弱方差α-γ过程的校准

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英文标题：
《Calibration for Weak Variance-Alpha-Gamma Processes》
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作者：
Boris Buchmann, Kevin W. Lu, Dilip B. Madan
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The weak variance-alpha-gamma process is a multivariate L\\\'evy process constructed by weakly subordinating Brownian motion, possibly with correlated components with an alpha-gamma subordinator. It generalises the variance-alpha-gamma process of Semeraro constructed by traditional subordination. We compare three calibration methods for the weak variance-alpha-gamma process, method of moments, maximum likelihood estimation (MLE) and digital moment estimation (DME). We derive a condition for Fourier invertibility needed to apply MLE and show in our simulations that MLE produces a better fit when this condition holds, while DME produces a better fit when it is violated. We also find that the weak variance-alpha-gamma process exhibits a wider range of dependence and produces a significantly better fit than the variance-alpha-gamma process on an S&P500-FTSE100 data set, and that DME produces the best fit in this situation.
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中文摘要：
弱方差α-伽马过程是一个由弱从属布朗运动构造的多元Levy过程，可能具有α-伽马从属的相关分量。它推广了由传统隶属关系构造的塞梅拉罗方差α-γ过程。我们比较了弱方差α-γ过程、矩量法、最大似然估计（MLE）和数字矩估计（DME）的三种校准方法。我们推导了应用极大似然估计所需的傅立叶可逆性条件，并在模拟中表明，当该条件成立时，极大似然估计会产生更好的拟合，而当违反该条件时，二甲醚会产生更好的拟合。我们还发现，在S&P500-FTSE100数据集上，弱方差α-γ过程表现出更广泛的依赖性，并产生了比方差α-γ过程更好的拟合，并且DME在这种情况下产生了最佳拟合。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：Multivariate Mathematical Quantitative constructed multivariat

弱方差Alpha-GammaProcesses的校准*Boris Buchmann+Kevin W.LuDilip B.Madan§2018July 30摘要弱方差α-γ过程是一个由弱从属布朗运动构造的多元L'evyproces，可能包含与α-γ从属相关的成分。它推广了由传统隶属关系构造的符号方差α-γ过程。我们比较了弱方差α-γ过程、矩量法、最大似然估计（MLE）和数字矩估计（DME）的三种校准方法。我们推导了应用极大似然估计所需的傅立叶可逆性条件，并在我们的模拟中表明，当该条件成立时，极大似然估计产生更好的拟合，而当违反该条件时，二甲醚产生更好的拟合。我们还发现，在anS&P500-FTSE100数据集上，弱方差α-伽马过程表现出更广泛的依赖性，并产生了比方差α-伽马过程更好的结果，并且DME在这种情况下产生了最好的结果。2000年理学硕士学科分类：小学：60G51中学：62F10、60E10*该研究部分得到ARC拨款DP160104037的支持。+澳大利亚国立大学金融、精算研究与统计研究学院，澳大利亚ACT 0200。电子邮件：boris。buchmann@anu.edu.au澳大利亚国立大学数学科学研究所，澳大利亚ACT 0200。电子邮件：kevin。lu@anu.edu.au§马里兰州大学帕克学院罗伯特·H·史密斯商学院。

20742，美国，电子邮件：dbm@rhsmith.umd.eduKeywords：布朗运动、Gamma过程、L'evy过程、从属关系、方差Gamma、方差Alpha Gamma、自分解性、对数回归、矩方法、最大似然估计、数字矩估计。1简介布朗运动的从属关系在数学金融中有着重要的应用，它作为一种时间变化，模拟信息流动，衡量交易量中的时间，而不是实时。这个想法是由Madan和Seneta在[27]中提出的，他们引入了variancegamma（V G）过程来模拟股票价格，其中次级是布朗运动，次级是gamma过程。隶属关系可以应用于多元价格过程中的模型依赖。文献[27]中的多元V G过程使用n维布朗运动作为从属，单变量gamma过程作为从属，这给了它一个限制性的依赖结构，其中成分不能有特殊的时间变化，并且在没有偏斜的情况下必须具有相等的峰度。基于独立evy过程线性组合的模型[19，23]也不能同时考虑常见和特殊的时间变化。这些缺陷通过使用α-伽马隶属度来解决，从而产生了方差α-伽马（V AG）过程，该过程由Semeraro在[34]中引入，并在[18，22]中进行了研究。然而，在这种情况下，布朗运动从属必须具有独立分量，这也限制了依赖结构。精确地说，设B=（B，…，Bn），其中T=（T，…，Tn）是独立的n维过程，其中B是布朗运动，T是分离子。从属是生成进程B的操作oTde定义人（Bo T）（T）：=（B（T（T）），Bn（Tn（t）），t≥ 0

文献[4，33]研究了当T有不可区分的成分时，以及当B有独立成分时，在文献[3]中的从属关系。在这些被称为传统从属关系的情况下，Bo T是一个L'evy过程，否则可能不是（见[10]，他们的命题3.9）。我们请读者参考文献[9]对传统从属关系及其应用进行深入的讨论。在[10]中，我们引入了B和T的弱从属关系，这是一种扩展传统从属关系的操作，并且总是产生一个L'evy过程B T然后，可以使用弱从属关系而不是传统从属关系来构造弱方差α-γ（W V AG）过程，同时允许布朗运动具有可能相关的分量。W V AG过程表现出更广泛的依赖性，同时简化参数化，每个成分都有共同的和特殊的时间变化，它有具有独立峰度水平的V G边缘，跳跃测度有充分的支持。弱从属关系也适用于定量金融。在[29]中，通过弱排序构建了各种边际一致依赖模型。在【25】中，基于W V AG过程的对数收益模型被应用于瞬时投资组合理论。在[28]中，在财务信息流的背景下，研究了使用具有任意边际成分的隶属函数以及L'evy copula指定的依赖关系的弱隶属关系。极大似然估计（MLE）已用于将财务数据定义为【26，16】中的单变量V G过程、【17】中的双变量V G过程、【29】中的aW V AG过程，以及基于因子的从属布朗运动【21，29，35】，这是W V AG过程的推广。

由于V AG和W V AG分布的密度函数不明确，但其特征函数是，因此密度函数是使用Fourier反演计算的。在本文中，我们推导了一个关于傅里叶可逆性参数的有效条件，据我们所知，这是一个在现有文献中没有解决的问题。然后，我们将极大似然估计与文献[24]中的矩量法（MOM）和数字矩估计（DME）进行了比较。通过模拟，我们发现当满足傅里叶可逆性条件时，极大似然估计产生更好的拟合，而当违反该条件时，二甲醚产生更好的拟合。此外，我们将W V AG和V AG模型与S&P500-FTSE100数据集进行了拟合，并表明弱模型的拟合效果明显更好，DMEis是这种情况下更好的方法。最后，利用文献[11]中W V AG过程的自分解条件，我们发现logreturns是自分解的。本文的结构如下。在第2节中，我们回顾了钨钒银工艺的定义和特性以及其他准备工作。在第3节中，我们推导了傅里叶可逆性的条件。在第4节中，我们将MOM、MLE、DME应用于模拟和真实数据，并讨论我们的发现。在第五部分，我们总结了本文。2弱方差α-γ过程Rnbe n维欧氏空间，其元素为行向量x=（x，…，xn），正则基{ek:1≤ k≤ n} 。设hx，yi=xy表示欧氏积，kxk=xx表示欧氏范数，kxk∑：=x∑x。对于n维过程x和Y，XD=Y表示x和Y在定律上相同，即它们的有限维分布系统相等。附录中给出了列维过程和弱从属的概述。在整个过程中，B=（B。

，十亿）~ BMn（u，∑）指线性漂移E[B（t）]=ut且协方差矩阵Cov（B（t））=t∑，t的n维布朗运动≥ 一个n维从属项T=（T，…，Tn）~ Sn（T）是一个具有非减量分量的n维L'evy过程，其L'evy测度用T表示。伽马从属。对于a，b>0，一元从属函数G~ ΓS（a，b）是一个伽马从属函数，如果其边缘G（t），t≥0，伽马分布在形状参数at和速率参数b中。如果a=b，我们将G称为标准伽马从属，简而言之，G~ ΓS（b）：=ΓS（b，b）。Alpha gamma从属。假设n≥ 2、设α=（α，…，αn）∈(0, ∞)nand G，Gnbe独立gamma从属函数，使得G~ΓS（a，1），Gk~ΓS（βk，1/αk），其中a>0，aαk<1，βk：=（1-aαk）/αk，1≤k≤n、 A过程T~ 活动星系核（a，α）是α-伽马（AGnS）的一个从属物[34]，如果TD=Gα+（G，…，Gn），则参数为a，α。阿尔法-伽马次属具有与边缘Tk相关的成分~ ΓS（1/αk），1≤ k≤ n、 方差伽马过程。设b>0，u∈ Rnand∑∈ Rn×nbe协方差矩阵。A流程V~ V Gn（b，u，∑）是方差伽马（V Gn）过程[27]，如果V~ BMn（u，∑）o （ΓS（b）e），其中：=（1，…，1）∈ 注册护士。V的特征指数为（见[9]，其公式（2.9））ψV（θ）=-b项次1.-i hu，θib+kθk∑2b, θ ∈ Rn，（2.1），其中ln:C\\(-∞, 0] → C是对数的主要分支。强方差α-γ过程。假设n≥ 2、让u∈ Rnand∑∈ [0, ∞)n×nbe是对角矩阵。A流程X~ V AGn（a，α，u，∑）isa（强）方差α-γ（V AGn）过程[22，34]，参数a，α，u，∑if X~ BMn（u，∑）o 活动星系核（a，α）。在【10】中，弱V-AG过程是使用弱从属关系来描述的，允许B具有依赖组件，同时保持L'evy过程。弱方差α-γ过程。假设n≥ 2、让u∈ Rnand∑∈Rn×nbe是任意协方差矩阵。

流程X~ W V AGn（a，α，u，∑）是一个弱方差α-γ过程[10]，参数a，α，u，∑if X~ BMn（u，∑） AGnS（a，α），其中 表示弱从属操作（见附录）。接下来，我们收集有关W V AG过程的各种已知结果，这些结果将在以后有用。符号 在（A.1）中定义，自分解性在附录中定义。提案2.1。让n≥ 2和X~ W V AGn（a，α，u，∑）。（i） X是一个n维L'evy过程，L'evy指数ψX（θ）=- a项次1.- i hα u，θi+kθkαΣ-nXk=1βkln1.- iαkukθk+αkθk∑kk, θ ∈ 注册护士。（2.2）（ii）让V~ V Gn（a，aα u，aα ∑），Vk~ V G（βk，（1- aαk）uk，（1-aαk）∑kk），1≤k≤n保持独立。然后XD=V+Pnk=1Vkek。（iii）对于任何c>0，（X（ct））t≥0~ W V AGn（ca，α/c，cu，c∑）。（iv）对于1≤k≤n、 X具有边际分布Xk~ V G（1/αk，uk，∑kk）。（v） 如果∑是对角线，则X~ V AGn（a，α，u，∑）。（vi）对于1≤k 6=l≤n、 Cov（Xk（1），Xl（1））=a（αk∧αl）∑kl+aαkαlukul.（vii）如果∑是可逆的，那么X是可自分解的当且仅当u=0时。证据（i）、（ii）、（iv）-（vi）见【10】，（iii）见【29】，（vii）见【11】。与V-AG过程相比，W-V-AG过程表现出更广泛的依赖性。例如，它有一个额外的协方差项a（αk∧αl）∑klfromposition 2.1（vi）。3傅里叶变换≥ 2和X~ W V AGn（a，α，u，∑），Y=Im+X，m∈ Rn，其中I：[0，∞) → [0, ∞) 是标识函数。存在MLE所需的密度函数Y（t），t>0，因为Y（t）具有绝对连续的分布。然而，它并不明确已知，因此使用傅里叶反演asfY（t）（y）=（2π）计算-nZRnexp(-i hθ，y- mi）ΦX（t）（θ）dθ，y∈ Rn，（3.1），其中ΦX（t）（θ）=exp（tψX（θ）），θ∈ Rn和（2.2）中的ψX（θ），提供ΦX（t）∈ 五十、 如果ΦX（t）∈ 五十、 我们说X（t）是傅立叶可逆的，我们用一个与参数相关的不等式给出了这个条件。引理3.1。

让B~ BMn（u，∑），B*~ BMn（0，∑），T~ Sn（0，T），XD=B T，X*D=B* T，YD=Im+X，m∈ 注册护士。对于所有t≥ 0和p>0，如果ΦX*（t）∈ Lp，然后ΦY（t）∈ 有限合伙人。证据对于所有t≥ 0，ΦY（t）（θ）=eithθ，miΦX（t）（θ），θ∈ Rn，因此|ΦY（t）（θ）|=exp（t<ψX（θ））。使用（A.2），我们得到<ψX（θ）=Z[0，∞)n*（<ΦB（t）（θ）- 1） T（dt）≤Z[0，∞)n*（|ΦB（t）（θ）|- 1） T（dt）=Z[0，∞)n*经验值-kθktΣ- 1.T（dt）=<ψX*(θ).因此，|ΦY（t）（θ）|≤ |ΦX*（t） （θ）|，结果如下。引理3.2。让V~ V Gn（b，u，∑），并假设∑是可逆的。Letp>0。如果pb>n/2，则ΦV∈ 有限合伙人。证据由于方差gamma过程是弱从属过程（见（A.3）），我们可以应用引理3.1，这意味着我们可以假设u=0。对于V~ V Gn（b，0，∑），by（2.1），V具有特征函数ΦV（θ）=1+kθk∑2b！-b、 θ∈ 注册护士。使用Cholesky分解，∑=UU，其中U是对角线上有正元素的下三角矩阵。设p>0。转换θ=（2b）1/2x（U）-1，注意（U）-存在，因此变换是内射的，我们有Zrn |ΦV（θ）| pdθ=|（2b）1/2U-1 | ZRn1+kxk-pbdx。（3.2）在（3.2）的RHS上使用极分解（见[32]中的推论B.7.7），我们得到ΦV∈ Lpif和仅ifZ∞（1+r）-pbrn公司-1dr<∞,这相当于pb>n/2。提案3.1。让X~ W V AGn（a，α，u，∑）和YD=Im+X，m∈ 注册护士。假设∑是可逆的。对于t>0，如果an+min1≤k≤nβkt>，（3.3）然后是ΦX（t），ΦY（t）∈ 五十、 证明。根据命题2.1（iii），有必要证明t=1的结果，通过引理3.1，我们可以假设u=0，m=0，因此Y~W V AGn（a，α，0，∑）。让V~ V Gn（a，0，aα ∑），Vk~ V G（βk，0，（1- aαk）∑kk），1≤ k≤n、 保持独立，让V*:= （V，…，Vn）。根据命题2.1（ii），Y具有特征函数ΦY（θ）=ΦV（θ）ΦV*（θ） ，其中ΦV*（θ） ：=Qnk=1ΦVk（θk）。

对于p-1+q-1=1，p，q>1，H¨older不等式给定szrn |ΦY（θ）| dθ≤ZRn |ΦV（θ）| pdθ1/pZRn |ΦV*（θ） | qdθ1/季度=ZRn |ΦV（θ）| pdθ1/pnYk=1ZR |ΦVk（θ）| qdθ根据引理3.2，当pa>n/2，qβk>1/2和p，q>1时，该积分是有限的≤ k≤ n、 因此，1=p+q<2一∧+ 2.最小1≤k≤nβk∧,相当于（3.3）。备注3.1。注意，V G（b，u，∑）分布变得更可逆的条件与[20]中密度函数没有奇异性的条件相同，即b>1/2。备注3.2。我们发现，对于非常小的t>0，（3.3）将无法得到满足。这意味着，当试图基于如此小的采样间隔的观测值对W V AG过程进行参数估计时，使用（3.1）计算密度函数可能无效。4校准我们现在专门处理n=2的情况。让X~ W V AG（a，α，u，∑），Y：=（Y，Y）=Im+X，m∈ R、 设（S，S）为二元价格过程Sk（t）=Sk（0）exp（Yk（t）），t≥ 0，k=1，2。（4.1）对于采样间隔c>0的N个等距离散观测值，日志返回areyj：=（y1j，y2j）：=lnS（jc）S（（j- 1） c），lnS（jc）S（（j- 1） c）D=Y（c），j=1，N、 而且是iid。我们称之为W V AG模型。

如果∑=0，我们称之为V-AG模型，因为X通过命题2.1（V）简化为V-AG过程。4.1模拟方法命题2.1（ii）中的结果可用于模拟X~ V G和V G过程中的W V AG（a，α，u，∑）。对于采样间隔c=1，0.1和样本量N=1000，我们对Y进行了100次模拟，并根据观测值（yj）Nj=1估计参数，真实参数a=1，α=（0.8，0.6），u=（0.1，-0.3），∑=[1，0.6；0.6，1.2]，m=(-0.1, 0.3).4.2校准方法我们使用矩量法（MOM）从观测值（yj）中估计参数（a，α，u，∑，m），矩量法快速且易于实现，Michaelsen&Szimayer的最大似然估计（MLE）在模型下可能是渐近最优的，以及Madan的数字矩估计（DME）的修正[24]，这对于模型错误更为稳健。矩量法。uk，αk，∑kk，mk，k=1，2的初始值通过前四个中心矩E（Yk（c）），E（（Yk（c））的最小二乘法获得- E（Yk（c）））p），p=2，3，4，以及相应的样本力矩。通过最小二乘法E（（Y（c））获得接头参数a，∑的初始值-E（Y（c）））p（Y（c）-E（Y（c）））p），p=1，2，以及相应的样本力矩，在拟合V AG模型时，p=1不包括在内。使用这些初始值，可以在所有参数上求解最小二乘法。请注意，当这些时刻可以精确匹配时，最后一步没有任何影响。力矩公式见【29】。最大似然估计。Y（c）的密度函数不明确，因此使用（3.1）的傅里叶反演进行数值计算。实施MLE所需的数值优化需要初始值。第一个初始值可通过MOM获得。