T。如果T有不可区分的成分或B有独立的成分，则Bo TD=B T（A.3）否则Bo T可能不是一个L'evy过程，但B T始终是（见[10]，其建议3.3和3.9）。确认TB。Buchmann的研究得到了ARC拨款DP160104737的支持。K、 卢的研究得到了澳大利亚政府研究培训计划奖学金的支持。参考文献[1]Applebaum，D.（2009）。列维过程与随机微积分。剑桥高等数学研究，116，第二版，剑桥大学出版社，剑桥。MR2512800[2]Ballotta，L.和Bon figlioli。E、 （2016年）。使用L'evyprocess和applications的多元资产模型。《欧洲金融杂志》22，1320–1350。[3] Barndorff-Nielsen，O.E.、Pedersen，J.和Sato，K.（2001）。多元隶属度、自分解性和稳定性。应用程序中的高级。概率。33,160–187.

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